), uning bir uchi qattiq mahkamlangan, ikkinchi uchida esa m massali yuk bor.

Massiv jismga elastik kuch tasir etib, uni muvozanat holatiga qaytarganda, u shu holat atrofida tebranadi.Bunday jism prujinali mayatnik deyiladi. Tebranishlar tashqi kuch ta'sirida yuzaga keladi. Tashqi kuch taʼsirini toʻxtatgandan keyin davom etuvchi tebranishlar erkin tebranishlar deyiladi. Tashqi kuch ta'sirida yuzaga keladigan tebranishlar majburiy deyiladi. Bunday holda, kuchning o'zi majburiy deb ataladi.

Eng oddiy holatda, prujinali mayatnik gorizontal tekislik bo'ylab harakatlanadigan, devorga bahor bilan biriktirilgan qattiq jismdir.

Tashqi kuchlar va ishqalanish kuchlari bo'lmaganda bunday tizim uchun Nyutonning ikkinchi qonuni quyidagi shaklga ega:

Agar tizimga tashqi kuchlar ta'sir etsa, u holda tebranish tenglamasi quyidagicha qayta yoziladi:

, qayerda f(x)- bu yukning birlik massasiga bog'liq bo'lgan tashqi kuchlarning natijasidir.

Zaiflashda , koeffitsient bilan tebranishlar tezligiga mutanosib c:

Shuningdek qarang

Havolalar

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Bahorgi mayatnik" nima ekanligini ko'ring:

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Mayatnik (maʼnolari). Mayatnik tebranishlari: o'qlar tezlik (v) va tezlanish (a) vektorlarini ko'rsatadi ... Vikipediya

Mayatnik- tebranish orqali soat mexanizmining harakatini tartibga soluvchi qurilma. Bahor mayatnik. Mayatnik va uning bahoridan iborat soatning tartibga soluvchi qismi. Mayatnikli buloq ixtiro qilinishidan oldin soatlar bitta mayatnik orqali harakatga keltirilar edi. ... ... Soatlar lug'ati

PENDULUM- (1) matematik (yoki oddiy) (6-rasm) kichik o'lchamdagi, cho'zilmaydigan ipga (yoki novda) sobit nuqtadan erkin osilgan, massasi bajaruvchi jismning massasiga nisbatan ahamiyatsiz bo'lgan tana. garmonik (qarang) ...... Katta politexnika entsiklopediyasi

Ilovaning ta'siri ostida ishlaydigan qattiq tana. tebranish kuchi taxminan. sobit nuqta yoki o'q. Matematik M. deb ataladi. og'irliksiz cho'zilmaydigan ip (yoki novda) ustidagi qo'zg'almas nuqtadan osilgan va kuch ta'sirida ishlaydigan moddiy nuqta ... ... Katta ensiklopedik politexnika lug'ati

Prujinali mayatnikli soat- o'rta va kichik soatlarda (ko'chma soatlar, stol soatlari va boshqalar) ham qo'llaniladigan soatning bahor sarkacini sozlash qismi ... Soat lug'ati - sarkaç va uning bolg'asi uchlariga biriktirilgan kichik spiral buloq. Prujinali mayatnik soatni tartibga soladi, uning aniqligi qisman sarkaç bahorining sifatiga bog'liq ... Soat lug'ati

GOST R 52334-2005: Gravitatsiyaviy tadqiqotlar. Shartlar va ta'riflar- Terminologiya GOST R 52334 2005: Gravitatsiyaviy tadqiqotlar. Hujjatning dastlabki atamalari va ta'riflari: (gravimetrik) tadqiqot Quruqlikda o'tkaziladigan gravimetrik tadqiqot. Turli hujjatlardan atama ta'riflari: (gravimetrik) tadqiqot 95 ... ... Normativ-texnik hujjatlar atamalarining lug'at-ma'lumotnomasi

Ta'rif

Tebranish chastotasi($\nu$) tebranishlarni tavsiflovchi parametrlardan biridir.Bu tebranish davrining o‘zaro nisbati ($T$):

\[\nu=\frac(1)(T)\chap(1\o'ng).\]

Shunday qilib, tebranishlar chastotasi vaqt birligidagi tebranishlarning takrorlanish soniga teng fizik miqdor deb ataladi.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\chap(2\o'ng),\]

bu yerda $N$ - to'liq tebranish harakatlari soni; $\Delta t$ - bu tebranishlar sodir bo'lgan vaqt.

Tsiklik tebranish chastotasi ($(\omega )_0$) quyidagi formula bo'yicha $\nu $ chastotasi bilan bog'liq:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\o'ng).\]

Xalqaro birliklar tizimida (SI) chastota birligi gerts yoki o'zaro soniya:

\[\left[\nu \right]=c^(-1)=Hz.\]

Bahor mayatnik

Ta'rif

Bahor mayatnik yuk biriktirilgan elastik kamondan iborat tizim deb ataladi.

Faraz qilaylik, yukning og'irligi $m$, prujinaning elastiklik koeffitsienti $k$. Bunday mayatnikdagi bahorning massasi odatda hisobga olinmaydi. Agar yukning gorizontal harakatlarini hisobga oladigan bo'lsak (1-rasm), u holda u elastik kuch ta'sirida harakat qiladi, agar tizim muvozanatdan chiqarilgan va o'z-o'zidan qoldirilgan bo'lsa. Bunday holda, ko'pincha ishqalanish kuchlarini e'tiborsiz qoldirish mumkinligiga ishonishadi.

Prujinali mayatnik uchun tebranish tenglamalari

Erkin tebranuvchi prujinali mayatnik garmonik osilatorga misol bo'la oladi. X o'qi bo'ylab tebranishlarni amalga oshirsin.Agar tebranishlar kichik bo'lsa, Guk qonuni bajarilsa, yuk harakatining tenglamasini quyidagicha yozamiz:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\o'ng),\]

bu yerda $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ prujinali mayatnik tebranishlarining siklik chastotasi. (4) tenglamaning yechimi sinus yoki kosinus funksiyasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

bu yerda $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ prujinali mayatnikning siklik tebranish chastotasi, $A$ tebranish amplitudasi; $((\omega )_0t+\varphi)$ - tebranish fazasi; $\varphi $ va $(\varphi )_1$ - tebranishlarning dastlabki fazalari.

Prujinali mayatnikning tebranish chastotasi

Formuladan (3) va $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ prujinali mayatnikning tebranish chastotasi:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \chap(6\o'ng).\]

Formula (6) amal qiladi, agar:

• mayatnikdagi prujina vaznsiz deb hisoblanadi;
• kamonga biriktirilgan og'irlik mukammal qattiq tanadir;
• burilish tebranishlari mavjud emas.

(6) ifodadan ko'rinib turibdiki, prujinali mayatnikning tebranish chastotasi yuk massasining kamayishi va prujinaning elastiklik koeffitsienti ortishi bilan ortadi. Prujinali mayatnikning tebranish chastotasi amplitudaga bog'liq emas. Agar tebranishlar kichik bo'lmasa, prujinaning elastik kuchi Guk qonuniga bo'ysunmasa, u holda tebranish chastotasining amplitudaga bog'liqligi paydo bo'ladi.

Yechim bilan bog'liq muammolarga misollar

1-misol

Mashq qilish. Prujinali mayatnikning tebranish davri $T=5\cdot (10)^(-3)c$. Bu holatda tebranish chastotasi qanday? Ushbu og'irlikning siklik chastotasi qanday?

Yechim. Tebranish chastotasi tebranish davrining o'zaro nisbati, shuning uchun muammoni hal qilish uchun quyidagi formuladan foydalanish kifoya:

\[\nu=\frac(1)(T)\chap(1.1\o'ng).\]

Istalgan chastotani hisoblang:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Hz\o'ng).\]

Tsiklik chastota $\nu$ chastotasi bilan bog'liq:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \chap(1,2\o'ng).\]

Keling, siklik chastotani hisoblaymiz:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\taxminan 1256\ \left(\frac(rad)(c)\o'ng).\]

Javob.$1)\ \nu =200$ Gts. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(c)$

2-misol

Mashq qilish. Elastik prujinaga osilgan yukning massasi (2-rasm) $\Delta m$ ga ortadi, chastotasi esa $n$ marta kamayadi. Birinchi yukning massasi qancha?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \chap(2.1\o'ng).\]

Birinchi yuk uchun chastota quyidagilarga teng bo'ladi:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\o'ng).\]

Ikkinchi yuk uchun:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \chap(2.2\o'ng).\]

$(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$ masala sharti boʻyicha $\frac((\nu )_1)((\nu )_2):\ frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac( \Delta m)( m))=n\ \left(2.3\o'ng).$

(2.3) tenglamadan yukning kerakli massasini olamiz. Buning uchun (2.3) ifodaning ikkala qismini kvadratga olamiz va $m$ ifodalaymiz:

Javob.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

Sarkac tebranishlarini o'rganish sxemasi 5-rasmda ko'rsatilgan o'rnatishda amalga oshiriladi. O'rnatish prujinali mayatnik, piezoelektrik sensorga asoslangan tebranishlarni qayd etish tizimi, majburiy tebranish qo'zg'atish tizimi va shaxsiy kompyuterda axborotni qayta ishlash tizimidan iborat. Tekshirilayotgan prujinali mayatnik qattiqlik koeffitsientiga ega bo'lgan po'lat prujinadan iborat k va mayatnik tanasi m markazda doimiy magnit bilan. Sarkacning harakati suyuqlikda sodir bo'ladi va past tebranish tezligida hosil bo'lgan ishqalanish kuchini chiziqli qonun bilan etarlicha aniqlik bilan taxmin qilish mumkin, ya'ni.

Fig.5 Tajriba qurilmasining blok diagrammasi

Suyuqlikda harakatlanayotganda qarshilik kuchini oshirish uchun mayatnik tanasi teshiklari bo'lgan yuvish shaklida tayyorlanadi. Tebranishlarni ro'yxatga olish uchun piezoelektrik datchik ishlatiladi, unga sarkac bulog'i osilgan. Sarkacning harakati vaqtida elastik kuch siljish bilan mutanosib bo'ladi X,
Piezoelektrik sensorda paydo bo'ladigan EMF o'z navbatida bosim kuchiga mutanosib bo'lganligi sababli, sensordan olingan signal mayatnik tanasining muvozanat holatidan siljishiga mutanosib bo'ladi.
Tebranishlarni qo'zg'atish magnit maydon yordamida amalga oshiriladi. Kompyuter tomonidan ishlab chiqarilgan garmonik signal kuchaytiriladi va sarkaç tanasi ostida joylashgan qo'zg'atuvchi bobinga beriladi. Ushbu g'altakning natijasida vaqt bo'yicha o'zgaruvchan va fazoda bir xil bo'lmagan magnit maydon hosil bo'ladi. Bu maydon mayatnik tanasiga o'rnatilgan doimiy magnitga ta'sir qiladi va tashqi davriy kuch hosil qiladi. Tana harakatlanayotganda, harakatlantiruvchi kuch harmonik funktsiyalarning superpozitsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin va sarkaç tebranishlari mw chastotali tebranishlarning superpozitsiyasi bo'ladi. Biroq, chastotada faqat kuch komponenti w, chunki u rezonans chastotasiga eng yaqin. Shuning uchun, mayatnikning chastotalardagi tebranishlari komponentlarining amplitudalari mw kichik bo'ladi. Ya'ni, o'zboshimchalik bilan davriy harakat bo'lsa, yuqori darajadagi aniqlikdagi tebranishlarni chastotada garmonik deb hisoblash mumkin. w.
Axborotni qayta ishlash tizimi analog-raqamli konvertor va shaxsiy kompyuterdan iborat. Piezoelektrik sensordan olingan analog signal analog-raqamli konvertor yordamida raqamli shaklda ifodalanadi va shaxsiy kompyuterga beriladi.

Eksperimental o'rnatishni kompyuter orqali boshqarish
Kompyuterni yoqqandan va dasturni yuklagandan so'ng, monitor ekranida asosiy menyu paydo bo'ladi, uning umumiy ko'rinishi 5-rasmda ko'rsatilgan. Kursor tugmalari yordamida , , , , menyu bandlaridan birini tanlashingiz mumkin. Tugmani bosgandan so'ng KIRISH kompyuter tanlangan ish rejimini ishga tushiradi. Tanlangan ish rejimi bo'yicha eng oddiy maslahatlar ekranning pastki qismidagi ajratilgan qatorda joylashgan.
Dasturning mumkin bo'lgan ishlash rejimlarini ko'rib chiqing:
Statika- menyuning ushbu bandi birinchi mashq natijalarini qayta ishlash uchun ishlatiladi (5-rasmga qarang) tugmani bosgandan so'ng KIRISH kompyuter mayatnik og'irligining massasini so'raydi. Keyingi tugmani bosgandan so'ng KIRISH miltillovchi kursor bilan ekranda yangi rasm paydo bo'ladi. Ekranga doimiy ravishda yukning massasini grammda va bo'sh joyni bosgandan so'ng, prujinaning cho'zilishining kattaligini yozing. Bosish KIRISH yangi qatorga o'ting va yana yukning massasini va bahorning cho'zilishi miqdorini yozing. Oxirgi qatorda ma'lumotlarni tahrirlashga ruxsat beriladi. Buning uchun tugmachani bosing backspace kamonning massasi yoki kuchlanishining noto'g'ri qiymatini o'chiring va yangi qiymatni yozing. Boshqa qatorlardagi ma'lumotlarni o'zgartirish uchun ketma-ket bosishingiz kerak Esc va KIRISH va keyin natijalar to'plamini takrorlang.
Ma'lumotlarni kiritgandan so'ng, funktsiya tugmachasini bosing F2. Eng kichik kvadratlar usuli yordamida hisoblangan bahorning qattiqlik koeffitsienti va mayatnikning erkin tebranish chastotasi ekranda paydo bo'ladi. Bosgandan keyin KIRISH monitor ekranida elastik kuchning prujina kengayishining kattaligiga bog'liqligining grafigi paydo bo'ladi. Asosiy menyuga qaytish istalgan tugmani bosgandan keyin sodir bo'ladi.
Tajriba- bu elementda bir nechta kichik bandlar mavjud (6-rasm). Ularning har birining xususiyatlarini ko'rib chiqing.
Chastotasi- bu rejimda kursor tugmalari yordamida harakatlantiruvchi kuchning chastotasi o'rnatiladi. Erkin tebranishlar bilan tajriba o'tkazilayotgan bo'lsa, chastota qiymatini tenglashtirish kerak 0 .
Boshlash- tugmani bosgandan keyin ushbu rejimda KIRISH dastur mayatnik burilishning tajribaga bog'liqligini vaqtga yozib olishni boshlaydi. Harakatlanuvchi kuchning chastotasi nolga teng bo'lgan taqdirda, ekranda o'chirilgan tebranishlar tasviri paydo bo'ladi. Alohida oynada tebranish chastotasi va damping doimiysi qiymatlari qayd etiladi. Agar harakatlantiruvchi kuchning chastotasi nolga teng bo'lmasa, u holda mayatnik egilishi va harakatlantiruvchi kuchning vaqtga bog'liqligi grafiklari bilan bir qatorda harakatlantiruvchi kuchning chastotasi va uning amplitudasi, shuningdek mayatnik tebranishlarining o'lchangan chastotasi va amplitudasi alohida oynalarda ekranda qayd etiladi. Tugmachani bosish Esc asosiy menyudan chiqishingiz mumkin.
Saqlash- agar tajriba natijasi qoniqarli bo'lsa, unda tegishli menyu tugmachasini bosish orqali uni saqlash mumkin.
Yangi Seriya- ushbu menyu bandi joriy tajriba ma'lumotlarini bekor qilish zarurati tug'ilganda ishlatiladi. Tugmachani bosgandan so'ng KIRISH bu rejimda oldingi barcha tajribalar natijalari mashina xotirasidan o'chiriladi va yangi o'lchovlar seriyasini boshlash mumkin.
Tajribadan so'ng ular rejimga o'tadilar o'lchovlar. Ushbu menyu bandida bir nechta kichik bandlar mavjud (7-rasm)
Chastota javob grafigi- menyuning ushbu bandi majburiy tebranishlarni o'rganish bo'yicha tajriba tugagandan so'ng ishlatiladi. Majburiy tebranishlarning amplituda-chastota xarakteristikasi monitor ekranida chiziladi.
PFC diagrammasi- Ushbu rejimda majburiy tebranishlarni o'rganish bo'yicha tajriba tugagandan so'ng, monitor ekranida faza-chastota xarakteristikasi quriladi.
Jadval- ushbu menyu bandi tebranishlar amplitudasi va fazasi qiymatlarini harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga qarab monitor ekranida ko'rsatishga imkon beradi. Ushbu ma'lumotlar ushbu ish bo'yicha hisobot uchun daftarga qayta yoziladi.
Kompyuter menyusi elementi Chiqish- dasturning oxiri (masalan, 7-rasmga qarang)

1-mashq. Prujinaning qattiqlik koeffitsientini statik usul bilan aniqlash.

O'lchovlar massalari ma'lum bo'lgan yuklarning ta'siri ostida bahorning cho'zilishini aniqlash orqali amalga oshiriladi. Hech bo'lmaganda sarflash tavsiya etiladi 7-10 yuklarni asta-sekin to'xtatib turish va shu bilan yukni o'zgartirish orqali bahorning cho'zilishi o'lchovlari. 20 oldin 150 d) Dasturning menyu bandidan foydalanish Statistika bu o'lchovlar natijalari kompyuter xotirasiga kiritiladi va eng kichik kvadratlar usuli yordamida kamonning qattiqlik koeffitsienti aniqlanadi. Jismoniy mashqlar paytida mayatnikning tabiiy chastotasining qiymatini hisoblash kerak

Prujinali sarkaç - qat'iylik bilan mutlaqo elastik, vaznsiz kamonga biriktirilgan moddiy massa nuqtasi. . Ikkita eng oddiy holat mavjud: gorizontal (15-rasm, a) va vertikal (15-rasm, b) mayatniklar.

a) Gorizontal mayatnik(15a-rasm). Yukni ko'chirishda
muvozanatdan miqdori bo'yicha unga gorizontal yo'nalishda harakat qiladi. elastik kuchni tiklash
(Guk qonuni).

Yuk siljiydigan gorizontal tayanch, deb taxmin qilinadi
uning tebranishlari paytida u mutlaqo silliq (ishqalanishsiz).

b) vertikal mayatnik(15-rasm, b). Bu holatda muvozanat holati quyidagi shart bilan tavsiflanadi:

qayerda - yukga ta'sir etuvchi elastik kuchning kattaligi
bahor statik ravishda cho'zilganida tortishish kuchi ta'sirida
.

a

15-rasm. Bahor mayatnik: a- gorizontal va b- vertikal

Agar bahor cho'zilsa va yuk bo'shatilsa, u vertikal ravishda tebranishni boshlaydi. Vaqtning bir nuqtasida ofset bo'lsa
, u holda elastik kuch endi shunday yoziladi
.

Ko'rib chiqilgan ikkala holatda ham prujina mayatnik davri bilan garmonik tebranishlarni amalga oshiradi

(27)

va tsiklik chastota

. (28)

Prujinali mayatnikni ko'rib chiqish misolidan foydalanib, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkin: garmonik tebranishlar siljishga mutanosib ravishda kuchayib borayotgan kuch tufayli yuzaga keladigan harakatdir. . Shunday qilib, agar tiklovchi kuch Guk qonuniga o'xshasa
(u ism oldiyarim elastik kuch ), keyin tizim garmonik tebranishlarni bajarishi kerak. Muvozanat holatidan o'tish vaqtida tiklovchi kuch tanaga ta'sir qilmaydi, ammo tana inertsiya bilan muvozanat holatini o'tkazib yuboradi va tiklovchi kuch yo'nalishini teskari tomonga o'zgartiradi.

Matematik mayatnik

16-rasm. Matematik mayatnik

Matematik mayatnik uzunlikdagi vaznsiz cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqta ko'rinishidagi ideallashtirilgan tizimdir , bu tortishish kuchi ta'sirida kichik tebranishlarni amalga oshiradi (16-rasm).

Bunday mayatnikning kichik burilish burchaklarida tebranishlari
(5º dan yuqori bo'lmagan) harmonik deb hisoblanishi mumkin va matematik mayatnikning tsiklik chastotasi:

, (29)

va davr:

. (30)

2.3. Garmonik tebranishlar paytida tana energiyasi

Dastlabki surish paytida tebranuvchi tizimga berilgan energiya davriy ravishda o'zgaradi: deformatsiyalangan bahorning potentsial energiyasi harakatlanuvchi yukning kinetik energiyasiga aylanadi va aksincha.

Prujinali mayatnik boshlang'ich faza bilan garmonik tebranishlarni amalga oshirsin
, ya'ni.
(17-rasm).

17-rasm. Mexanik energiyaning saqlanish qonuni

prujinali mayatnik tebranganda

Yukning muvozanat holatidan maksimal og'ishida mayatnikning umumiy mexanik energiyasi (qattiqlik bilan deformatsiyalangan prujinaning energiyasi) ) ga teng
. Muvozanat holatidan o'tayotganda (
) prujinaning potentsial energiyasi nolga teng bo'ladi va tebranish tizimining umumiy mexanik energiyasi quyidagicha aniqlanadi.
.

18-rasmda garmonik tebranishlar sinus (chiziq chiziq) yoki kosinus (qattiq chiziq) ning trigonometrik funktsiyalari bilan tavsiflangan hollarda kinetik, potentsial va umumiy energiyaning bog'liqligi ko'rsatilgan.

18-rasm. Kinetikning vaqtga bog'liqligi grafiklari

va garmonik tebranishlar uchun potentsial energiya

Grafiklardan (18-rasm) kinetik va potentsial energiyaning o'zgarish chastotasi garmonik tebranishlarning tabiiy chastotasidan ikki baravar yuqori ekanligi ko'rinadi.

(1.7.1)

Agar shar muvozanat holatidan x masofaga siljigan bo'lsa, prujinaning cho'zilishi Dl 0 + x ga teng bo'ladi. Keyin hosil bo'lgan kuch quyidagi qiymatni oladi:

Muvozanat shartini (1.7.1) hisobga olib, biz quyidagilarni olamiz:

Minus belgisi siljish va kuchning qarama-qarshi yo'nalishda ekanligini ko'rsatadi.

Elastik kuch f quyidagi xususiyatlarga ega:

1. U to'pning muvozanat holatidan siljishiga proportsionaldir;
2. U har doim muvozanat holatiga yo'naltirilgan.

X ko'chish tizimiga xabar berish uchun elastik kuchga qarshi ishni bajarish kerak:

Ushbu ish tizimning potentsial energiya zaxirasini yaratishga qaratilgan:

Elastik kuch ta'sirida to'p doimiy ortib borayotgan tezlik bilan muvozanat holatiga qarab harakat qiladi. Shuning uchun tizimning potentsial energiyasi kamayadi, lekin kinetik energiya ortadi (biz bahorning massasini e'tiborsiz qoldiramiz). Muvozanat holatiga kelgandan so'ng, to'p inertsiya bo'yicha harakat qilishni davom ettiradi. Bu sekin harakat va kinetik energiya butunlay potentsialga aylanganda to'xtaydi. Keyin to'p teskari yo'nalishda harakat qilganda xuddi shu jarayon davom etadi. Agar tizimda ishqalanish bo'lmasa, to'p cheksiz tebranadi.

Bu holda Nyutonning ikkinchi qonunining tenglamasi:

Keling, tenglamani quyidagicha o'zgartiramiz:

Belgilanishni kiritib, biz ikkinchi tartibli chiziqli bir hil differentsial tenglamani olamiz:

To'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali (1.7.8) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi shaklga ega ekanligini tekshirish oson:

bu erda a - amplituda va ph - tebranishning boshlang'ich bosqichi - doimiy qiymatlar. Shuning uchun prujinali mayatnikning tebranishi garmonikdir (1.7.2-rasm).

Guruch. 1.7.2. garmonik tebranish

Kosinusning davriyligi tufayli tebranish tizimining turli holatlari ma'lum vaqt (tebranish davri) T dan keyin takrorlanadi, bu davrda tebranish fazasi 2p ga o'sishni oladi. Davrni tenglama yordamida hisoblashingiz mumkin:

quyidagi joydan:

Vaqt birligidagi tebranishlar soni chastota deyiladi:

Chastota birligi - bunday tebranishning chastotasi, uning davri 1 s. Bu birlik 1 Gts deb ataladi.

(1.7.11) dan kelib chiqadiki:

Demak, ō 0 - 2p sekundda amalga oshirilgan tebranishlar soni. ō 0 qiymati aylana yoki siklik chastota deb ataladi. (1.7.12) va (1.7.13) dan foydalanib, biz yozamiz:

Vaqt bo'yicha () ni farqlash, biz to'pning tezligi uchun ifodani olamiz:

(1.7.15) dan kelib chiqadiki, tezlik ham garmonik qonunga muvofiq o'zgaradi va faza siljishidan ½p ga oldinda. Farqlash (1.7.15), biz tezlanishni olamiz:

1.7.2. Matematik mayatnik

Matematik mayatnik tana osilgan, butun massasi bir nuqtada to'plangan, cho'zilmaydigan vaznsiz ipdan iborat ideallashtirilgan tizim deb ataladi.

Sarkacning muvozanat holatidan og'ishi ipning vertikal bilan hosil qilgan burchagi ph bilan tavsiflanadi (1.7.3-rasm).

Guruch. 1.7.3. Matematik mayatnik

Mayatnik muvozanat holatidan chetga chiqqanda, mayatnikni muvozanat holatiga qaytarishga moyil bo'lgan moment paydo bo'ladi:

Mayatnik uchun aylanish harakati dinamikasi tenglamasini uning inersiya momenti ml 2 ga teng ekanligini hisobga olib yozamiz:

Ushbu tenglamani quyidagi shaklga keltirish mumkin:

Sinph ≈ ph kichik tebranishlari bilan cheklanib, yozuvni kiritamiz:

(1.7.19) tenglamani quyidagicha ifodalash mumkin:

prujinali mayatnikning tebranishlar tenglamasi bilan shaklan mos keladi. Shuning uchun uning yechimi garmonik tebranish bo'ladi:

(1.7.20) dan matematik mayatnikning siklik tebranish chastotasi uning uzunligiga va erkin tushish tezlanishiga bog'liq ekanligi kelib chiqadi. Tebranish davri () va (1.7.20) formulasidan foydalanib, biz ma'lum munosabatni olamiz:

1.7.3. jismoniy mayatnik

Jismoniy mayatnik - inersiya markaziga to'g'ri kelmaydigan qo'zg'almas nuqta atrofida tebranishga qodir qattiq jism. Muvozanat holatida mayatnik C ning inersiya markazi xuddi shu vertikalda O osma nuqtasi ostida joylashgan (1.7.4-rasm).

Guruch. 1.7.4. jismoniy mayatnik

Mayatnik muvozanat holatidan ph burchakka chetlashganda, mayatnikni muvozanat holatiga qaytarishga moyil bo'lgan moment paydo bo'ladi:

bu yerda m - mayatnikning massasi, l - osma nuqtasi va mayatnikning inersiya markazi orasidagi masofa.

Mayatnik uchun aylanish harakati dinamikasi tenglamasini inersiya momenti I ga teng ekanligini hisobga olib yozamiz:

Kichik tebranishlar uchun sinph ≈ ph. Keyin, belgi bilan tanishtiramiz:

prujinali mayatnikning tebranishlar tenglamasi bilan ham shaklan mos keladi. (1.7.27) va (1.7.26) tenglamalardan kelib chiqadiki, jismoniy mayatnikning muvozanat holatidan kichik og'ishlari bilan u garmonik tebranishni amalga oshiradi, uning chastotasi mayatnik massasiga, inersiya momentiga bog'liq. va aylanish o'qi va inersiya markazi orasidagi masofa. (1.7.26) dan foydalanib, siz tebranish davrini hisoblashingiz mumkin:

(1.7.28) va () formulalarini taqqoslab, biz uzunlikdagi matematik mayatnikni olamiz:

fizik mayatnik bilan bir xil tebranish davriga ega bo'ladi. Miqdor (1.7.29) deyiladi qisqartirilgan uzunlik jismoniy mayatnik. Demak, fizik mayatnikning qisqargan uzunligi shunday matematik mayatnikning uzunligi bo'lib, uning tebranish davri berilgan fizik mayatnikning tebranish davriga teng.

Suspenziya nuqtasini inersiya markazi bilan tutashtiruvchi toʻgʻri chiziqdagi, aylanish oʻqidan qisqargan uzunlik masofasida joylashgan nuqta deyiladi. burilish markazi jismoniy mayatnik. Shtayner teoremasiga ko'ra, fizik mayatnikning inersiya momenti:

bu yerda I 0 - inersiya markaziga nisbatan inersiya momenti. (1.7.30) ni (1.7.29) ga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Shuning uchun qisqartirilgan uzunlik har doim osma nuqtasi va mayatnikning inersiya markazi orasidagi masofadan kattaroq bo'ladi, shuning uchun osma nuqtasi va tebranish markazi inersiya markazining qarama-qarshi tomonlarida yotadi.

1.7.4. Garmonik tebranishlar energiyasi

Garmonik tebranish vaqtida tebranish jismining kinetik energiyasi E k va potentsial energiya E p ning kvazelastik kuch ta'siridan davriy o'zaro o'zgarishi sodir bo'ladi. Ushbu energiyalardan tebranish tizimining umumiy energiyasi E qo'shiladi:

Keling, oxirgi ifodani yozamiz

Ammo k \u003d mō 2, shuning uchun biz tebranuvchi tananing umumiy energiyasining ifodasini olamiz

Shunday qilib, garmonik tebranishning umumiy energiyasi doimiy va tebranish amplitudasining kvadratiga va aylana chastotasining kvadratiga proportsionaldir.

1.7.5. o'chirilgan tebranishlar .

Garmonik tebranishlarni o'rganishda haqiqiy tizimlarda mavjud bo'lgan ishqalanish va qarshilik kuchlari hisobga olinmadi. Ushbu kuchlarning harakati harakatning tabiatini sezilarli darajada o'zgartiradi, tebranish bo'ladi so'nish.

Agar tizimda kvazelastik kuchga qo'shimcha ravishda muhitning qarshilik kuchlari (ishqalanish kuchlari) ta'sir etsa, u holda Nyutonning ikkinchi qonunini quyidagicha yozish mumkin:

Bu erda r - harakatga qarshilik ko'rsatish uchun muhitning xususiyatlarini tavsiflovchi ishqalanish koeffitsienti. (1.7.34b) ni (1.7.34a) ga almashtiramiz:

Bu funksiyaning grafigi 1.7.5-rasmda qattiq egri chiziq 1 ko'rinishida, 2-chiziq chiziq esa amplitudaning o'zgarishini ko'rsatadi:

Ishqalanish juda kam bo'lganida, so'ngan tebranish davri so'nmagan erkin tebranish davriga yaqin (1.7.35.b).

Tebranish amplitudasining pasayish tezligi bilan belgilanadi damping omili: b qanchalik katta bo'lsa, muhitning sekinlashtiruvchi ta'siri shunchalik kuchliroq va amplituda tezroq pasayadi. Amalda, zaiflashuv darajasi ko'pincha xarakterlanadi logarifmik dampingning kamayishi, bu bilan tebranish davriga teng vaqt oralig'i bilan ajratilgan ikkita ketma-ket tebranish amplitudalari nisbatining natural logarifmiga teng qiymatni anglatadi:

;

Shunday qilib, damping koeffitsienti va logarifmik dekrement juda oddiy bog'liqlik bilan bog'liq:

Kuchli damping bilan (1.7.37) formuladan tebranish davri xayoliy miqdor ekanligini ko'rish mumkin. Bu holatda harakat allaqachon chaqirilgan aperiodik. Aperiodik harakat grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.7.6. Söndürülmüş va sönümli tebranishlar deyiladi Shaxsiy yoki ozod. Ular dastlabki siljish yoki boshlang'ich tezlik natijasida paydo bo'ladi va dastlab to'plangan energiya tufayli tashqi ta'sir bo'lmaganda paydo bo'ladi.

1.7.6. Majburiy tebranishlar. Rezonans .

majburlangan Tebranishlar davriy qonun bo'yicha o'zgarib turadigan tashqi kuch ishtirokida tizimda paydo bo'ladigan tebranishlar deyiladi.

Faraz qilaylik, moddiy nuqtaga kvazelastik kuch va ishqalanish kuchidan tashqari tashqi harakatlantiruvchi kuch ham ta'sir qiladi.

,

bu erda F 0 - amplituda; ō - harakatlantiruvchi kuchning tebranishlarining dumaloq chastotasi. Biz differentsial tenglama tuzamiz (Nyutonning ikkinchi qonuni):

,

Majburiy tebranishning amplitudasi (1.7.39) harakatlantiruvchi kuchning amplitudasiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lib, muhitning susaytirish koeffitsientiga va tabiiy va majburiy tebranishlarning aylana chastotalariga murakkab bog'liqlikka ega. Agar tizim uchun ō 0 va b berilgan bo'lsa, u holda majburiy tebranishlar amplitudasi harakatlantiruvchi kuchning ma'lum bir o'ziga xos chastotasida maksimal qiymatga ega bo'ladi. rezonansli.

Hodisaning o'zi - berilgan ō 0 va b uchun maksimal amplitudaga erishish deyiladi. rezonans.

Guruch. 1.7.7. Rezonans

Qarshilik bo'lmasa, rezonansdagi majburiy tebranishlarning amplitudasi cheksiz katta. Bunday holda, ō res = ō 0 dan, ya'ni. Dampingsiz tizimda rezonans harakatlantiruvchi kuchning chastotasi tabiiy tebranishlar chastotasiga to'g'ri kelganda sodir bo'ladi. Damping koeffitsientining turli qiymatlari uchun majburiy tebranishlar amplitudasining harakatlantiruvchi kuchning dumaloq chastotasiga grafik bog'liqligi rasmda ko'rsatilgan. 5.

Mexanik rezonans ham foydali, ham zararli bo'lishi mumkin. Rezonansning zararli ta'siri, asosan, u olib kelishi mumkin bo'lgan halokatga bog'liq. Shunday qilib, texnologiyada, turli tebranishlarni hisobga olgan holda, rezonans holatlarining yuzaga kelishini oldindan bilish kerak, aks holda halokat va ofatlar bo'lishi mumkin. Jismlarda odatda bir nechta tabiiy tebranish chastotalari va shunga mos ravishda bir nechta rezonans chastotalari mavjud.

Agar insonning ichki organlarining zaiflashuv koeffitsienti katta bo'lmasa, tashqi tebranishlar yoki tovush to'lqinlari ta'sirida ushbu organlarda paydo bo'lgan rezonans hodisalari fojiali oqibatlarga olib kelishi mumkin: organlarning yorilishi, ligamentlarning shikastlanishi va boshqalar. Biroq, bunday hodisalar o'rtacha tashqi ta'sirlarda deyarli kuzatilmaydi, chunki biologik tizimlarning zaiflashuv koeffitsienti juda katta. Shunga qaramay, ichki organlarda tashqi mexanik tebranishlar ta'sirida rezonansli hodisalar yuzaga keladi. Bu, aftidan, infrasonik tebranishlar va tebranishlarning inson tanasiga salbiy ta'sirining sabablaridan biridir.

1.7.7. O'z-o'zidan tebranishlar

Shuningdek, behuda energiyani davriy ravishda to'ldirishni o'zlari tartibga soluvchi va shuning uchun uzoq vaqt davomida o'zgarishi mumkin bo'lgan bunday tebranish tizimlari mavjud.

Har qanday tizimda o'zgaruvchan tashqi ta'sir bo'lmaganda mavjud bo'lgan so'nmaydigan tebranishlar deyiladi. o'z-o'zidan tebranishlar, va tizimlarning o'zlari o'z-o'zidan tebranish.

O'z-o'zidan tebranishlarning amplitudasi va chastotasi o'z-o'zidan tebranadigan tizimning xususiyatlariga bog'liq, majburiy tebranishlardan farqli o'laroq, ular tashqi ta'sirlar bilan belgilanmaydi.

Ko'p hollarda o'z-o'zidan tebranuvchi tizimlar uchta asosiy element bilan ifodalanishi mumkin (1.7.8-rasm): 1) haqiqiy tebranish tizimi; 2) energiya manbai; 3) haqiqiy tebranish tizimini energiya bilan ta'minlash regulyatori. Qayta aloqa kanali orqali tebranish tizimi (6-rasm) regulyatorga ta'sir qiladi va regulyatorga ushbu tizimning holati haqida xabar beradi.

Mexanik o'z-o'zidan tebranuvchi tizimning klassik namunasi - bu soatlar, unda mayatnik yoki muvozanat tebranish tizimi, prujina yoki ko'tarilgan og'irlik energiya manbai, langar esa manbadan energiya oqimining regulyatori hisoblanadi. tebranish tizimi.

Ko'pgina biologik tizimlar (yurak, o'pka va boshqalar) o'z-o'zidan tebranish xususiyatiga ega. Elektromagnit o'z-o'zidan tebranuvchi tizimning tipik misoli o'z-o'zidan tebranishlar generatorlaridir.

1.7.8. Bir yo'nalishda tebranishlarni qo'shish

Xuddi shu yo'nalishdagi va bir xil chastotadagi ikkita garmonik tebranishlarni qo'shishni ko'rib chiqing:

x 1 \u003d a 1 cos (ō 0 t + a 1), x 2 \u003d a 2 cos (ō 0 t + a 2).

Garmonik tebranish vektor yordamida aniqlanishi mumkin, uning uzunligi tebranishlar amplitudasiga teng va yo'nalishi tebranishlarning boshlang'ich fazasiga teng bo'lgan ba'zi o'qi bilan burchak hosil qiladi. Agar bu vektor ō 0 burchak tezligi bilan aylansa, u holda uning tanlangan o'qdagi proyeksiyasi garmonik qonunga muvofiq o'zgaradi. Bunga asoslanib, biz X o'qini tanlaymiz va a 1 va 2 vektorlari yordamida tebranishlarni ifodalaymiz (1.7.9-rasm).

1.7.6-rasmdan kelib chiqadiki

.

Tebranishlar tekislikdagi vektorlar sifatida grafik tarzda tasvirlangan sxemalar vektor diagrammalari deyiladi.

Bu 1.7.40 formuladan kelib chiqadi. Har ikkala tebranishning fazalar farqi nolga teng bo'lsa, hosil bo'lgan tebranishning amplitudasi qo'shilgan tebranishlarning amplitudalari yig'indisiga teng bo'ladi. Agar qo'shilgan tebranishlarning fazalar farqi ga teng bo'lsa, u holda hosil bo'lgan tebranishning amplitudasi teng bo'ladi. Agar qo'shilgan tebranishlarning chastotalari bir xil bo'lmasa, u holda bu tebranishlarga mos keladigan vektorlar turli tezliklarda aylanadi. Bunday holda, hosil bo'lgan vektor kattalikda pulsatsiyalanadi va doimiy bo'lmagan tezlikda aylanadi. Binobarin, qo'shish natijasida garmonik tebranish emas, balki murakkab tebranish jarayoni olinadi.

1.7.9. uradi

Chastotasi bo'yicha bir oz farq qiladigan bir xil yo'nalishdagi ikkita garmonik tebranishlarni qo'shishni ko'rib chiqing. Ulardan birining chastotasi ō ga, ikkinchisining chastotasi ō + ∆ʼn va ∆ō ga teng bo'lsin.<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d a cos ōt, x 2 \u003d a cos (ō + ∆ʼn) t.

Ushbu iboralarni qo'shib, kosinuslar yig'indisi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Tebranishlar (1.7.41) chastotasi ō bilan harmonik tebranish sifatida qaralishi mumkin, uning amplitudasi qonunga muvofiq o'zgaradi. Ushbu funktsiya modul belgisi ostida ifodalangan chastotaning ikki barobar chastotasi bilan davriydir, ya'ni. ∆ō chastotasi bilan. Shunday qilib, urish chastotasi deb ataladigan amplituda pulsatsiyalarning chastotasi qo'shilgan tebranishlar chastotalari farqiga teng.

1.7.10. O'zaro perpendikulyar tebranishlarni qo'shish (Lissajous raqamlari)

Agar moddiy nuqta x o'qi bo'ylab ham, y o'qi bo'ylab ham tebransa, u qandaydir egri chiziqli traektoriya bo'ylab harakatlanadi. Tebranish chastotasi bir xil va birinchi tebranishning boshlang'ich fazasi nolga teng bo'lsin, keyin tebranish tenglamalarini quyidagi shaklda yozamiz:

Tenglama (1.7.43) ellips tenglamasi bo'lib, uning o'qlari x va y koordinata o'qlariga nisbatan ixtiyoriy ravishda yo'naltirilgan. Ellipsning yo'nalishi va uning yarim o'qlarining kattaligi a va b amplitudalari va fazalar farqi a ga bog'liq. Keling, ba'zi maxsus holatlarni ko'rib chiqaylik:

(m=0, ±1, ±2, …). Bunday holda, tenglama shaklga ega

Bu ellipsning tenglamasi bo'lib, uning o'qlari koordinata o'qlari bilan mos keladi va uning yarim o'qlari amplitudalarga teng (1.7.12-rasm). Agar amplitudalar teng bo'lsa, u holda ellips aylanaga aylanadi.

1.7.12-rasm

Agar o'zaro perpendikulyar tebranishlarning chastotalari oz miqdorda ∆ō bilan farq qilsa, ularni bir xil chastotali, lekin asta-sekin o'zgaruvchan fazalar farqi bilan tebranishlar deb hisoblash mumkin. Bunda tebranish tenglamalarini yozish mumkin

x=a cos ōt, y=b cos[ōt+(∆ōt+a)]

va ∆ʼnt+a ifodasi chiziqli qonun bo'yicha vaqt o'tishi bilan sekin o'zgarib turadigan fazalar farqi sifatida qaraladi. Bu holda hosil bo'lgan harakat asta-sekin o'zgaruvchan egri chiziqdan keyin sodir bo'ladi, u ketma-ket -p dan +p gacha bo'lgan fazalar farqining barcha qiymatlariga mos keladigan shaklni oladi.

Agar o'zaro perpendikulyar tebranishlarning chastotalari bir xil bo'lmasa, unda hosil bo'lgan harakatning traektoriyasi juda murakkab egri shaklga ega bo'ladi. Lissaju figuralari. Masalan, qo'shilgan tebranishlarning chastotalari 1 ga bog'liq bo'lsin : 2 va fazalar farqi p/2. Keyin tebranish tenglamalari shaklga ega bo'ladi

x=a cos ōt, y=b cos.

X o'qi bo'ylab nuqta bir ekstremal holatdan ikkinchisiga o'tishga muvaffaq bo'lsa, y o'qi bo'ylab nol holatini qoldirib, u bir ekstremal holatga etib, keyin boshqasiga va qaytib keladi. Egri ko'rinish rasmda ko'rsatilgan. 1.7.13. Chastota nisbati bir xil, lekin fazalar farqi nolga teng bo'lgan egri chiziq 1.7.14-rasmda ko'rsatilgan. Qo'shilgan tebranishlar chastotalarining nisbati koordinata o'qlariga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar bilan Lissaju figuralarining kesishish nuqtalari soniga teskari. Shuning uchun, Lissajous raqamlarining paydo bo'lishi bilan qo'shilgan tebranishlarning chastotalari nisbati yoki noma'lum chastotani aniqlash mumkin. Agar chastotalardan biri ma'lum bo'lsa.

1.7.13-rasm

1.7.14-rasm

Tebranish chastotalari nisbatini ifodalovchi ratsional kasr birlikka qanchalik yaqin bo'lsa, natijada Lissaju raqamlari shunchalik murakkab bo'ladi.

1.7.11. Elastik muhitda to'lqinlarning tarqalishi

Agar elastik (qattiq suyuqlik yoki gazsimon) muhitning istalgan joyida uning zarrachalarining tebranishlari qoʻzgʻatilgan boʻlsa, zarralar orasidagi oʻzaro taʼsir tufayli bu tebranish muhitda zarrachadan zarrachaga maʼlum y tezlikda tarqaladi. tebranishlarning fazoda tarqalish jarayoni deyiladi to'lqin.

To'lqin tarqaladigan muhitning zarralari translatsiya harakatida to'lqin tomonidan ishtirok etmaydi, ular faqat muvozanat pozitsiyalari atrofida tebranadilar.

To'lqinning tarqalish yo'nalishiga nisbatan zarracha tebranishlarining yo'nalishlariga qarab, quyidagilar mavjud: uzunlamasına va ko'ndalang to'lqinlar. Uzunlamasına to'lqinda muhitning zarralari to'lqinning tarqalishi bo'ylab tebranadi. Ko'ndalang to'lqinda muhit zarralari to'lqin tarqalish yo'nalishiga perpendikulyar yo'nalishda tebranadi. Elastik ko'ndalang to'lqinlar faqat kesish qarshiligi bo'lgan muhitda paydo bo'lishi mumkin. Shuning uchun suyuq va gazsimon muhitda faqat uzunlamasına to'lqinlar paydo bo'lishi mumkin. Qattiq muhitda ham bo'ylama, ham ko'ndalang to'lqinlarning paydo bo'lishi mumkin.

Shaklda. 1.7.12 ko'ndalang to'lqin muhitida tarqalish vaqtida zarrachalarning harakatini ko'rsatadi. 1, 2 va hokazo raqamlar (¼ yT) ga teng masofada bir-biridan orqada qolgan zarralarni bildiradi, ya'ni. zarralar tomonidan sodir bo'lgan tebranishlar davrining to'rtdan birida to'lqin bosib o'tgan masofa bilan. Nol sifatida qabul qilingan vaqtda, o'q bo'ylab chapdan o'ngga tarqaladigan to'lqin 1-zarrachaga yetdi, buning natijasida zarracha muvozanat holatidan yuqoriga qarab harakatlana boshladi va keyingi zarrachalarni o'zi bilan birga tortdi. Davrning chorak qismidan so‘ng 1-zarracha 2-zarraning eng yuqori muvozanat holatiga yetib boradi. Davrning yana chorak qismidan so‘ng birinchi qism yuqoridan pastga yo‘nalishda harakatlanib, muvozanat holatidan o‘tadi, ikkinchi zarracha esa eng yuqori nuqtaga yetib boradi. holatiga tushadi va uchinchi zarracha muvozanat holatidan yuqoriga qarab harakatlana boshlaydi. T ga teng vaqt momentida birinchi zarracha to'liq tebranish siklini tugatadi va boshlang'ich moment bilan bir xil harakat holatida bo'ladi. T vaqtidagi toʻlqin yoʻldan (yT) oʻtib, 5-zarrachaga yetib boradi.

Shaklda. 1.7.13 uzunlamasına to'lqin muhitida tarqalish paytida zarrachalarning harakatini ko'rsatadi. Ko'ndalang to'lqindagi zarrachalarning harakati bilan bog'liq barcha mulohazalar yuqoriga va pastga siljishlar o'ngga va chapga siljishlar bilan almashtirilgan holda ham qo'llanilishi mumkin.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, bo'ylama to'lqinning muhitda tarqalishi jarayonida to'lqin tarqalish yo'nalishi bo'yicha harakatlanadigan zarrachalarning o'zgaruvchan kondensatsiyalari va kamdan-kam uchraydigan (kondensatsiya joylari rasmda nuqta chiziq bilan aylantirilgan) hosil bo'ladi. y tezlik bilan.

Guruch. 1.7.15

Guruch. 1.7.16

Shaklda. 1.7.15 va 1.7.16 pozitsiyalari va muvozanatlari o'qda yotadigan zarrachalarning tebranishlarini ko'rsatadi. x. Haqiqatda, o'q bo'ylab nafaqat zarralar tebranadi x, lekin ma'lum hajmga o'ralgan zarralar to'plami. Tebranish manbalaridan tarqalib, to'lqin jarayoni kosmosning tobora ko'proq qismlarini qamrab oladi, tebranishlar t vaqtgacha etib boradigan nuqtalarning joylashuvi deyiladi. to'lqin old(yoki to'lqinli old). To'lqin jabhasi - bu to'lqin jarayonida allaqachon ishtirok etgan bo'shliq qismini tebranishlar hali paydo bo'lmagan maydondan ajratib turadigan sirt.

Xuddi shu fazada tebranuvchi nuqtalarning joylashuvi deyiladi to'lqin yuzasi . To'lqin sirtini to'lqin jarayoni bilan qoplangan bo'shliqning istalgan nuqtasi orqali chizish mumkin. Binobarin, cheksiz ko'p to'lqin sirtlari mavjud bo'lib, har qanday vaqtda faqat bitta to'lqin jabhasi mavjud. To'lqin sirtlari statsionar bo'lib qoladi (ular bir xil fazada tebranuvchi zarrachalarning muvozanat holatidan o'tadilar) ). To'lqin jabhasi doimo harakatda.

To'lqinli yuzalar har qanday shaklda bo'lishi mumkin. Eng oddiy hollarda ular tekislik yoki shar shakliga ega. Shunga ko'ra, bu holatlarda to'lqin tekis yoki sharsimon deb ataladi. Tekis to'lqinda to'lqin sirtlari bir-biriga parallel tekisliklar to'plami, sferik to'lqinda - konsentrik sharlar to'plami.

Guruch. 1.7.17

O'q bo'ylab tekis to'lqin tarqalsin x. Keyin sferaning barcha nuqtalari, pozitsiyalari, muvozanatlari bir xil koordinataga ega x(lekin koordinata qiymatlaridagi farq y va z), bir xil fazada tebranadi.

Shaklda. 1.7.17 ofsetni beruvchi egri chiziqni ko'rsatadi ξ farqli nuqtalarning muvozanat holatidan x bir vaqtning o'zida. Ushbu chizilgan to'lqinning ko'rinadigan tasviri sifatida qabul qilinmasligi kerak. Rasmda funktsiyalar grafigi ko'rsatilgan ξ (x, t) ba'zilari uchun sobit vaqt nuqtasi t. Bunday grafik ham bo'ylama, ham ko'ndalang to'lqinlar uchun tuzilishi mumkin.

Qisqa to'lqin uchun muhit zarralarining tebranish davriga teng vaqt ichida tarqaladigan masofa l deyiladi. to'lqin uzunligi. Bu aniq

bu erda y - to'lqin tezligi, T - tebranish davri. To'lqin uzunligi 2p ga teng fazalar farqi bilan tebranuvchi muhitning eng yaqin nuqtalari orasidagi masofa sifatida ham belgilanishi mumkin (1.7.14-rasmga qarang).

(1.7.45) T dan 1/n (n - tebranish chastotasi) ga nisbatan almashtirsak, biz hosil bo'lamiz.

Bu formulaga quyidagi mulohazalar asosida ham erishish mumkin. Bir soniya ichida to'lqin manbai n tebranishlarini amalga oshiradi, har bir tebranish paytida muhitda to'lqinning bitta "cho'qqisi" va bitta "truba" hosil qiladi. Manba n -chi tebranishini tugatgandan so'ng, birinchi "tizma" y yo'lidan o'tishga ulguradi. Demak, to'lqinning n "cho'qqilari" va "cho'qqilari" y uzunligiga to'g'ri kelishi kerak.

1.7.12. Tekis to'lqin tenglamasi

To'lqin tenglamasi - tebranayotgan zarrachaning koordinatalariga qarab siljishini beradigan ifoda x, y, z va vaqt t :

p = p (x, y, z; t)

(zarrachaning muvozanat holatining koordinatalarini anglatadi). Bu funktsiya vaqtga nisbatan davriy bo'lishi kerak t , va koordinatalarga nisbatan x, y, z. . Vaqtning davriyligi nuqtalarning bir-biridan uzoqda ajralganligidan kelib chiqadi λ , xuddi shu tarzda o'zgarib turadi.

Funksiya turini toping ξ tekislik to'lqinida, tebranishlar garmonik deb faraz qilingan holda. Soddalashtirish uchun biz koordinata o'qlarini o'qni shunday yo'naltiramiz x to'lqinning tarqalish yo'nalishiga to'g'ri keladi. Keyin to'lqin sirtlari o'qga perpendikulyar bo'ladi x va to'lqin sirtining barcha nuqtalari teng tebranganligi sababli, siljish ξ faqat bog'liq bo'ladi x va t:

ξ = ξ (x, t) .

1.7.18-rasm

Tekislikda yotgan nuqtalarning tebranishlari bo'lsin x = 0 (1.7.18-rasm), shaklga ega bo'ling

Ixtiyoriy qiymatga mos keladigan tekislikdagi nuqtalarning tebranish turi topilsin x . Samolyotdan uzoqroqqa borish uchun x=0 bu tekislikka to'lqin vaqt oladi ( υ to'lqinning tarqalish tezligi). Binobarin, tekislikda yotgan zarrachalarning tebranishlari x tomonidan vaqt ortda qoladi τ tekislikdagi zarrachalarning tebranishlaridan x = 0 , ya'ni. kabi ko'rinadi

Shunday qilib, tekis to'lqin tenglamasi(uzunlamasına va ko'ndalang), eksa yo'nalishi bo'yicha tarqaladi x , quyidagicha:

Bu ifoda t vaqti o'rtasidagi munosabatni belgilaydi va o'sha joy x , bunda faza belgilangan qiymatga ega. Olingan dx/dt qiymati berilgan faza qiymatining harakat tezligini beradi. (1.7.48) ifodani farqlab, olamiz

To'lqinning kamayish yo'nalishi bo'yicha tarqalish tenglamasi x :

(1.7.53) formulani olishda biz tebranish amplitudasi ga bog'liq emas deb taxmin qildik. x . Tekis to'lqin uchun bu to'lqin energiyasi muhit tomonidan so'rilmaganda kuzatiladi. Energiyani yutuvchi muhitda tarqalayotganda, to'lqinning intensivligi tebranish manbasidan masofa bilan asta-sekin kamayadi - to'lqinning susayishi kuzatiladi. Tajriba shuni ko'rsatadiki, bir hil muhitda bunday damping eksponensial qonunga muvofiq sodir bo'ladi:

Mos ravishda dampingni hisobga olgan holda tekis to'lqin tenglamasi, quyidagi shaklga ega:

(1.7.54)

(a 0 - tekislik nuqtalaridagi amplituda x = 0).