), 한쪽 끝은 단단히 고정되고 다른 쪽 끝에는 질량 m의 하중이 있습니다.

질량이 큰 물체에 탄성력이 작용하여 평형 위치로 되돌리면 이 위치를 중심으로 진동하며 이러한 물체를 용수철 진자(spring pendulum)라고 합니다. 진동은 외력에 의해 발생합니다. 외력이 작용을 멈춘 후에도 계속되는 진동을 자유 진동이라고 합니다. 외부 힘의 작용으로 인한 진동을 강제 진동이라고 합니다. 이 경우 힘 자체를 강제력이라고 합니다.

가장 간단한 경우, 스프링 진자는 스프링으로 벽에 부착된 수평면을 따라 움직이는 강체입니다.

외부 힘과 마찰력이 없을 때 그러한 시스템에 대한 뉴턴의 두 번째 법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

시스템이 외부 힘의 영향을 받는 경우 진동 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

, 어디 f(x)- 이것은 하중의 단위 질량과 관련된 외력의 결과입니다.

감쇠의 경우 진동 속도에 비례하는 계수 씨:

또한보십시오

연결

위키미디어 재단. 2010년 .

다른 사전에 "Spring pendulum"이 무엇인지 확인하십시오.

이 용어에는 다른 의미가 있습니다. 진자(의미)를 참조하십시오. 진자 진동: 화살표는 속도(v) 및 가속도(a) 벡터를 나타냅니다... Wikipedia

흔들리는 추- 진동에 의해 시계 메커니즘의 움직임을 조정하는 장치. 봄 진자. 진자와 그 스프링으로 구성된 시계의 조절 부분. 진자 용수철이 발명되기 전 시계는 하나의 진자로 움직였다. ... ... 시계 사전

흔들리는 추- (1) 작은 크기의 수학적(또는 간단한) 몸체(그림 6), 고정된 지점에서 확장할 수 없는 실(또는 막대)의 고정된 지점에 자유롭게 매달려 있으며, 그 질량은 수행하는 몸체의 질량에 비해 무시할 수 있습니다. 고조파 (참조) ... ... 그레이트 폴리테크닉 백과사전

앱의 동작에 따라 수행되는 강체입니다. 진동력 약. 고정점 또는 축. 수학 M.이 불렀습니다. 무중력의 비신축성 실(또는 막대)의 고정된 점에 매달린 상태로 힘의 작용을 받는 물질 점 ... ... 큰 백과사전 폴리테크닉 사전

스프링 진자가 있는 시계- 시계의 진자 조정 부분으로 중소형 시계(휴대용 시계, 탁상시계 등)에도 사용... 시계 사전 - 진자와 망치의 끝에 부착된 작은 나선형 스프링. 스프링 진자는 시계를 조절하며 그 정확도는 부분적으로 진자 스프링의 품질에 달려 있습니다 ... 시계 사전

GOST R 52334-2005: 중력 탐사. 용어 및 정의- 용어 GOST R 52334 2005: 중력 탐사. 용어 및 정의 원본 문서: (중량) 측량 토지에서 수행된 중량 측량. 다양한 문서의 용어 정의: (중량) 조사 95 ... ... 규범 및 기술 문서 용어 사전 참조 책

정의

진동 주파수($\nu$)는 변동을 특성화하는 매개변수 중 하나이며 변동 기간($T$)의 역수입니다.

\[\nu=\frac(1)(T)\left(1\right).\]

따라서 진동의 빈도는 단위 시간당 진동의 반복 횟수와 동일한 물리량이라고합니다.

\[\nu =\frac(N)(\델타 t)\left(2\right),\]

여기서 $N$은 완전한 진동 운동의 수입니다. $\Delta t$ - 이러한 변동이 발생한 시간.

순환 진동 주파수($(\omega )_0$)는 다음 공식에 의해 주파수 $\nu $와 관련됩니다.

\[\nu =\frac((\오메가 )_0)(2\pi )\왼쪽(3\오른쪽).\]

국제 단위계(SI)의 주파수 단위는 헤르츠 또는 초의 역수입니다.

\[\왼쪽[\nu \오른쪽]=c^(-1)=Hz.\]

스프링 진자

정의

스프링 진자하중이 부착된 탄성 스프링으로 구성된 시스템이라고 합니다.

하중의 무게가 $m$이고 스프링의 탄성 계수가 $k$라고 가정합니다. 이러한 진자의 스프링 질량은 일반적으로 고려되지 않습니다. 하중의 수평 이동을 고려하면(그림 1), 시스템이 평형에서 벗어나 그대로 방치되면 탄성력의 작용으로 이동합니다. 이 경우 마찰력을 무시할 수 있다고 종종 믿어집니다.

스프링 진자의 진동 방정식

자유롭게 진동하는 스프링 진자는 조화 진동자의 예입니다. X축을 따라 진동을 수행하도록 하고 진동이 작으면 Hooke의 법칙이 충족되고 하중의 이동에 대한 방정식을 다음과 같이 작성합니다.

\[\ddot(x)+(\오메가 )^2_0x=0\왼쪽(4\오른쪽),\]

여기서 $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$는 스프링 진자의 진동 주기입니다. 방정식 (4)의 해는 다음 형식의 사인 또는 코사인 함수입니다.

여기서 $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$는 스프링 진자의 주기적 진동 주파수이고, $A$는 진동 진폭입니다. $((\omega )_0t+\varphi)$ - 진동 위상; $\varphi $ 및 $(\varphi )_1$ - 진동의 초기 단계.

스프링 진자의 진동 주파수

공식 (3)과 $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$에서 스프링 진자의 진동 주파수는 다음과 같습니다.

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]

공식 (6)은 다음과 같은 경우에 유효합니다.

• 진자의 스프링은 무중력으로 가정됩니다.
• 스프링에 부착된 무게는 완벽하게 강체입니다.
• 비틀림 진동이 없습니다.

식 (6)은 하중의 질량이 감소하고 스프링의 탄성계수가 증가함에 따라 스프링 진자의 진동 주파수가 증가함을 보여준다. 스프링 진자의 진동 주파수는 진폭에 의존하지 않습니다. 진동이 작지 않고 스프링의 탄성력이 Hooke의 법칙을 따르지 않으면 진폭에 대한 진동 주파수의 의존성이 나타납니다.

솔루션 문제의 예

실시예 1

운동.용수철 진자의 진동 주기는 $T=5\cdot (10)^(-3)c$입니다. 이 경우 발진 주파수는 얼마입니까? 이 가중치의 순환 주파수는 얼마입니까?

해결책.진동 주파수는 진동 주기의 역수이므로 문제를 해결하려면 다음 공식을 사용하면 충분합니다.

\[\nu=\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]

원하는 주파수를 계산합니다.

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Hz\right).\]

순환 주파수는 다음과 같이 $\nu$ 주파수와 관련됩니다.

\[(\오메가 )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

순환 주파수를 계산해 보겠습니다.

\[(\오메가 )_0=2\pi \cdot 200\약 1256\ \left(\frac(rad)(c)\right).\]

대답.$1)\ \nu =200$ Hz. 2) $(\오메가 )_0=1256\ \frac(rad)(c)$

실시예 2

운동.탄성 스프링에 걸리는 하중의 질량(그림 2)은 $\Delta m$ 증가하는 반면 주파수는 $n$ 배 감소합니다. 첫 번째 하중의 질량은 얼마입니까?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]

첫 번째 부하의 경우 주파수는 다음과 같습니다.

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]

두 번째 로드의 경우:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]

$(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$ 문제의 조건에 따라 $\frac((\nu )_1)((\nu )_2):\ frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac( \델타 m)( m))=n\ \left(2.3\right).$

우리는 방정식 (2.3)에서 원하는 하중 질량을 얻습니다. 이를 위해 식 (2.3)의 두 부분을 모두 제곱하고 $m$를 표현합니다.

대답.$m=\frac(\델타 m)(n^2-1)$

진자 진동에 대한 연구는 설치에서 수행되며 그 계획은 그림 5에 나와 있습니다. 설치는 스프링 진자, 압전 센서 기반 진동 등록 시스템, 강제 진동 여기 시스템 및 개인용 컴퓨터의 정보 처리 시스템으로 구성됩니다. 조사된 스프링 진자는 강성 계수가 있는 강철 스프링으로 구성됩니다. 케이그리고 진자 몸체 중중앙에 영구 자석이 있습니다. 진자의 움직임은 액체에서 발생하고 낮은 진동 속도에서 결과적인 마찰력은 선형 법칙에 의해 충분한 정확도로 근사화될 수 있습니다.

그림 5 실험 설정의 블록 다이어그램

액체 속에서 움직일 때 저항력을 증가시키기 위해 진자의 몸체는 구멍이 있는 와셔 형태로 만들어집니다. 진동을 등록하기 위해 진자 스프링이 매달린 압전 센서가 사용됩니다. 진자가 움직이는 동안 탄성력은 변위에 비례합니다. 엑스,
압전 센서에서 발생하는 EMF는 차례로 압력에 비례하므로 센서에서 수신된 신호는 평형 위치에서 진자 본체의 변위에 비례합니다.
진동의 여기는 자기장을 사용하여 수행됩니다. PC에서 생성된 고조파 신호는 증폭되어 진자의 몸체 아래에 있는 여기 코일에 공급됩니다. 이 코일의 결과 시간에 따라 가변적이고 공간적으로 불균일한 자기장이 형성된다. 이 필드는 진자의 몸체에 장착된 영구 자석에 작용하여 외부의 주기적인 힘을 생성합니다. 몸체가 움직일 때 구동력은 조화 함수의 중첩으로 나타낼 수 있으며 진자 진동은 진동수가 mw인 진동의 중첩으로 나타낼 수 있습니다. 그러나 주파수에서 힘 성분만 승, 공진 주파수에 가장 가깝기 때문입니다. 따라서 주파수에서 진자의 진동 성분의 진폭은 음작을 것이다. 즉, 임의의 주기적인 동작의 경우 정확도가 높은 진동은 주파수에서 고조파로 간주될 수 있습니다. 승.
정보 처리 시스템은 아날로그-디지털 변환기와 개인용 컴퓨터로 구성됩니다. 압전 센서의 아날로그 신호는 아날로그-디지털 변환기를 사용하여 디지털 형식으로 표시되고 개인용 컴퓨터에 공급됩니다.

실험 설정의 컴퓨터 제어
컴퓨터를 켜고 프로그램을 로드하면 기본 메뉴가 모니터 화면에 나타나며 전체 보기는 그림 5와 같습니다. 커서 키 , , , 를 사용하여 메뉴 항목 중 하나를 선택할 수 있습니다. 버튼을 누른 후 입력하다컴퓨터가 선택한 작동 모드를 시작합니다. 선택한 작동 모드에 대한 가장 간단한 힌트는 화면 하단의 강조 표시된 줄에 포함되어 있습니다.
프로그램의 가능한 작동 모드를 고려하십시오.
정적- 이 메뉴 항목은 첫 번째 운동의 결과를 처리하는 데 사용됩니다(그림 5 참조) 버튼을 누른 후 입력하다컴퓨터는 진자의 무게를 묻습니다. 다음 버튼을 누른 후 입력하다깜박이는 커서와 함께 새 사진이 화면에 나타납니다. 하중의 질량을 그램 단위로 화면에 지속적으로 기록하고 스페이스바를 누른 후 스프링의 늘어남 정도를 기록합니다. 누르기 입력하다새 줄로 이동하여 하중의 질량과 스프링의 신축량을 다시 기록하십시오. 마지막 줄 내에서 데이터 편집이 허용됩니다. 이렇게 하려면 키를 누르면 역행 키이스프링의 질량 또는 장력의 잘못된 값을 삭제하고 새 값을 기록합니다. 다른 행의 데이터를 변경하려면 연속적으로 눌러야 합니다. ESC그리고 입력하다그런 다음 결과 집합을 반복합니다.
데이터를 입력한 후 기능 키를 누릅니다. F2. 최소 자승법을 사용하여 계산된 진자의 자유 진동 주파수와 스프링 강성 계수 값이 화면에 나타납니다. 클릭 후 입력하다스프링 확장의 크기에 대한 탄성력의 의존도 그래프가 모니터 화면에 나타납니다. 아무 키나 누르면 메인 메뉴로 돌아갑니다.
실험- 이 항목에는 여러 하위 항목이 있습니다(그림 6). 각각의 기능을 고려하십시오.
빈도- 이 모드에서는 커서 키를 사용하여 구동력의 주파수를 설정합니다. 자유 진동 실험이 수행되는 경우 주파수 값을 다음과 같이 설정해야 합니다. 0 .
시작- 이 모드에서 버튼을 누른 후 입력하다프로그램은 시간에 따른 진자 편향의 실험적 의존성을 기록하기 시작합니다. 구동력의 주파수가 0인 경우 감쇠 진동의 그림이 화면에 나타납니다. 별도의 창에 진동 주파수 및 감쇠 상수 값이 기록됩니다. 구동력의 주파수가 0이 아닌 경우 시간에 따른 진자 편향 및 구동력의 의존성 그래프와 함께 구동력의 주파수 및 진폭 값뿐만 아니라 진자 진동의 측정된 주파수와 진폭은 별도의 창에서 화면에 기록됩니다. 키를 누르면 ESC메인 메뉴로 나갈 수 있습니다.
구하다- 실험 결과가 만족스러우면 해당 메뉴 키를 눌러 저장할 수 있습니다.
새로운 시리즈- 이 메뉴 항목은 현재 실험의 데이터를 폐기해야 하는 경우에 사용됩니다. 키를 누른 후 입력하다이 모드에서는 이전의 모든 실험 결과가 기계의 메모리에서 지워지고 새로운 일련의 측정이 시작될 수 있습니다.
실험 후 모드로 전환 측정. 이 메뉴 항목에는 여러 하위 항목이 있습니다(그림 7).
주파수 응답 그래프- 이 메뉴 항목은 강제 진동 연구에 대한 실험이 끝난 후에 사용됩니다. 강제 진동의 진폭-주파수 특성이 모니터 화면에 표시됩니다.
PFC 차트- 이 모드에서는 강제 진동 연구에 대한 실험이 끝난 후 위상-주파수 특성이 모니터 화면에 구축됩니다.
테이블- 이 메뉴 항목을 사용하면 구동력의 주파수에 따라 모니터 화면에 진동의 진폭과 위상 값을 표시할 수 있습니다. 이 데이터는 이 작업에 대한 보고서를 위해 노트북에 다시 작성됩니다.
컴퓨터 메뉴 항목 출구- 프로그램 종료(예: 그림 7 참조)

연습 1. 정적 방법에 의한 스프링 강성 계수의 결정.

측정은 알려진 질량의 하중 작용하에 스프링의 신율을 결정하여 수행됩니다. 적어도 지출하는 것이 좋습니다 7-10 점진적으로 하중을 중단하고 하중을 20 ~ 전에 150 d. 프로그램의 메뉴 항목 사용 통계이러한 측정 결과는 컴퓨터 메모리에 입력되고 스프링 강성 계수는 ​​최소 자승법을 사용하여 결정됩니다. 운동하는 동안 진자의 고유 진동수 값을 계산할 필요가 있습니다

스프링 진자는 강성을 가진 절대적으로 탄성이 있는 무중력 스프링에 부착된 물질의 질량 점입니다. . 가장 간단한 두 가지 경우가 있습니다. 수평(그림 15, ㅏ) 및 수직(그림 15, 비) 진자.

ㅏ) 수평 진자(그림 15a). 화물을 옮길 때
균형을 벗어난 금액으로 수평 방향으로 작용합니다. 탄성력 복원
(훅의 법칙).

하중이 미끄러지는 수평 지지대가 있다고 가정합니다.
진동 중에는 절대적으로 부드럽습니다(마찰 없음).

비) 수직 진자(그림 15, 비). 이 경우 평형 위치는 다음 조건을 특징으로 합니다.

어디 - 하중에 작용하는 탄성력의 크기
스프링이 정적으로 늘어날 때 중력의 영향으로
.

ㅏ

그림 15. 스프링 진자: ㅏ- 수평 및 비- 세로

스프링이 늘어나고 하중이 풀리면 수직으로 진동하기 시작합니다. 특정 시점의 오프셋이
, 그러면 탄성력은 이제 다음과 같이 쓰여질 것입니다.
.

두 경우 모두 고려하면 스프링 진자는 주기와 함께 조화 진동을 수행합니다.

(27)

및 주기적 주파수

. (28)

스프링 진자를 고려한 예를 사용하여 조화 진동은 변위에 비례하여 증가하는 힘에 의해 발생하는 운동이라는 결론을 내릴 수 있습니다. . 이런 식으로, 복원력이 Hooke의 법칙처럼 보인다면
(그녀는 이름을 얻었다준탄성력 ), 시스템은 고조파 진동을 수행해야 합니다.평형 위치를 통과하는 순간에는 본체에 복원력이 작용하지 않으나, 관성에 의해 본체가 평형 위치를 건너뛰고 복원력의 방향이 반대 방향으로 바뀝니다.

수학 진자

그림 16. 수학 진자

수학 진자길이의 무중력 비연장 실에 매달린 재료 점 형태의 이상적인 시스템입니다. , 중력의 작용에 따라 작은 진동을 수행합니다(그림 16).

작은 편향각에서 이러한 진자의 진동
(5º를 초과하지 않음)은 고조파로 간주될 수 있으며 수학 진자의 주기적 주파수는 다음과 같습니다.

, (29)

기간:

. (30)

2.3. 고조파 진동 중 신체 에너지

초기 푸시 동안 진동 시스템에 전달된 에너지는 주기적으로 변환됩니다. 변형된 스프링의 위치 에너지는 움직이는 하중의 운동 에너지로 또는 그 반대로 변환됩니다.

스프링 진자가 초기 위상과 함께 조화 진동을 수행하도록 하십시오.
, 즉.
(그림 17).

그림 17. 역학적 에너지 보존 법칙

스프링 진자가 진동할 때

평형 위치로부터 하중의 최대 편차에서, 진자의 총 기계적 에너지(강성을 갖는 변형된 스프링의 에너지 ) 와 동등하다
. 평형 위치를 지날 때(
) 스프링의 위치 에너지는 0이 되고 진동 시스템의 총 기계적 에너지는 다음과 같이 결정됩니다.
.

그림 18은 고조파 진동이 사인(점선) 또는 코사인(실선)의 삼각 함수로 설명되는 경우 운동, 위치 및 총 에너지의 의존성을 보여줍니다.

그림 18. 운동의 시간 의존성 그래프

고조파 진동에 대한 위치 에너지

그래프(그림 18)에서 운동 에너지와 위치 에너지의 변화 빈도는 조화 진동의 고유 진동수보다 두 배 더 높습니다.

(1.7.1)

공이 평형 위치에서 거리 x만큼 변위되면 스프링의 연신율은 Δl 0 + x와 같아집니다. 그러면 결과적인 힘은 다음 값을 취합니다.

평형 조건(1.7.1)을 고려하면 다음을 얻습니다.

빼기 기호는 변위와 힘이 반대 방향임을 나타냅니다.

탄성력 f는 다음과 같은 속성을 갖습니다.

1. 평형 위치에서 공의 변위에 비례합니다.
2. 항상 평형 위치를 향합니다.

변위 x를 시스템에 알리기 위해서는 탄성력에 대한 작업을 수행해야 합니다.

이 작업은 시스템의 잠재적 에너지 예비를 만들기 위해 진행됩니다.

탄성력의 작용으로 공은 점점 더 빠른 속도로 평형 위치를 향해 이동할 것입니다. 따라서 시스템의 위치 에너지는 감소하지만 운동 에너지는 증가합니다(스프링의 질량은 무시함). 평형 위치에 도달하면 공은 관성에 의해 계속 움직일 것입니다. 이것은 슬로우 모션이며 운동 에너지가 포텐셜로 완전히 변환되면 멈춥니다. 그런 다음 공이 반대 방향으로 움직일 때도 동일한 과정이 진행됩니다. 시스템에 마찰이 없으면 공은 무한정 진동합니다.

이 경우 뉴턴의 제2법칙 방정식은 다음과 같습니다.

방정식을 다음과 같이 변환해 보겠습니다.

표기법을 도입하면 2차 선형 균질 미분 방정식을 얻습니다.

직접 대체에 의해 방정식 (1.7.8)의 일반 솔루션이 다음 형식을 갖는지 쉽게 확인할 수 있습니다.

여기서 a는 진폭이고 φ는 진동의 초기 위상 - 상수 값입니다. 따라서 스프링 진자의 진동은 조화입니다(그림 1.7.2).

쌀. 1.7.2. 고조파 진동

코사인의 주기성으로 인해 특정 시간(진동 주기) T 이후에 진동 시스템의 다양한 상태가 반복되며, 이 기간 동안 진동 위상은 2π의 증분을 받습니다. 다음 방정식을 사용하여 기간을 계산할 수 있습니다.

다음 위치에서:

단위 시간당 진동 수를 주파수라고 합니다.

주파수 단위는 그러한 진동의 주파수이며, 그 주기는 1초입니다. 이 단위를 1Hz라고 합니다.

(1.7.11)에서 다음을 따릅니다.

따라서 ω 0 는 2π 초 동안 만들어진 진동 수입니다. ω 0 값을 순환 또는 순환 주파수라고 합니다. (1.7.12) 및 (1.7.13)을 사용하여 다음과 같이 작성합니다.

()을 시간에 대해 미분하면 공의 속도에 대한 식을 얻습니다.

(1.7.15)에서 속도도 고조파 법칙에 따라 변하고 위상 변이보다 ½π 앞서 있음을 알 수 있습니다. 미분(1.7.15)하면 가속도를 얻습니다.

1.7.2. 수학 진자

수학 진자전체 질량이 한 지점에 집중되어 있는 몸체가 매달린 확장할 수 없는 무중력 실로 구성된 이상화된 시스템이라고 합니다.

평형 위치에서 진자의 편차는 나사산이 수직으로 형성하는 각도 φ를 특징으로 합니다(그림 1.7.3).

쌀. 1.7.3. 수학 진자

진자가 평형 위치에서 벗어날 때 진자를 평형 위치로 되돌리는 경향이 있는 토크가 발생합니다.

관성 모멘트가 ml 2와 같다는 점을 고려하여 진자의 회전 운동 역학에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다.

이 방정식은 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있습니다.

작은 변동 sinφ ≈ φ의 경우로 제한하고 표기법을 도입:

방정식(1.7.19)은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이것은 스프링 진자의 진동 방정식과 형태가 일치합니다. 따라서 그 솔루션은 고조파 진동이 될 것입니다.

(1.7.20)에서 수학 진자의 주기적 진동 주파수는 길이와 자유 낙하 가속도에 따라 달라집니다. 진동 주기 () 및 (1.7.20)에 대한 공식을 사용하여 알려진 관계를 얻습니다.

1.7.3. 물리적 진자

물리적 진자는 관성 중심과 일치하지 않는 고정점을 중심으로 진동할 수 있는 강체입니다. 평형 위치에서 진자 C의 관성 중심은 동일한 수직선에서 서스펜션 점 O 아래에 있습니다(그림 1.7.4).

쌀. 1.7.4. 물리적 진자

진자가 평형 위치에서 각도 φ만큼 벗어날 때 진자를 평형 위치로 되돌리는 경향이 있는 토크가 발생합니다.

여기서 m은 진자의 질량, l은 서스펜션 점과 진자의 관성 중심 사이의 거리입니다.

관성 모멘트가 I와 같다는 점을 고려하여 진자의 회전 운동 역학에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다.

작은 변동의 경우 sinφ ≈ φ. 그런 다음 표기법을 소개합니다.

이것은 또한 스프링 진자의 진동 방정식과 형태가 일치합니다. 방정식 (1.7.27) 및 (1.7.26)에서 평형 위치에서 물리적 진자의 작은 편차로 고조파 진동을 수행하며, 진동수의 진동수는 진자의 질량, 관성 모멘트에 따라 달라집니다 및 회전축과 관성 중심 사이의 거리. (1.7.26)을 사용하여 진동 주기를 계산할 수 있습니다.

공식 (1.7.28)과 ()을 비교하면 길이가 있는 수학 진자를 얻을 수 있습니다.

고려된 물리적 진자와 동일한 진동 주기를 갖습니다. 수량(1.7.29)은 줄어든 길이물리적 진자. 따라서 물리적 진자의 감소된 길이는 이러한 수학적 진자의 길이이며, 진동 주기는 주어진 물리적 진자의 진동 주기와 같습니다.

회전축에서 감소된 길이만큼 떨어져 있는 관성중심과 현수점을 연결하는 직선 위의 점을 스윙 센터물리적 진자. 슈타이너의 정리에 따르면 물리적 진자의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

여기서 I 0은 관성 중심에 대한 관성 모멘트입니다. (1.7.30)을 (1.7.29)에 대입하면 다음을 얻습니다.

따라서 감소된 길이는 항상 서스펜션 지점과 진자의 관성 중심 사이의 거리보다 크므로 서스펜션 지점과 스윙 중심은 관성 중심의 반대쪽에 놓입니다.

1.7.4. 고조파 진동 에너지

조화 진동 동안 준탄성력의 작용으로 인해 진동체의 운동 에너지 E k 와 위치 에너지 E p 의 주기적인 상호 변환이 있습니다. 이러한 에너지에서 진동 시스템의 총 에너지 E가 추가됩니다.

마지막 표현을 쓰자

그러나 k \u003d mω 2이므로 진동체의 총 에너지에 대한 표현을 얻습니다.

따라서 고조파 진동의 총 에너지는 일정하고 진폭의 제곱과 진동의 원형 주파수의 제곱에 비례합니다.

1.7.5. 감쇠 진동 .

고조파 진동을 연구할 때 실제 시스템에 존재하는 마찰력과 저항은 고려되지 않았습니다. 이러한 힘의 작용은 운동의 특성을 크게 변화시키고 진동은 다음과 같이 됩니다. 페이딩.

준탄성력 외에 매질의 저항력(마찰력)이 계에 작용하면 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 r은 운동에 저항하는 매체의 특성을 나타내는 마찰 계수입니다. (1.7.34b)를 (1.7.34a)로 대체합니다.

이 함수의 그래프는 그림 1.7.5에 실선 1로 표시되며 점선 2는 진폭의 변화를 보여줍니다.

마찰이 매우 적기 때문에 감쇠 진동 주기는 감쇠되지 않은 자유 진동 주기에 가깝습니다(1.7.35.b).

진동 진폭의 감소율은 다음과 같이 결정됩니다. 감쇠 계수: β가 클수록 매질의 지연 효과가 강하고 진폭이 더 빨리 감소합니다. 실제로 감쇠 정도는 종종 특성화됩니다. 대수 감쇠 감소, 이는 진동 주기와 동일한 시간 간격으로 분리된 두 개의 연속 진동 진폭 비율의 자연 로그와 동일한 값을 의미합니다.

;

따라서 감쇠 계수와 대수 감쇠 감소는 매우 간단한 관계로 관련됩니다.

감쇠가 강하면 공식 (1.7.37)에서 진동주기가 허수량임을 알 수 있습니다. 이 경우의 움직임은 이미 호출되었습니다. 비주기적인. 주기적인 모션 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 1.7.6. 감쇠되지 않은 진동과 감쇠된 진동을 소유하다 또는 무료. 초기 변위 또는 초기 속도의 결과로 발생하며 초기에 축적된 에너지로 인해 외부 영향이 없을 때 발생합니다.

1.7.6. 강제 진동. 공명 .

강요된 진동은 주기적인 법칙에 따라 변화하는 외력의 참여로 시스템에서 발생하는 진동이라고 합니다.

준탄성력과 마찰력 외에 외부 구동력이 재료 점에 작용한다고 가정합니다.

,

어디서 F 0 - 진폭; ω - 구동력 진동의 원형 주파수. 우리는 미분 방정식(뉴턴의 두 번째 법칙)을 작성합니다.

,

강제 진동의 진폭(1.7.39)은 구동력의 진폭에 정비례하고 매질의 감쇠 계수와 자연 및 강제 진동의 원형 주파수에 복잡한 의존성을 갖습니다. 시스템에 대해 ω 0 및 β가 주어지면 강제 진동의 진폭은 구동력의 특정 특정 주파수에서 최대값을 갖습니다. 공명.

주어진 ω 0 및 β에 대한 최대 진폭에 도달하는 현상 자체를 공명.

쌀. 1.7.7. 공명

저항이 없는 경우 공진 시 강제 진동의 진폭은 무한히 큽니다. 이 경우 ω res = ω 0, 즉 감쇠가 없는 시스템에서 공진은 구동력의 주파수가 자연 진동의 주파수와 일치할 때 발생합니다. 감쇠 계수의 다른 값에 대한 구동력의 원형 주파수에 대한 강제 진동 진폭의 그래픽 의존성이 그림 1에 나와 있습니다. 5.

기계적 공명은 유익할 수도 있고 해로울 수도 있습니다. 공명의 해로운 영향은 주로 그것이 야기할 수 있는 파괴 때문입니다. 따라서 기술에서는 다양한 진동을 고려하여 공진 조건의 발생 가능성을 예측해야 합니다. 그렇지 않으면 파괴와 재난이 발생할 수 있습니다. 본체는 일반적으로 여러 고유 진동 주파수와 그에 따라 여러 공진 주파수를 갖습니다.

사람의 내부 기관의 감쇠 계수가 크지 않으면 외부 진동이나 음파의 영향으로 이러한 기관에서 발생하는 공명 현상이 비극적 인 결과를 초래할 수 있습니다. 장기 파열, 인대 손상 등. 그러나 생물학적 시스템의 감쇠 계수가 상당히 크기 때문에 이러한 현상은 중간 정도의 외부 영향에서 실제로 관찰되지 않습니다. 그럼에도 불구하고 외부 기계적 진동의 작용에 따른 공명 현상은 내부 장기에서 발생합니다. 이것은 분명히 인체에 대한 초저주파 진동 및 진동의 부정적인 영향에 대한 이유 중 하나입니다.

1.7.7. 자체 진동

또한 자체적으로 낭비되는 에너지의 주기적 보충을 조절하는 진동 시스템이 있으므로 오랫동안 변동될 수 있습니다.

가변적인 외부 영향이 없는 시스템에 존재하는 감쇠되지 않은 진동을 자기 진동, 시스템 자체 자기 진동.

자체 진동의 진폭과 주파수는 자체 진동 시스템 자체의 특성에 따라 달라지며 강제 진동과 달리 외부 영향에 의해 결정되지 않습니다.

많은 경우 자체 진동 시스템은 세 가지 주요 요소로 나타낼 수 있습니다(그림 1.7.8). 1) 실제 진동 시스템; 2) 에너지원; 3) 실제 진동 시스템에 대한 에너지 공급 조절기. 피드백 채널(그림 6)을 통한 진동 시스템은 레귤레이터에 작용하여 이 시스템의 상태를 레귤레이터에 알립니다.

기계식 자체 진동 시스템의 고전적인 예는 진자 또는 균형이 진동 시스템이고, 스프링 또는 올려진 추가 에너지 소스이며, 앵커가 소스에서 에너지 입력의 조절기인 시계입니다. 진동 시스템.

많은 생물학적 시스템(심장, 폐 등)은 자체 진동합니다. 전자기 자기 발진 시스템의 전형적인 예는 자기 발진 발진기입니다.

1.7.8. 한 방향으로 진동 추가

동일한 방향과 동일한 주파수의 두 가지 고조파 진동을 추가하는 것을 고려하십시오.

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \u003d a 2 cos (ω 0 t + α 2).

조화 진동은 길이가 진동의 진폭과 같고 방향이 진동의 초기 위상과 동일한 일부 축과 각도를 형성하는 벡터를 사용하여 지정할 수 있습니다. 이 벡터가 각속도 ω 0으로 회전하면 선택한 축의 투영이 조화 법칙에 따라 변경됩니다. 이를 기반으로 일부 X축을 선택하고 벡터 a 1 및 a 2를 사용하여 진동을 나타냅니다(그림 1.7.9).

그림 1.7.6에서 다음을 따릅니다.

.

진동이 평면의 벡터로 그래픽으로 표시되는 방식을 벡터 다이어그램이라고 합니다.

공식 1.7.40에 따릅니다. 두 진동의 위상차가 0이면 결과 진동의 진폭은 추가된 진동의 진폭의 합과 같습니다. 추가된 진동의 위상차가 와 같으면 결과 진동의 진폭은 와 같습니다. 추가된 진동의 주파수가 동일하지 않은 경우 이러한 진동에 해당하는 벡터는 다른 속도로 회전합니다. 이 경우 결과 벡터는 크기가 맥동하고 일정하지 않은 속도로 회전합니다. 결과적으로, 덧셈의 결과로 고조파 진동이 얻어지지 않고 복잡한 진동 과정이 얻어진다.

1.7.9. 비트

주파수가 약간 다른 동일한 방향의 두 가지 고조파 진동을 추가하는 것을 고려하십시오. 그들 중 하나의 주파수를 ω, 두 번째 주파수 ω + ∆ω, ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d a cos ωt, x 2 \u003d a cos (ω + ∆ω) t.

이러한 표현식을 추가하고 코사인 합계 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

진동(1.7.41)은 주파수 ω의 조화 진동으로 간주할 수 있으며, 진폭은 법칙에 따라 다릅니다. 이 함수는 모듈 기호 아래 표현식의 빈도의 두 배인 빈도로 주기적입니다. 주파수 ∆ω. 따라서 비트 주파수라고 하는 진폭 맥동의 주파수는 추가된 진동의 주파수 차이와 같습니다.

1.7.10. 상호 수직 진동의 추가(리사쥬 수치)

재료 점이 x축과 y축 모두를 따라 진동하면 일부 곡선 궤적을 따라 이동합니다. 발진 주파수를 동일하게 하고 첫 번째 발진의 초기 위상을 0으로 하면 다음과 같은 형식으로 발진 방정식을 씁니다.

방정식(1.7.43)은 타원의 방정식으로, 그 축은 x 및 y 좌표축에 대해 임의로 배향됩니다. 타원의 방향과 반축의 크기는 진폭 a 및 b와 위상차 α에 따라 달라집니다. 몇 가지 특별한 경우를 고려해 보겠습니다.

(m=0, ±1, ±2, …). 이 경우 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이것은 축이 좌표축과 일치하고 반축이 진폭과 동일한 타원의 방정식입니다 (그림 1.7.12). 진폭이 같으면 타원이 원이 됩니다.

그림 1.7.12

서로 수직인 진동의 주파수가 약간 ∆ω만큼 다른 경우 동일한 주파수의 진동으로 간주할 수 있지만 위상 차이가 천천히 변합니다. 이 경우 진동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

∆ωt+α라는 표현은 선형 법칙에 따라 시간이 지남에 따라 서서히 변하는 위상차로 간주된다. 이 경우 결과적인 움직임은 천천히 변화하는 곡선을 따르며, 이는 -π에서 +π까지 위상차의 모든 값에 해당하는 형태를 연속적으로 취합니다.

상호 수직 진동의 주파수가 동일하지 않으면 결과 운동의 궤적은 다음과 같은 다소 복잡한 곡선의 형태를 갖습니다. 리사쥬 피규어. 예를 들어, 추가된 진동의 주파수가 1과 관련되어 있다고 가정합니다. : 2 및 위상차 π/2. 그러면 진동 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x=a cos ωt, y=b cos.

x축을 따라 점은 한 극단 위치에서 다른 극단 위치로 이동하는 반면 y축을 따라 0 위치를 떠나 한 극단 위치에 도달한 다음 다른 극단 위치에 도달한 다음 돌아옵니다. 곡선 보기는 그림 1에 나와 있습니다. 1.7.13. 주파수 비율은 같지만 위상차가 0인 곡선이 그림 1.7.14에 나와 있습니다. 추가된 진동의 주파수 비율은 좌표축에 평행한 직선과 리사쥬 도형의 교차점 수의 비율에 반비례합니다. 따라서 Lissajous 수치의 출현으로 추가 진동 또는 알려지지 않은 주파수의 주파수 비율을 결정할 수 있습니다. 주파수 중 하나가 알려진 경우.

그림 1.7.13

그림 1.7.14

진동 주파수의 비율을 표현하는 유리 분수가 1에 가까울수록 결과적인 리사주 수치가 더 복잡해집니다.

1.7.11. 탄성 매체에서의 파동 전파

탄성 (고체 액체 또는 기체) 매체의 임의의 장소에서 입자의 진동이 여기되면 입자 간의 상호 작용으로 인해이 진동이 매체에서 특정 속도 υ로 입자에서 입자로 전파됩니다. 공간에서 진동이 전파되는 과정을 파도.

파동이 전파되는 매질의 입자는 병진 운동의 파동에 포함되지 않으며 평형 위치 주변에서만 진동합니다.

파동의 진행 방향에 대한 입자 진동의 방향에 따라 세로 및 횡축파도. 종파에서 매질의 입자는 파동의 전파를 따라 진동합니다. 횡파에서 매질의 입자는 파동의 전파 방향에 수직인 방향으로 진동합니다. 탄성 횡파는 전단 저항이 있는 매질에서만 발생할 수 있습니다. 따라서 액체 및 기체 매체에서는 종파만 발생할 수 있습니다. 고체 매질에서는 종파와 횡파가 모두 발생할 수 있습니다.

무화과에. 1.7.12는 횡파의 매질에서 전파되는 동안 입자의 운동을 보여줍니다. 숫자 1, 2 등은 (¼ υT)와 같은 거리만큼 서로 뒤쳐진 입자를 나타냅니다. 입자에 의해 만들어진 진동 주기의 1/4 동안 파동이 이동한 거리. 0으로 간주되는 순간에 축을 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 전파되는 파동이 입자 1에 도달하여 입자가 평형 위치에서 위쪽으로 이동하기 시작하여 다음 입자를 드래그합니다. 기간의 1/4 후에 입자 1은 입자 2의 최상 평형 위치에 도달합니다. 기간의 또 다른 1/4 후에 첫 번째 부분은 평형 위치를 통과하여 위에서 아래 방향으로 이동하고 두 번째 입자는 최상부에 도달합니다. 위치가 되고 세 번째 입자는 평형 위치에서 위쪽으로 이동하기 시작합니다. T와 같은 시간에 첫 번째 입자는 완전한 진동 주기를 완료하고 시작 순간과 동일한 운동 상태에 있게 됩니다. 경로(υT)를 통과한 시간 T의 파동은 입자 5에 도달합니다.

그림에. 1.7.13은 종파의 매체에서 전파되는 동안 입자의 움직임을 보여줍니다. 횡파에서 입자의 거동에 관한 모든 고려 사항은 위아래 변위가 오른쪽 및 왼쪽 변위로 대체된 이 경우에도 적용될 수 있습니다.

매질에서 종파가 전파되는 동안 입자의 교대 응결 및 희박화가 생성되어 파동 전파 방향으로 이동하는 그림에서 볼 수 있습니다(응축 장소는 그림에서 점선으로 표시됨). 속도 υ.

쌀. 1.7.15

쌀. 1.7.16

무화과에. 1.7.15 및 1.7.16은 위치와 평형이 축에 있는 입자의 진동을 보여줍니다. 엑스.실제로는 입자가 축을 따라 진동할 뿐만 아니라 엑스,그러나 특정 부피로 둘러싸인 입자의 집합입니다. 진동의 근원에서 퍼지는 파동 과정은 시간 t까지 진동이 도달하는 점의 궤적을 공간의 점점 더 많은 부분을 덮습니다. 파면(또는 웨이브 프론트). 파면은 이미 파동 과정에 관여한 공간과 아직 진동이 발생하지 않은 영역을 분리하는 표면입니다.

같은 위상에서 진동하는 점의 궤적을 파도 표면 . 파동 표면은 파동 과정으로 덮인 공간의 모든 지점을 통해 그릴 수 있습니다. 결과적으로 파도 표면의 수는 무한하지만 항상 하나의 파면만 존재합니다. 파동 표면은 정지 상태를 유지합니다(같은 위상에서 진동하는 입자의 평형 위치를 통과합니다. ). 파면은 끊임없이 움직입니다.

웨이브 표면은 어떤 모양이든 될 수 있습니다. 가장 단순한 경우에는 평면이나 구의 모양을 하고 있습니다. 따라서 이러한 경우의 파동을 평면 또는 구형이라고 합니다. 평면파에서 파도 표면은 구면파에서 서로 평행한 평면 세트입니다 - 동심 구 세트.

쌀. 1.7.17

평면파를 축을 따라 전파하자 엑스. 그런 다음 평형이 동일한 좌표를 갖는 구의 모든 점, 위치 엑스(그러나 좌표 값의 차이 와이그리고 지),같은 위상에서 진동합니다.

그림에. 1.7.17은 오프셋을 제공하는 곡선을 보여줍니다. ξ 서로 다른 점의 평형 위치에서 엑스어떤 시점에서. 이 그림은 파도의 가시적 이미지로 간주되어서는 안됩니다. 그림은 기능의 그래프를 보여줍니다 ξ (x, t)일부 고정 시점 티.이러한 그래프는 종파와 횡파 모두에 대해 작성할 수 있습니다.

단파에 대한 거리 λ는 매질 입자의 진동 주기와 동일한 시간에 전파되며, 파장. 그것은 분명하다

여기서 υ는 파동 속도, T는 진동 주기입니다. 파장은 또한 2π와 동일한 위상차로 진동하는 매질의 가장 가까운 점 사이의 거리로 정의할 수 있습니다(그림 1.7.14 참조).

관계식 (1.7.45) T ~ 1/ν (ν는 진동 주파수)로 대체하면 다음을 얻습니다.

이 공식은 다음 고려 사항에서도 얻을 수 있습니다. 1초 안에 파동 소스는 ν 진동을 수행하여 각 진동 동안 매질에서 파동의 "마루" 하나와 "골" 하나를 생성합니다. 소스가 ν 번째 진동을 완료할 때까지 첫 번째 "마루"는 경로 υ를 통과할 시간이 있습니다. 결과적으로, 파동의 ν "마루"와 "골"은 길이 υ에 맞아야 합니다.

1.7.12. 평면파 방정식

파동 방정식은 진동하는 입자의 변위를 좌표의 함수로 제공하는 표현식입니다. x, y, z 그리고 시간 티 :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(입자의 평형 위치의 좌표를 의미). 이 함수는 시간에 대해 주기적이어야 합니다. 티 , 그리고 좌표를 기준으로 x, y, z. . 시간의 주기성은 점들이 서로 멀리 떨어져 있다는 사실에서 비롯됩니다. λ , 같은 방식으로 변동합니다.

함수 유형 찾기 ξ 평면파의 경우 진동이 고조파라고 가정합니다. 단순화하기 위해 좌표축을 다음과 같이 지시합니다. 엑스 파동의 진행 방향과 일치한다. 그러면 파도 표면은 축에 수직이 될 것입니다 엑스 그리고 파면의 모든 지점이 동일하게 진동하기 때문에 변위 ξ 에만 의존할 것이다 엑스 그리고 티:

ξ = ξ (x, t) .

그림 1.7.18

평면에 있는 점의 진동을 보자 엑스 = 0 (그림 1.7.18), 형식

임의의 값에 해당하는 평면에서 점의 진동 유형을 찾자 엑스 . 비행기에서 멀리 가려면 엑스=0 이 평면까지 파동은 시간이 걸립니다( υ 파동의 전파 속도). 결과적으로 평면에 있는 입자의 진동 엑스 , 시간에 늦을 것입니다 τ 평면에 있는 입자의 진동으로부터 엑스 = 0 , 즉. 처럼 보일 것입니다

그래서, 평면파 방정식(세로 및 가로), 축 방향으로 전파 엑스 , 다음과 같이:

이 표현식은 시간 t 사이의 관계를 정의합니다. 그리고 그 곳 엑스 , 위상이 고정된 값을 갖습니다. 결과 dx/dt 값은 주어진 위상 값이 이동하는 속도를 제공합니다. 식 (1.7.48)을 미분하면 다음을 얻습니다.

감소하는 방향으로 전파하는 파동의 방정식 엑스 :

공식 (1.7.53)을 유도할 때 진동 진폭이 엑스 . 평면파의 경우 파동 에너지가 매질에 흡수되지 않을 때 관찰됩니다. 에너지 흡수 매질에서 전파될 때 파동의 강도는 진동원으로부터의 거리에 따라 점차적으로 감소합니다. 파동 감쇠가 관찰됩니다. 경험에 따르면 균질한 매질에서 이러한 감쇠는 지수 법칙에 따라 발생합니다.

각기 감쇠를 고려한 평면파 방정식, 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(1.7.54)

(a 0은 평면 x = 0의 점에서의 진폭입니다).