), bir ucu rijit bir şekilde sabitlenmiş ve diğer ucunda m kütleli bir yük var.

Elastik bir kuvvet kütleli bir cisme etki ederek onu denge konumuna döndürdüğünde, bu konum etrafında salınım yapar.Böyle bir cisme yaylı sarkaç denir. Titreşimlere dış bir kuvvet neden olur. Dış kuvvetin etkisi sona erdikten sonra devam eden salınımlara serbest salınımlar denir. Dış bir kuvvetin etkisiyle oluşan salınımlara zorlama denir. Bu durumda, kuvvetin kendisine zorlayıcı denir.

En basit durumda, bir yay sarkaç, bir duvara bir yay ile tutturulmuş yatay bir düzlem boyunca hareket eden katı bir gövdedir.

Newton'un böyle bir sistem için ikinci yasası, dış kuvvetlerin ve sürtünme kuvvetlerinin yokluğunda şu şekildedir:

Sistem dış kuvvetlerden etkileniyorsa, salınım denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

, nerede f(x)- bu, yükün birim kütlesiyle ilişkili dış kuvvetlerin bileşkesidir.

Zayıflama durumunda, bir katsayılı salınımların hızıyla orantılı c:

Ayrıca bakınız

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010 .

Diğer sözlüklerde "Bahar sarkacının" ne olduğunu görün:

Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Sarkaç (anlamlar). Sarkaç salınımları: oklar hız (v) ve ivme (a) vektörlerini gösterir ... Wikipedia

Sarkaç- salınım yaparak saat mekanizmasının hareketini düzenleyen bir cihaz. Yay sarkaç. Saatin bir sarkaç ve yayından oluşan düzenleyici kısmı. Sarkaç yayının icadından önce, saatler tek bir sarkaçla hareket ettiriliyordu. ... ... Saat sözlüğü

SARKAÇ- (1) Uzatılamaz bir iplik (veya çubuk) üzerinde sabit bir noktadan serbestçe asılan küçük boyutlu bir matematiksel (veya basit) (Şekil 6) kütlesi, performansı gerçekleştiren bir cismin kütlesi ile karşılaştırıldığında kütlesi ihmal edilebilir olan, harmonik (bkz.) ... ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

Uygulamanın eylemi altında performans gösteren sert bir gövde. titreşim kuvveti yakl. sabit nokta veya eksen. Matematiksel M. aradı. ağırlıksız uzamayan bir iplik (veya çubuk) üzerinde sabit bir noktadan asılı duran ve bir kuvvetin etkisi altında çalışan bir malzeme noktası ... ... Büyük ansiklopedik politeknik sözlük

Yaylı sarkaçlı saat- saatin yaylı sarkaç ayar kısmı, orta ve küçük saatlerde de kullanılır (taşınabilir saatler, masa saatleri vb.) ... Saat sözlüğü - sarkacın uçlarına ve çekicine takılan küçük bir spiral yay. Yaylı sarkaç, doğruluğu kısmen sarkaç yayının kalitesine bağlı olan saati düzenler ... Saat Sözlüğü

GOST R 52334-2005: Yerçekimi araştırması. Terimler ve tanımlar- Terminoloji GOST R 52334 2005: Yerçekimi araştırması. Terimler ve tanımlar orijinal belge: (gravimetrik) araştırma Karada yapılan gravimetrik araştırma. Çeşitli belgelerden terim tanımları: (gravimetrik) anket 95 ... ... Normatif ve teknik dokümantasyon terimlerinin sözlük referans kitabı

Tanım

salınım frekansı($\nu$) dalgalanmaları karakterize eden parametrelerden biridir.Bu, dalgalanma periyodunun ($T$) karşılığıdır:

\[\nu=\frac(1)(T)\sol(1\sağ).\]

Bu nedenle, salınımların frekansına, zaman birimi başına salınımların tekrar sayısına eşit bir fiziksel nicelik denir.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\sol(2\sağ),\]

$N$ tam salınım hareketlerinin sayısıdır; $\Delta t$ - bu dalgalanmaların meydana geldiği zaman.

Döngüsel salınım frekansı ($(\omega )_0$), aşağıdaki formülle $\nu $ frekansıyla ilişkilidir:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\sol(3\sağ).\]

Uluslararası Birimler Sistemindeki (SI) frekans birimi hertz veya karşılıklı saniyedir:

\[\sol[\nu \sağ]=c^(-1)=Hz.\]

yaylı sarkaç

Tanım

yaylı sarkaç bir yükün bağlı olduğu elastik bir yaydan oluşan bir sistem olarak adlandırılır.

Diyelim ki yükün ağırlığı $m$, yayın esneklik katsayısı $k$ olsun. Böyle bir sarkaçtaki yayın kütlesi genellikle dikkate alınmaz. Yükün yatay hareketlerini dikkate alırsak (Şekil 1), sistem dengeden çıkarılıp kendi haline bırakılmışsa, elastik kuvvetin etkisi altında hareket eder. Bu durumda, genellikle sürtünme kuvvetlerinin göz ardı edilebileceğine inanılır.

Yaylı sarkaç için salınım denklemleri

Serbestçe salınan bir yaylı sarkaç, harmonik osilatöre bir örnektir. X ekseni boyunca salınımlar yapmasına izin verin.Salınımlar küçükse, Hooke yasası sağlanır, o zaman yükün hareketi için denklemi şu şekilde yazarız:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\sol(4\sağ),\]

burada $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ yaylı sarkacın salınımlarının döngüsel frekansıdır. Denklem (4)'ün çözümü, formun bir sinüs veya kosinüs fonksiyonudur:

burada $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ yaylı sarkacın döngüsel salınım frekansıdır, $A$ salınım genliğidir; $((\omega )_0t+\varphi)$ - salınım aşaması; $\varphi $ ve $(\varphi )_1$ - salınımların ilk aşamaları.

Yaylı sarkacın salınım frekansı

(3) ve $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ formülünden, yay sarkacının salınım frekansı şu şekildedir:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\sağ).\]

Formül (6) şu durumlarda geçerlidir:

• sarkaçtaki yayın ağırlıksız olduğu varsayılır;
• yaya bağlı ağırlık, tamamen rijit bir gövdedir;
• burulma titreşimleri yoktur.

İfade (6), bir yay sarkacının salınım frekansının, yükün kütlesindeki azalma ve yayın esneklik katsayısındaki artışla arttığını göstermektedir. Yaylı sarkacın salınım frekansı genliğe bağlı değildir. Salınımlar küçük değilse, yayın elastik kuvveti Hooke yasasına uymaz, o zaman salınım frekansının genliğe bağımlılığı ortaya çıkar.

Çözümlü problem örnekleri

örnek 1

Egzersiz yapmak. Yay sarkacının salınım periyodu $T=5\cdot (10)^(-3)c$'dır. Bu durumda salınım frekansı nedir? Bu ağırlığın döngüsel frekansı nedir?

Çözüm. Salınım frekansı, salınım süresinin tersidir, bu nedenle sorunu çözmek için formülü kullanmak yeterlidir:

\[\nu=\frac(1)(T)\sol(1.1\sağ).\]

İstenen frekansı hesaplayın:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \sol(Hz\sağ).\]

Döngüsel frekans $\nu$ frekansıyla şu şekilde ilişkilidir:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \sol(1.2\sağ).\]

Döngüsel frekansı hesaplayalım:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\yaklaşık 1256\ \left(\frac(rad)(c)\sağ).\]

Cevap.$1)\ \nu =200$ Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(c)$

Örnek 2

Egzersiz yapmak. Elastik yay üzerinde asılı olan yükün kütlesi (Şekil 2) $\Delta m$ artar, frekans ise $n$ kat azalır. İlk yükün kütlesi nedir?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\sağ).\]

İlk yük için frekans şuna eşit olacaktır:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\sağ).\]

İkinci yük için:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \sol(2.2\sağ).\]

$(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$ probleminin koşuluna göre, $\frac((\nu )_1)((\nu )_2):\ ilişkisini buluruz. frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac( \Delta m)( m))=n\ \sol(2,3\sağ).$

(2.3) denkleminden yükün istenen kütlesini elde ederiz. Bunu yapmak için, (2.3) ifadesinin her iki bölümünün karesini alıyoruz ve $m$ ifadesini ifade ediyoruz:

Cevap.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

Sarkaç salınımlarının incelenmesi, şeması Şekil 5'te gösterilen kurulum üzerinde gerçekleştirilir. Kurulum, bir yaylı sarkaç, bir piezoelektrik sensöre dayalı bir titreşim kayıt sistemi, bir zorlamalı titreşim uyarı sistemi ve bir kişisel bilgisayardaki bir bilgi işleme sisteminden oluşur. İncelenen yay sarkaç, sertlik katsayısına sahip bir çelik yaydan oluşmaktadır. k ve sarkaç gövdesi m Merkezde kalıcı bir mıknatıs ile. Sarkacın hareketi bir sıvı içinde meydana gelir ve düşük salınım hızlarında ortaya çıkan sürtünme kuvveti, doğrusal bir yasa ile yeterli doğrulukla yaklaşık olarak tahmin edilebilir, yani.

Şekil 5 Deney düzeneğinin blok şeması

Bir sıvı içinde hareket ederken direnç kuvvetini arttırmak için sarkacın gövdesi delikli bir rondela şeklinde yapılır. Titreşimleri kaydetmek için, sarkaç yayının askıya alındığı bir piezoelektrik sensör kullanılır. Sarkacın hareketi sırasında, elastik kuvvet yer değiştirme ile orantılıdır. X,
Piezoelektrik sensörde meydana gelen EMF, sırasıyla basınç kuvvetiyle orantılı olduğundan, sensörden alınan sinyal, sarkaç gövdesinin denge konumundan yer değiştirmesiyle orantılı olacaktır.
Salınımların uyarılması, bir manyetik alan kullanılarak gerçekleştirilir. PC tarafından üretilen harmonik sinyal güçlendirilir ve sarkacın gövdesinin altında bulunan bir uyarma bobinine beslenir. Bu bobinin sonucunda zamanla değişken, uzayda homojen olmayan bir manyetik alan oluşur. Bu alan sarkacın gövdesine monte edilmiş kalıcı bir mıknatısa etki eder ve harici bir periyodik kuvvet oluşturur. Vücut hareket ettiğinde, itici güç harmonik fonksiyonların bir süperpozisyonu olarak temsil edilebilir ve sarkaç salınımları mw frekanslı salınımların bir süperpozisyonu olacaktır. Ancak sadece frekanstaki kuvvet bileşeni w, çünkü rezonans frekansına en yakın olanıdır. Bu nedenle, sarkaç salınımlarının bileşenlerinin frekanslardaki genlikleri mw küçük olacak. Yani, keyfi bir periyodik eylem durumunda, yüksek doğruluk derecesine sahip salınımlar, bir frekansta harmonik olarak kabul edilebilir. w.
Bilgi işleme sistemi, bir analogdan dijitale dönüştürücü ve bir kişisel bilgisayardan oluşur. Piezoelektrik sensörden gelen analog sinyal, bir analogdan dijitale dönüştürücü kullanılarak dijital biçimde temsil edilir ve bir kişisel bilgisayara beslenir.

Deney düzeneğinin bilgisayar kontrolü
Bilgisayarı açtıktan ve programı yükledikten sonra, genel görünümü Şekil 5'te gösterilen monitör ekranında ana menü belirir. İmleç tuşlarını , , , kullanarak menü öğelerinden birini seçebilirsiniz. Düğmeye bastıktan sonra GİRMEK bilgisayar seçilen çalışma modunu başlatır. Seçilen çalışma moduyla ilgili en basit ipuçları, ekranın alt kısmında vurgulanan satırda bulunur.
Programın olası çalışma modlarını göz önünde bulundurun:
Statik- bu menü öğesi, ilk egzersizin sonuçlarını işlemek için kullanılır (bkz. Şekil 5) Düğmeye bastıktan sonra GİRMEK bilgisayar sarkacın ağırlığının kütlesini sorar. Bir sonraki düğmeye bastıktan sonra GİRMEK yanıp sönen bir imleç ile ekranda yeni bir resim belirir. Yükün kütlesini gram cinsinden ve boşluk çubuğuna bastıktan sonra yayın gerilmesinin büyüklüğünü tutarlı bir şekilde ekrana yazın. presleme GİRMEK yeni bir satıra gidin ve yükün kütlesini ve yayın gerilme miktarını tekrar yazın. Son satırda veri düzenlemeye izin verilir. Bunu yapmak için tuşuna basarak geri almak yayın kütlesi veya geriliminin yanlış değerini silin ve yeni değeri kaydedin. Diğer satırlardaki verileri değiştirmek için art arda tuşuna basmalısınız. ESC ve GİRMEK ve ardından sonuç kümesini yineleyin.
Verileri girdikten sonra fonksiyon tuşuna basın. F2. En küçük kareler yöntemi kullanılarak hesaplanan sarkacın yay rijitlik katsayısı ve serbest salınım frekansı değerleri ekranda belirir. tıkladıktan sonra GİRMEK monitör ekranında elastik kuvvetin yay uzantısının büyüklüğüne bağımlılığının bir grafiği belirir. Herhangi bir tuşa bastıktan sonra ana menüye dönüş gerçekleşir.
Deney- bu öğenin birkaç alt öğesi vardır (Şekil 6). Her birinin özelliklerini düşünün.
Sıklık- bu modda imleç tuşları kullanılarak itici gücün frekansı ayarlanır. Serbest titreşimli bir deney yapılıyorsa, frekans değerini şuna eşitlemek gerekir: 0 .
Başlama- düğmeye bastıktan sonra bu modda GİRMEK program sarkaç sapmasının zamana bağlı deneysel bağımlılığını kaydetmeye başlar. İtici gücün frekansının sıfıra eşit olduğu durumda, ekranda sönümlü salınımların bir resmi belirir. Ayrı bir pencerede salınım frekansı ve sönümleme sabiti değerleri kaydedilir. İtici kuvvetin frekansı sıfıra eşit değilse, o zaman sarkaç sapmasının ve itici kuvvetin zamana bağımlılığının grafikleri ile birlikte, itici kuvvetin frekansının ve genliğinin değerleri ile birlikte sarkaç salınımlarının ölçülen frekansı ve genliği ayrı pencerelerde ekrana kaydedilir. tuşa basmak ESC ana menüye çıkabilirsiniz.
Kaydetmek- deneyin sonucu tatmin edici ise, ilgili menü tuşuna basılarak kaydedilebilir.
Yeni Diziler- bu menü öğesi, mevcut deneyin verilerinin atılması gerektiğinde kullanılır. tuşuna bastıktan sonra GİRMEK bu modda, önceki tüm deneylerin sonuçları makinenin belleğinden silinir ve yeni bir dizi ölçüm başlatılabilir.
Deneyden sonra moda geçerler ölçümler. Bu menü öğesinin birkaç alt öğesi vardır (Şekil 7)
Frekans yanıtı grafiği- bu menü öğesi, zorunlu salınımların incelenmesiyle ilgili deneyin bitiminden sonra kullanılır. Zorlanmış salınımların genlik-frekans özelliği, monitör ekranında çizilir.
PFC grafiği- Bu modda, zorlanmış salınımların incelenmesi üzerine deneyin bitiminden sonra, monitör ekranında faz-frekans karakteristiği oluşturulur.
Masa- bu menü öğesi, itici gücün frekansına bağlı olarak salınımların genlik ve faz değerlerini monitör ekranında görüntülemenizi sağlar. Bu veriler, bu çalışma hakkında bir rapor için bir deftere yeniden yazılır.
Bilgisayar menü öğesi çıkış- programın sonu (örneğin, Şekil 7'ye bakın)

1. Egzersiz. Statik yöntemle yay sertlik katsayısının belirlenmesi.

Kütleleri bilinen yüklerin etkisi altında yayın uzaması belirlenerek ölçümler yapılır. En azından harcamanız önerilir. 7-10 yükleri kademeli olarak askıya alarak ve böylece yükü değiştirerek yayın uzamasının ölçümleri 20 önceki 150 d. Programın menü öğesini kullanma İstatistik bu ölçümlerin sonuçları bilgisayar belleğine girilir ve en küçük kareler yöntemi kullanılarak yay sertlik katsayısı belirlenir. Egzersiz sırasında sarkacın doğal frekansının değerini hesaplamak gerekir.

Bir yay sarkaç, kesinlikle elastik ağırlıksız bir yaya rijitliği ile bağlı bir malzeme kütle noktasıdır. . En basit iki durum vardır: yatay (Şek. 15, a) ve dikey (Şekil 15, b) sarkaçlar.

a) yatay sarkaç(Şek. 15a). Kargo değiştirirken
dengesiz miktara göre üzerinde yatay yönde hareket eder. elastik kuvveti geri yükleme
(Hook kanunu).

Yükün üzerinde kaydığı yatay desteğin
Titreşimleri sırasında kesinlikle pürüzsüzdür (sürtünme yok).

b) dikey sarkaç(şek.15, b). Bu durumda denge konumu şu koşulla karakterize edilir:

nerede - yüke etki eden elastik kuvvetin büyüklüğü
yay statik olarak gerildiğinde yerçekimi etkisi altında
.

a

Şekil 15. Yaylı sarkaç: a- yatay ve b- dikey

Yay gerilir ve yük bırakılırsa dikey olarak salınım yapmaya başlayacaktır. Zaman içinde bir noktada ofset ise
, o zaman elastik kuvvet şimdi şu şekilde yazılacaktır:
.

Her iki durumda da, yay sarkacı bir periyot ile harmonik salınımlar gerçekleştirir.

(27)

ve döngüsel frekans

. (28)

Bir yay sarkaç örneğini kullanarak, harmonik salınımların, yer değiştirmeyle orantılı olarak artan bir kuvvetin neden olduğu bir hareket olduğu sonucuna varabiliriz. . Böylece, geri yükleme kuvveti Hooke yasasına benziyorsa
(adını aldıyarı elastik kuvvet ), daha sonra sistem harmonik salınımlar gerçekleştirmelidir. Denge konumundan geçildiği anda, geri getirme kuvveti cisme etki etmez, ancak cisim atalet ile denge konumunu atlar ve geri getirme kuvveti ters yönde yön değiştirir.

matematiksel sarkaç

Şekil 16. matematiksel sarkaç

matematiksel sarkaç ağırlıksız, uzayamaz uzunluktaki bir iplik üzerinde asılı duran bir malzeme noktası şeklinde idealleştirilmiş bir sistemdir. yerçekimi etkisi altında küçük salınımlar gerçekleştiren (Şekil 16).

Küçük sapma açılarında böyle bir sarkacın salınımları
(5º'yi aşmayan) harmonik olarak kabul edilebilir ve matematiksel sarkacın döngüsel frekansı:

, (29)

ve dönem:

. (30)

2.3. Harmonik titreşimler sırasında vücut enerjisi

İlk itme sırasında salınan sisteme verilen enerji periyodik olarak dönüştürülür: deforme olmuş yayın potansiyel enerjisi hareketli yükün kinetik enerjisine dönüştürülür ve bunun tersi de geçerlidir.

Yay sarkacının ilk faz ile harmonik salınımlar yapmasına izin verin
, yani
(şek.17).

Şekil 17. Mekanik enerjinin korunumu yasası

yay sarkacı salındığında

Yükün denge konumundan maksimum sapması durumunda, sarkacın toplam mekanik enerjisi (sertliği olan deforme olmuş bir yayın enerjisi) ) eşittir
. Denge konumundan geçerken (
) yayın potansiyel enerjisi sıfıra eşit olacak ve salınım sisteminin toplam mekanik enerjisi şu şekilde belirlenecektir:
.

Şekil 18 harmonik salınımların sinüs (kesikli çizgi) veya kosinüs (düz çizgi) trigonometrik fonksiyonları ile tanımlandığı durumlarda kinetik, potansiyel ve toplam enerjinin bağımlılıklarını göstermektedir.

Şekil 18. Kinetiğin zamana bağımlılığının grafikleri

ve harmonik salınımlar için potansiyel enerji

Grafiklerden (Şekil 18), kinetik ve potansiyel enerjideki değişim sıklığının, harmonik salınımların doğal frekansının iki katı olduğu anlaşılmaktadır.

(1.7.1)

Top denge konumundan x kadar yer değiştirirse, yayın uzaması Δl 0 + x'e eşit olacaktır. O zaman ortaya çıkan kuvvet şu değeri alacaktır:

Denge koşulunu (1.7.1) dikkate alarak, şunu elde ederiz:

Eksi işareti, yer değiştirme ve kuvvetin zıt yönlerde olduğunu gösterir.

Elastik kuvvet f aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Topun denge konumundan yer değiştirmesiyle orantılıdır;
2. Her zaman denge konumuna doğru yönlendirilir.

Sistemi x yer değiştirmesinden haberdar etmek için elastik kuvvete karşı iş yapmak gerekir:

Bu çalışma, sistemin potansiyel enerji rezervini oluşturmaya gider:

Elastik bir kuvvetin etkisi altında top, sürekli artan bir hızla denge konumuna doğru hareket edecektir. Bu nedenle, sistemin potansiyel enerjisi azalacaktır, ancak kinetik enerjisi artacaktır (yayın kütlesini ihmal ediyoruz). Top denge konumuna geldikten sonra atalet ile hareket etmeye devam edecektir. Bu yavaş bir harekettir ve kinetik enerji tamamen potansiyele dönüştürüldüğünde duracaktır. Daha sonra top ters yönde hareket ettiğinde aynı işlem devam edecektir. Sistemde sürtünme yoksa top süresiz olarak salınım yapacaktır.

Bu durumda Newton'un ikinci yasasının denklemi:

Denklemi şu şekilde dönüştürelim:

Notasyonu tanıtarak, ikinci dereceden doğrusal homojen bir diferansiyel denklem elde ederiz:

Doğrudan ikame ile, denklem (1.7.8)'in genel çözümünün aşağıdaki forma sahip olduğunu doğrulamak kolaydır:

burada a genliktir ve φ, salınımın ilk aşamasıdır - sabit değerler. Bu nedenle, bir yaylı sarkacın salınımı harmoniktir (Şekil 1.7.2).

Pirinç. 1.7.2. harmonik salınım

Kosinüsün periyodikliği nedeniyle, salınım sisteminin çeşitli durumları, salınım fazının 2π'lik bir artış aldığı belirli bir süre (salınım periyodu) T'den sonra tekrarlanır. Aşağıdaki denklemi kullanarak periyodu hesaplayabilirsiniz:

nereden şöyle:

Birim zamandaki salınım sayısına frekans denir:

Frekans birimi, periyodu 1 s olan böyle bir salınımın frekansıdır. Bu birime 1 Hz denir.

(1.7.11)'den şu sonuç çıkar:

Bu nedenle, ω 0, 2π saniyede yapılan salınımların sayısıdır. ω 0 değerine dairesel veya döngüsel frekans denir. (1.7.12) ve (1.7.13) kullanarak şunu yazıyoruz:

Zamana göre () türevini alarak, topun hızı için bir ifade elde ederiz:

(1.7.15)'den hız da harmonik yasaya göre değişir ve faz kaymasından ½π öndedir. (1.7.15) türevini alarak ivmeyi elde ederiz:

1.7.2. matematiksel sarkaç

matematiksel sarkaçüzerine bir cismin asıldığı, tüm kütlesi bir noktada toplanmış, uzamaz, ağırlıksız bir iplikten oluşan idealleştirilmiş bir sistem olarak adlandırılır.

Sarkaçın denge konumundan sapması, ipliğin dikey ile oluşturduğu φ açısı ile karakterize edilir (Şekil 1.7.3).

Pirinç. 1.7.3. matematiksel sarkaç

Sarkaç denge konumundan saptığında, sarkacı denge konumuna döndürme eğiliminde olan bir tork ortaya çıkar:

Eylemsizlik momentinin ml 2'ye eşit olduğunu dikkate alarak, sarkacın dönme hareketinin dinamiği için bir denklem yazalım:

Bu denklem şu şekle getirilebilir:

Kendimizi küçük dalgalanmalar sinφ ≈ φ durumuyla sınırlayarak ve notasyonu tanıtarak:

denklem (1.7.19) aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

bu, bir yaylı sarkacın salınım denklemi ile formda örtüşür. Bu nedenle çözümü harmonik bir salınım olacaktır:

(1.7.20)'den matematiksel sarkacın döngüsel salınım frekansının uzunluğuna ve serbest düşüş ivmesine bağlı olduğu sonucu çıkar. Salınım süresi () ve (1.7.20) formülünü kullanarak bilinen ilişkiyi elde ederiz:

1.7.3. fiziksel sarkaç

Fiziksel bir sarkaç, eylemsizlik merkezi ile çakışmayan sabit bir nokta etrafında salınım yapabilen katı bir cisimdir. Denge konumunda, C sarkacının atalet merkezi aynı düşeyde O askı noktasının altındadır (Şekil 1.7.4).

Pirinç. 1.7.4. fiziksel sarkaç

Sarkaç denge konumundan φ açısı kadar saptığında, sarkacı denge konumuna döndürme eğiliminde olan bir tork ortaya çıkar:

m sarkacın kütlesidir, l sarkacın atalet merkezi ile süspansiyon noktası arasındaki mesafedir.

Eylemsizlik momentinin I'e eşit olduğunu dikkate alarak, sarkacın dönme hareketinin dinamiği için denklemi yazalım:

Küçük dalgalanmalar için sinφ ≈ φ. Ardından, gösterimi tanıtmak:

bu aynı zamanda bir yaylı sarkacın salınım denklemi ile de örtüşür. (1.7.27) ve (1.7.26) denklemlerinden, fiziksel sarkacın denge konumundan küçük sapmaları ile, frekansı sarkacın kütlesine, atalet momentine bağlı olan harmonik bir salınım gerçekleştirir. ve dönme ekseni ile atalet merkezi arasındaki mesafe. (1.7.26) kullanarak salınım periyodunu hesaplayabilirsiniz:

(1.7.28) ve () formüllerini karşılaştırarak, uzunluğu olan bir matematiksel sarkaç elde ederiz:

dikkate alınan fiziksel sarkaç ile aynı salınım periyoduna sahip olacaktır. Miktar (1.7.29) denir azaltılmış uzunluk fiziksel sarkaç. Bu nedenle, fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğu, salınım periyodu belirli bir fiziksel sarkacın salınım periyoduna eşit olan böyle bir matematiksel sarkacın uzunluğudur.

Askı noktasını, dönme ekseninden kısaltılmış uzunluk kadar uzaklıkta bulunan atalet merkezi ile birleştiren düz bir çizgi üzerindeki noktaya denir. salıncak merkezi fiziksel sarkaç. Steiner teoremine göre, fiziksel sarkacın eylemsizlik momenti:

burada 0, atalet merkezi etrafındaki atalet momentidir. (1.7.30)'u (1.7.29) ile değiştirirsek, şunu elde ederiz:

Bu nedenle, azaltılmış uzunluk her zaman asma noktası ile sarkacın atalet merkezi arasındaki mesafeden daha büyüktür, böylece asma noktası ve salınım merkezi, atalet merkezinin zıt taraflarında bulunur.

1.7.4. Harmonik titreşimlerin enerjisi

Harmonik salınım sırasında, yarı elastik bir kuvvetin etkisinden dolayı salınan cisim E k'nin kinetik enerjisinin ve potansiyel enerjisinin E p'nin periyodik karşılıklı dönüşümü vardır. Bu enerjilerden salınım sisteminin toplam enerjisi E eklenir:

Son ifadeyi yazalım

Ancak k \u003d mω 2, salınan cismin toplam enerjisinin ifadesini alıyoruz

Böylece, bir harmonik salınımın toplam enerjisi sabittir ve salınımın genliğinin karesi ve dairesel frekansın karesiyle orantılıdır.

1.7.5. sönümlü titreşimler .

Harmonik salınımları incelerken, gerçek sistemlerde var olan sürtünme ve direnç kuvvetleri dikkate alınmadı. Bu kuvvetlerin etkisi, hareketin doğasını önemli ölçüde değiştirir, salınım solma.

Sistemde, yarı elastik kuvvete ek olarak, ortamın direnç kuvvetleri (sürtünme kuvvetleri) etki ediyorsa, Newton'un ikinci yasası aşağıdaki gibi yazılabilir:

burada r, ortamın harekete direnme özelliklerini karakterize eden sürtünme katsayısıdır. (1.7.34b)'yi (1.7.34a) ile değiştiririz:

Bu fonksiyonun grafiği Şekil 1.7.5'te düz bir eğri 1 olarak gösterilmektedir ve kesikli çizgi 2 genlikteki değişikliği göstermektedir:

Çok az sürtünme ile, sönümlü salınım periyodu, sönümsüz serbest salınım periyoduna yakındır (1.7.35.b)

Salınım genliğindeki azalma oranı şu şekilde belirlenir: sönümleme faktörü: β ne kadar büyükse, ortamın geciktirici etkisi o kadar güçlü ve genlik o kadar hızlı azalır. Uygulamada, zayıflama derecesi genellikle karakterize edilir. logaritmik sönüm azalması, bununla, salınım periyoduna eşit bir zaman aralığı ile ayrılmış iki ardışık salınım genliğinin oranının doğal logaritmasına eşit bir değer anlamına gelir:

;

Bu nedenle, sönüm katsayısı ve logaritmik sönüm azalması oldukça basit bir ilişki ile ilişkilidir:

Güçlü sönüm ile, formül (1.7.37)'den salınım periyodunun hayali bir büyüklük olduğu görülebilir. Bu durumda hareket zaten denir periyodik olmayan. Periyodik hareket grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.7.6. Sönümsüz ve sönümlü salınımlara denir sahip olmak veya Bedava. İlk yer değiştirmenin veya ilk hızın bir sonucu olarak ortaya çıkarlar ve başlangıçta biriken enerji nedeniyle dış etkinin yokluğunda meydana gelirler.

1.7.6. Zorlanmış titreşimler. Rezonans .

mecbur Salınımlar, periyodik bir yasaya göre değişen bir dış kuvvetin katılımıyla sistemde ortaya çıkanlara denir.

Yarı elastik kuvvete ve sürtünme kuvvetine ek olarak, malzeme noktasına harici bir itici kuvvetin etki ettiğini varsayalım.

,

nerede F 0 - genlik; ω - itici gücün salınımlarının dairesel frekansı. Bir diferansiyel denklem oluşturuyoruz (Newton'un ikinci yasası):

,

Zorlanmış salınımın genliği (1.7.39), itici gücün genliği ile doğru orantılıdır ve ortamın zayıflama katsayısına ve doğal ve zorlanmış salınımların dairesel frekanslarına karmaşık bir bağımlılığa sahiptir. Sistem için ω 0 ve β verilirse, zorlanmış salınımların genliği, itici gücün belirli bir belirli frekansında maksimum değere sahiptir. rezonans.

Fenomenin kendisine - verilen ω 0 ve β için maksimum genliğe ulaşan - denir rezonans.

Pirinç. 1.7.7. Rezonans

Direnç yokluğunda, rezonanstaki zorlanmış salınımların genliği sonsuz büyüklüktedir. Bu durumda, ω res = ω 0'dan, yani. Sönümsüz bir sistemde rezonans, itici gücün frekansı doğal salınımların frekansı ile çakıştığında meydana gelir. Sönümleme katsayısının farklı değerleri için, zorlanmış salınımların genliğinin, itici kuvvetin dairesel frekansına grafiksel bağımlılığı, Şek. 5.

Mekanik rezonans hem faydalı hem de zararlı olabilir. Rezonansın zararlı etkisi, esas olarak neden olabileceği yıkımdan kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla teknolojide, farklı titreşimleri dikkate alarak olası rezonans koşullarının oluşumunu öngörmek gerekir, aksi takdirde yıkım ve felaketler olabilir. Gövdeler genellikle birkaç doğal titreşim frekansına ve buna bağlı olarak birkaç rezonans frekansına sahiptir.

Bir kişinin iç organlarının zayıflama katsayısı büyük değilse, bu organlarda dış titreşimlerin veya ses dalgalarının etkisi altında ortaya çıkan rezonans fenomeni trajik sonuçlara yol açabilir: organların yırtılması, bağların zarar görmesi vb. Bununla birlikte, biyolojik sistemlerin zayıflama katsayısı oldukça büyük olduğundan, bu tür fenomenler orta derecede dış etkiler altında pratik olarak gözlenmez. Bununla birlikte, iç organlarda dış mekanik titreşimlerin etkisi altındaki rezonans olayları meydana gelir. Görünüşe göre bu, infrasonik salınımların ve titreşimlerin insan vücudu üzerindeki olumsuz etkisinin nedenlerinden biridir.

1.7.7. kendi kendine salınımlar

Ayrıca, boşa harcanan enerjinin periyodik olarak yenilenmesini düzenleyen ve bu nedenle uzun süre dalgalanabilen salınım sistemleri de vardır.

Değişken bir dış etkinin yokluğunda herhangi bir sistemde var olan sönümsüz salınımlara denir. kendi kendine salınımlar ve sistemlerin kendileri kendi kendine salınan.

Kendi kendine salınımların genliği ve frekansı, kendi kendine salınan sistemin kendisindeki özelliklere bağlıdır; zorunlu salınımların aksine, bunlar dış etkiler tarafından belirlenmez.

Çoğu durumda, kendi kendine salınan sistemler üç ana unsurla temsil edilebilir (Şekil 1.7.8): 1) gerçek salınım sistemi; 2) enerji kaynağı; 3) gerçek salınım sistemine enerji beslemesi düzenleyicisi. Geri besleme kanalı (Şekil 6) aracılığıyla salınım sistemi, regülatöre etki ederek regülatöre bu sistemin durumu hakkında bilgi verir.

Mekanik bir kendi kendine salınan sistemin klasik bir örneği, bir sarkaç veya terazinin bir salınım sistemi olduğu, bir yay veya yükseltilmiş bir ağırlığın bir enerji kaynağı olduğu ve bir çapanın bir kaynaktan bir kaynağa enerji girişinin bir düzenleyicisi olduğu bir saattir. salınım sistemi.

Birçok biyolojik sistem (kalp, akciğerler vb.) kendi kendine salınımlıdır. Elektromanyetik kendi kendine salınan sistemin tipik bir örneği, kendi kendine salınan salınımların üreteçleridir.

1.7.8. Titreşimlerin tek yönde eklenmesi

Aynı yönde ve aynı frekansta iki harmonik salınımın eklenmesini düşünün:

x 1 \u003d 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \u003d 2 cos (ω 0 t + α 2).

Bir harmonik salınım, uzunluğu salınımların genliğine eşit olan bir vektör kullanılarak belirlenebilir ve yön, salınımların başlangıç ​​fazına eşit bir eksenle bir açı oluşturur. Bu vektör ω 0 açısal hızla dönüyorsa, seçilen eksen üzerindeki izdüşümü harmonik yasaya göre değişecektir. Buna dayanarak, bir X ekseni seçiyoruz ve a 1 ve 2 vektörlerini kullanarak salınımları temsil ediyoruz (Şekil 1.7.9).

Şekil 1.7.6'dan şu sonuç çıkar:

.

Salınımların bir düzlemde vektörler olarak grafiksel olarak gösterildiği şemalara vektör diyagramları denir.

1.7.40 formülünden gelir. Her iki salınımın faz farkı sıfıra eşitse, ortaya çıkan salınımın genliği, eklenen salınımların genliklerinin toplamına eşittir. Eklenen salınımların faz farkı eşitse, ortaya çıkan salınımın genliği eşittir. Eklenen salınımların frekansları aynı değilse, bu salınımlara karşılık gelen vektörler farklı hızlarda dönecektir. Bu durumda, elde edilen vektör büyüklük olarak titreşir ve sabit olmayan bir hızda döner. Sonuç olarak, ekleme sonucunda harmonik bir salınım değil, karmaşık bir salınım süreci elde edilir.

1.7.9. atım

Aynı yönde, frekansları biraz farklı olan iki harmonik salınımın eklenmesini düşünün. Bunlardan birinin frekansı ω ve ikincisinin frekansı ω + ∆ω ve ∆ω olsun.<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d bir cos ωt, x 2 \u003d bir cos (ω + ∆ω) t.

Bu ifadeleri toplayarak ve kosinüslerin toplamı için formülü kullanarak şunu elde ederiz:

Salınımlar (1.7.41), genliği kanuna göre değişen, frekansı ω olan harmonik bir salınım olarak kabul edilebilir. Bu fonksiyon, modül işareti altındaki ifadenin frekansının iki katı bir frekansla periyodiktir, yani. frekans ∆ω ile. Böylece, vuruş frekansı adı verilen genlik titreşimlerinin frekansı, eklenen salınımların frekanslarındaki farka eşittir.

1.7.10. Karşılıklı dik titreşimlerin eklenmesi (Lissajous figürleri)

Maddesel bir nokta hem x ekseni hem de y ekseni boyunca salınım yapıyorsa, o zaman eğrisel bir yörünge boyunca hareket edecektir. Salınım frekansı aynı ve ilk salınımın ilk fazı sıfıra eşit olsun, o zaman salınım denklemlerini şu şekilde yazalım:

Denklem (1.7.43), eksenleri x ve y koordinat eksenlerine göre keyfi olarak yönlendirilmiş bir elipsin denklemidir. Elipsin oryantasyonu ve yarım eksenlerinin boyutu, a ve b genliklerine ve α faz farkına bağlıdır. Bazı özel durumları ele alalım:

(m=0, ±1, ±2, …). Bu durumda, denklem forma sahiptir

Bu, eksenleri koordinat eksenleriyle çakışan ve yarı eksenleri genliklere eşit olan bir elipsin denklemidir (Şekil 1.7.12). Genlikler eşitse, elips bir daire olur.

Şekil 1.7.12

Birbirine dik salınımların frekansları az miktarda ∆ω farklıysa, bunlar aynı frekansın salınımları olarak kabul edilebilir, ancak yavaş değişen bir faz farkıyla. Bu durumda salınım denklemleri yazılabilir.

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

ve ∆ωt+α ifadesi, lineer bir yasaya göre zamanla yavaş yavaş değişen bir faz farkı olarak kabul edilir. Bu durumda ortaya çıkan hareket, yavaş yavaş değişen bir eğriyi takip eder; bu, art arda -π ila +π arasındaki faz farkının tüm değerlerine karşılık gelen formu alacaktır.

Birbirine dik salınımların frekansları aynı değilse, ortaya çıkan hareketin yörüngesi olarak adlandırılan oldukça karmaşık eğriler biçimine sahiptir. Lissajous figürleri. Örneğin, eklenen salınımların frekansları 1 olarak ilişkilendirilsin. : 2 ve faz farkı π/2. Daha sonra salınım denklemleri şu şekildedir:

x=a cos ωt, y=b cos.

Nokta, x ekseni boyunca bir uç konumdan diğerine geçmeyi başarırken, y ekseni boyunca sıfır konumundan çıkarak bir uç konuma, sonra diğerine ulaşmayı ve geri dönmeyi başarır. Eğri görünümü şek. 1.7.13. Aynı frekans oranına sahip ancak faz farkı sıfıra eşit olan eğri Şekil 1.7.14'te gösterilmiştir. Eklenen salınımların frekanslarının oranı, Lissajous şekillerinin koordinat eksenlerine paralel düz çizgilerle kesişme noktalarının sayısının oranıyla terstir. Bu nedenle, Lissajous figürlerinin ortaya çıkmasıyla, eklenen salınımların veya bilinmeyen bir frekansın frekanslarının oranı belirlenebilir. Frekanslardan biri biliniyorsa.

Şekil 1.7.13

Şekil 1.7.14

Titreşim frekanslarının oranını ifade eden rasyonel kesir birliğe ne kadar yakınsa, ortaya çıkan Lissajous rakamları o kadar karmaşıktır.

1.7.11. Elastik bir ortamda dalga yayılımı

Elastik (katı sıvı veya gaz) bir ortamın herhangi bir yerinde parçacıklarının titreşimleri uyarılırsa, parçacıklar arasındaki etkileşim nedeniyle, bu titreşim ortam içinde parçacıktan parçacığa belirli bir hızda υ ile yayılır. Titreşimlerin uzayda yayılma sürecine denir dalga.

Dalganın yayıldığı ortamın parçacıkları, öteleme hareketinde dalgaya dahil olmazlar, sadece denge konumları etrafında salınırlar.

Dalganın yayılma yönüne göre parçacık salınımlarının yönlerine bağlı olarak, boyuna ve enine dalgalar. Boyuna bir dalgada, ortamın parçacıkları dalganın yayılması boyunca salınır. Enine bir dalgada, ortamın parçacıkları dalga yayılma yönüne dik yönlerde salınır. Elastik enine dalgalar sadece kesme direnci olan bir ortamda ortaya çıkabilir. Bu nedenle sıvı ve gaz ortamlarda sadece boyuna dalgalar oluşabilir. Katı bir ortamda hem boyuna hem de enine dalgaların oluşması mümkündür.

Şek. 1.7.12, bir enine dalga ortamında yayılma sırasında parçacıkların hareketini gösterir. 1, 2 vb. sayılar, (¼ υT)'ye eşit bir mesafe ile birbirinin gerisinde kalan parçacıkları belirtir, yani. parçacıkların yaptığı salınımların periyodunun dörtte birinde dalganın kat ettiği mesafe ile. Sıfır olarak alınan anda, eksen boyunca soldan sağa yayılan dalga, parçacık 1'e ulaştı, bunun sonucunda parçacık denge konumundan yukarı doğru hareket etmeye başladı ve bir sonraki parçacıkları onunla birlikte sürükledi. Bir periyodun çeyreğinin ardından, parçacık 1, parçacık 2'nin en üst denge konumuna ulaşır. Periyodun bir diğer çeyreğinden sonra, birinci parça yukarıdan aşağıya doğru hareket ederek denge konumunu geçecek, ikinci parçacık en yukarıya ulaşacaktır. konumunda ve üçüncü parçacık denge konumundan yukarı doğru hareket etmeye başlayacaktır. T'ye eşit zaman anında, ilk parçacık tam salınım döngüsünü tamamlayacak ve başlangıç ​​anıyla aynı hareket durumunda olacaktır. T zamanındaki dalga, yolu (υT) geçtikten sonra, parçacık 5'e ulaşacaktır.

Şek. 1.7.13, uzunlamasına bir dalga ortamında yayılma sırasında parçacıkların hareketini gösterir. Enine bir dalgadaki parçacıkların davranışına ilişkin tüm düşünceler, yukarı ve aşağı yer değiştirmelerin yerini sağa ve sola yer değiştirmelerle değiştirdiği bu duruma da uygulanabilir.

Şekilden, ortamdaki uzunlamasına bir dalganın yayılması sırasında, dalga yayılımı yönünde hareket eden alternatif yoğunlaşmaların ve parçacıkların seyrekleşmesinin (yoğunlaşma yerleri şekilde daire içine alınmış) oluştuğu görülebilir. hızı υ ile

Pirinç. 1.7.15

Pirinç. 1.7.16

Şek. 1.7.15 ve 1.7.16, konumları ve dengeleri eksen üzerinde bulunan parçacıkların salınımlarını gösterir. x. Gerçekte, eksen boyunca salınan sadece parçacıklar değil x, ama belirli bir hacimde kapalı parçacıklar topluluğu. Salınım kaynaklarından yayılan dalga süreci, uzayın giderek daha fazla bölümünü kaplar, salınımların t zamanına kadar ulaştığı noktaların yerine denir. dalga cephesi(veya dalga cephesi). Dalga cephesi, dalga sürecine dahil olan uzay kısmını henüz salınımların ortaya çıkmadığı alandan ayıran yüzeydir.

Aynı fazda salınan noktaların geometrik yerine denir. dalga yüzeyi . Dalga yüzeyi, dalga sürecinin kapsadığı uzayda herhangi bir noktadan çizilebilir. Sonuç olarak, sonsuz sayıda dalga yüzeyi varken herhangi bir zamanda sadece bir dalga cephesi vardır. Dalga yüzeyleri sabit kalır (aynı fazda salınan parçacıkların denge konumlarından geçerler). ). Dalga cephesi sürekli hareket ediyor.

Dalga yüzeyleri herhangi bir şekilde olabilir. En basit durumlarda, bir düzlem veya küre şeklindedirler. Buna göre, bu durumlarda dalgaya düz veya küresel denir. Düzlem dalgada, dalga yüzeyleri küresel bir dalgada birbirine paralel bir dizi düzlemdir - bir dizi eşmerkezli küre.

Pirinç. 1.7.17

Bir düzlem dalganın eksen boyunca yayılmasına izin verin x. O zaman kürenin tüm noktaları, konumları, dengeleri aynı koordinata sahip x(ancak koordinat değerlerindeki fark y ve z), aynı fazda salınım yapar.

Şek. 1.7.17 ofset veren bir eğri gösterir ξ farklı olan noktaların denge konumundan x zaman içinde bir noktada. Bu çizim bir dalganın görünür görüntüsü olarak alınmamalıdır. Şekil, fonksiyonların bir grafiğini göstermektedir. ξ (x, t) bazı sabitler için zaman noktası t. Böyle bir grafik hem boyuna hem de enine dalgalar için oluşturulabilir.

Ortamın parçacıklarının salınım periyoduna eşit bir sürede yayılan kısa bir dalga için λ mesafesine denir. dalga boyu. bariz ki

υ dalga hızı, T ise salınım periyodudur. Dalga boyu, 2π'ye eşit bir faz farkıyla salınan ortamın en yakın noktaları arasındaki mesafe olarak da tanımlanabilir (bkz. Şekil 1.7.14).

(1.7.45) T ile 1/ν (ν salınım frekansıdır) arasındaki ilişkiyi değiştirirsek, şunu elde ederiz:

Bu formüle aşağıdaki hususlardan da ulaşılabilir. Bir saniyede, dalga kaynağı ν salınımları gerçekleştirir ve her salınım sırasında ortamda dalganın bir "tepesini" ve bir "çukurunu" oluşturur. Kaynak ν -inci salınımı tamamladığı zaman, ilk "sırt" υ yolundan geçmek için zamana sahip olacaktır. Sonuç olarak, dalganın ν "tepeleri" ve "olukları" υ uzunluğuna uymalıdır.

1.7.12. Düzlem dalga denklemi

Dalga denklemi, salınan bir parçacığın yer değiştirmesini koordinatlarının bir fonksiyonu olarak veren bir ifadedir. x, y, z ve zaman t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(yani parçacığın denge konumunun koordinatları). Bu fonksiyon zamana göre periyodik olmalıdır. t ve koordinatlara göre x, y, z. . Zamandaki periyodiklik, noktaların belirli bir uzaklıkta birbirinden ayrılması gerçeğinden kaynaklanır. λ , aynı şekilde dalgalanır.

İşlev türünü bulun ξ bir düzlem dalga durumunda, salınımların harmonik olduğu varsayılarak. Basitleştirmek için, koordinat eksenlerini eksen olacak şekilde yönlendiririz. x dalga yayılma yönü ile çakışır. Daha sonra dalga yüzeyleri eksene dik olacaktır. x ve dalga yüzeyinin tüm noktaları eşit olarak salındığından, yer değiştirme ξ sadece bağlı olacak x ve t:

ξ = ξ (x, t) .

Şekil 1.7.18

Düzlemde yatan noktaların salınımlarına izin verin x = 0 (Şekil 1.7.18), forma sahip olun

Rasgele bir değere karşılık gelen düzlemdeki noktaların salınım türünü bulalım. x . Uçaktan uzağa gitmek için x=0 bu düzlemde dalga zaman alır ( υ dalga yayılma hızıdır). Sonuç olarak, düzlemde yatan parçacıkların salınımları x , zamanla geride kalacak τ düzlemdeki parçacıkların titreşimlerinden x = 0 , yani gibi görünecek

Yani, düzlem dalga denklemi(uzunlamasına ve enine), eksen yönünde yayılan x , aşağıdaki gibi:

Bu ifade, t zamanı arasındaki ilişkiyi tanımlar. ve o yer x , fazın sabit bir değeri olduğu. Ortaya çıkan dx/dt değeri, verilen faz değerinin hareket ettiği hızı verir. (1.7.48) ifadesinin türevini alarak, şunu elde ederiz:

Azalan yönde yayılan bir dalganın denklemi x :

Formül (1.7.53) türetilirken, salınım genliğinin aşağıdakilere bağlı olmadığını varsaydık. x . Düzlem dalga için bu, dalga enerjisi ortam tarafından emilmediğinde gözlenir. Enerji emici bir ortamda yayılırken, dalganın yoğunluğu salınım kaynağından uzaklaştıkça kademeli olarak azalır - dalga zayıflaması gözlenir. Deneyimler, homojen bir ortamda böyle bir sönümlemenin üstel bir yasaya göre gerçekleştiğini göstermektedir:

Sırasıyla Sönüm dikkate alındığında düzlem dalga denklemi, aşağıdaki forma sahiptir:

(1.7.54)

(a 0, x = 0 düzleminin noktalarındaki genliktir).