), რომლის ერთი ბოლო მყარად არის დამაგრებული, ხოლო მეორე ბოლოზე არის მ მასის დატვირთვა.

როდესაც მასიურ სხეულზე მოქმედებს დრეკადობის ძალა და აბრუნებს მას წონასწორობის მდგომარეობაში, ის ირხევა ამ პოზიციის გარშემო.ასეთ სხეულს ზამბარის ქანქარა ეწოდება. ვიბრაცია გამოწვეულია გარე ძალით. რხევებს, რომლებიც გრძელდება გარე ძალის მოქმედების შეწყვეტის შემდეგ, თავისუფალი რხევები ეწოდება. გარე ძალის მოქმედებით გამოწვეულ რხევებს იძულებითი ეწოდება. ამ შემთხვევაში თვით ძალას იძულებითი ეწოდება.

უმარტივეს შემთხვევაში, ზამბარის ქანქარა არის ხისტი სხეული, რომელიც მოძრაობს ჰორიზონტალური სიბრტყის გასწვრივ, კედელზე მიმაგრებული ზამბარით.

ნიუტონის მეორე კანონი ასეთი სისტემისთვის გარე ძალებისა და ხახუნის ძალების არარსებობის შემთხვევაში აქვს ფორმა:

თუ სისტემაზე გავლენას ახდენს გარე ძალები, მაშინ რხევის განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

, სად f(x)- ეს არის გარე ძალების შედეგი, რომლებიც დაკავშირებულია დატვირთვის ერთეულ მასასთან.

შესუსტების შემთხვევაში, კოეფიციენტით რხევების სიჩქარის პროპორციულია გ:

იხილეთ ასევე

ბმულები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ნახეთ, რა არის "გაზაფხულის ქანქარა" სხვა ლექსიკონებში:

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ Pendulum (მნიშვნელობები). ქანქარის რხევები: ისრებით ნაჩვენებია სიჩქარის (v) და აჩქარების (a) ვექტორები ... ვიკიპედია

ქანქარა- მოწყობილობა, რომელიც რხევით აწყობს საათის მექანიზმის მოძრაობას. საგაზაფხულო ქანქარა. საათის მარეგულირებელი ნაწილი, რომელიც შედგება ქანქარისა და მისი ზამბარისგან. ქანქარის ზამბარის გამოგონებამდე საათები ერთი ქანქარით მოძრაობდნენ. ... ... საათების ლექსიკონი.

ქანქარა- (1) მცირე ზომის მათემატიკური (ან მარტივი) (ნახ. 6) სხეული, თავისუფლად ჩამოკიდებული ფიქსირებული წერტილიდან გაუწელვებელ ძაფზე (ან ღეროზე), რომლის მასა უმნიშვნელოა სხეულის მასასთან შედარებით, რომელიც ასრულებს ჰარმონიული (იხ.) ... ... დიდი პოლიტექნიკური ენციკლოპედია

ხისტი სხეული, რომელიც მოქმედებს აპის მოქმედების ქვეშ. ვიბრაციის ძალა დაახლ. ფიქსირებული წერტილი ან ღერძი. მათემატიკური მ. მატერიალური წერტილი, რომელიც ჩამოკიდებულია ფიქსირებული წერტილიდან უწონად გაუწელვებელ ძაფზე (ან ღეროზე) და მოქმედებს ძალის მოქმედების ქვეშ ... ... დიდი ენციკლოპედიური პოლიტექნიკური ლექსიკონი

საათი გაზაფხულის ქანქარით- ზამბარის ქანქარა საათის მარეგულირებელი ნაწილი, ასევე გამოიყენება საშუალო და პატარა საათებში (პორტატული საათები, მაგიდის საათები და ა.შ.) ... საათის ლექსიკონი - პატარა სპირალური ზამბარა, რომელიც დამაგრებულია ქანქარისა და მისი ჩაქუჩის ბოლოებზე. ზამბარის ქანქარა არეგულირებს საათს, რომლის სიზუსტე ნაწილობრივ დამოკიდებულია ქანქარის ზამბარის ხარისხზე ... საათის ლექსიკონი

GOST R 52334-2005: გრავიტაციის კვლევა. ტერმინები და განმარტებები- ტერმინოლოგია GOST R 52334 2005: Gravity exploration. ტერმინები და განმარტებები ორიგინალური დოკუმენტი: (გრავიმეტრული) კვლევა მიწისზე ჩატარებული გრავიმეტრული კვლევა. ტერმინის განმარტებები სხვადასხვა დოკუმენტებიდან: (გრავიმეტრული) კვლევა 95 ... ... ნორმატიული და ტექნიკური დოკუმენტაციის ტერმინთა ლექსიკონი-საცნობარო წიგნი

განმარტება

რხევის სიხშირე($\nu$) არის ერთ-ერთი პარამეტრი, რომელიც ახასიათებს რყევებს. ეს არის მერყეობის პერიოდის ($T$):

\[\nu=\frac(1)(T)\მარცხნივ(1\მარჯვნივ).\]

ამრიგად, რხევების სიხშირეს უწოდებენ ფიზიკურ სიდიდეს, რომელიც უდრის რხევების გამეორების რაოდენობას დროის ერთეულზე.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\მარცხნივ(2\მარჯვნივ),\]

სადაც $N$ არის სრული რხევითი მოძრაობების რაოდენობა; $\Delta t$ - დრო, რომლის დროსაც მოხდა ეს რყევები.

ციკლური რხევის სიხშირე ($(\omega )_0$) დაკავშირებულია $\nu $ სიხშირესთან ფორმულით:

\[\nu =\frac((\omega)_0)(2\pi)\მარცხნივ(3\მარჯვნივ).\]

სიხშირის ერთეული ერთეულების საერთაშორისო სისტემაში (SI) არის ჰერცი ან ორმხრივი წამი:

\[\მარცხნივ[\nu \მარჯვნივ]=c^(-1)=Hz.\]

საგაზაფხულო ქანქარა

განმარტება

საგაზაფხულო ქანქარაეწოდება სისტემას, რომელიც შედგება დრეკადი ზამბარისგან, რომელზეც დამაგრებულია დატვირთვა.

დავუშვათ, რომ დატვირთვის წონაა $m$, ზამბარის ელასტიურობის კოეფიციენტი $k$. ზამბარის მასა ასეთ ქანქარში, როგორც წესი, არ არის გათვალისწინებული. თუ გავითვალისწინებთ დატვირთვის ჰორიზონტალურ მოძრაობებს (ნახ. 1), მაშინ ის მოძრაობს დრეკადობის ძალის მოქმედებით, თუ სისტემა გამოყვანილია წონასწორობიდან და თავისთვის დარჩა. ამ შემთხვევაში, ხშირად მიაჩნიათ, რომ ხახუნის ძალების იგნორირება შესაძლებელია.

რხევის განტოლებები ზამბარის ქანქარისთვის

ზამბარის ქანქარა, რომელიც თავისუფლად რხევა, ჰარმონიული ოსცილატორის მაგალითია. მოდით შეასრულოს რხევები X ღერძის გასწვრივ. თუ რხევები მცირეა, ჰუკის კანონი დაკმაყოფილებულია, მაშინ დატვირთვის მოძრაობის განტოლებას ვწერთ შემდეგნაირად:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\მარცხნივ(4\მარჯვნივ),\]

სადაც $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ არის ზამბარის ქანქარის რხევების ციკლური სიხშირე. (4) განტოლების ამონახსნი არის ფორმის სინუსური ან კოსინუსური ფუნქცია:

სადაც $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ არის ზამბარის ქანქარის ციკლური რხევის სიხშირე, $A$ არის რხევის ამპლიტუდა; $((\omega )_0t+\varphi)$ - რხევის ფაზა; $\varphi $ და $(\varphi )_1$ - რხევების საწყისი ფაზები.

ზამბარის ქანქარის რხევის სიხშირე

ფორმულიდან (3) და $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, გამოდის, რომ ზამბარის ქანქარის რხევის სიხშირე არის:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\მარჯვნივ).\]

ფორმულა (6) მოქმედებს, თუ:

• ქანქარში ზამბარა უწონად ითვლება;
• ზამბარზე მიმაგრებული წონა არის იდეალურად ხისტი სხეული;
• არ არის ბრუნვის ვიბრაცია.

გამოთქმა (6) გვიჩვენებს, რომ ზამბარის ქანქარის რხევის სიხშირე იზრდება დატვირთვის მასის შემცირებით და ზამბარის ელასტიურობის კოეფიციენტის მატებასთან ერთად. ზამბარის ქანქარის რხევის სიხშირე არ არის დამოკიდებული ამპლიტუდაზე. თუ რხევები არ არის მცირე, ზამბარის დრეკადობის ძალა არ ემორჩილება ჰუკის კანონს, მაშინ ჩნდება რხევის სიხშირის დამოკიდებულება ამპლიტუდაზე.

პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებით

მაგალითი 1

ვარჯიში.ზამბარის ქანქარის რხევის პერიოდია $T=5\cdot (10)^(-3)c$. რა არის ამ შემთხვევაში რხევის სიხშირე? რა არის ამ წონის ციკლური სიხშირე?

გამოსავალი.რხევის სიხშირე არის რხევის პერიოდის ორმხრივი, ამიტომ, პრობლემის გადასაჭრელად, საკმარისია გამოიყენოთ ფორმულა:

\[\nu=\frac(1)(T)\მარცხნივ(1.1\მარჯვნივ).\]

გამოთვალეთ სასურველი სიხშირე:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \მარცხნივ(Hz\მარჯვნივ).\]

ციკლური სიხშირე დაკავშირებულია $\nu$ სიხშირესთან, როგორც:

\[(\ომეგა)_0=2\pi \nu \\მარცხნივ(1.2\მარჯვნივ).\]

მოდით გამოვთვალოთ ციკლური სიხშირე:

\[(\omega)_0=2\pi \cdot 200\დაახლოებით 1256\ \left(\frac(rad)(c)\right).\]

უპასუხე.$1)\ \nu =200$ ჰც. 2) $(\ ომეგა )_0=1256\ \ფრაკ(რად)(ები)$

მაგალითი 2

ვარჯიში.დრეკად ზამბარზე დაკიდებული ტვირთის მასა (ნახ. 2) გაიზარდა $\დელტა m$-ით, ხოლო სიხშირე $n$-ჯერ მცირდება. რა არის პირველი დატვირთვის მასა?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\მარჯვნივ).\]

პირველი დატვირთვისთვის, სიხშირე ტოლი იქნება:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\მარჯვნივ).\]

მეორე დატვირთვისთვის:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\delta m))\ \left(2.2\მარჯვნივ).\]

პრობლემის პირობით $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$, ვპოულობთ მიმართებას $\frac((\nu )_1)(\nu )_2):\ frac((\nu)_1)((\nu)_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\delta m)(k))=\sqrt(1+\frac( \დელტა მ)(მ))=n\ \მარცხნივ(2.3\მარჯვნივ).$

(2.3) განტოლებიდან ვიღებთ დატვირთვის სასურველ მასას. ამისათვის ჩვენ გამოვყოფთ გამოხატვის ორივე ნაწილს (2.3) და გამოვხატავთ $m$:

უპასუხე.$m=\frac(\დელტა მ)(n^2-1)$

ინსტალაციაზე ტარდება ქანქარის რხევების შესწავლა, რომლის სქემაც ნაჩვენებია ნახ.5. ინსტალაცია შედგება ზამბარის ქანქარისგან, ვიბრაციის რეგისტრაციის სისტემისგან, რომელიც დაფუძნებულია პიეზოელექტრიკულ სენსორზე, იძულებითი ვიბრაციის აგზნების სისტემა და ინფორმაციის დამუშავების სისტემა პერსონალურ კომპიუტერზე. გამოკვლეული ზამბარის ქანქარა შედგება ფოლადის ზამბარისგან სიხისტის კოეფიციენტით კდა გულსაკიდი სხეული მმუდმივი მაგნიტით ცენტრში. ქანქარის მოძრაობა ხდება სითხეში და დაბალი რხევის სიჩქარით მიღებული ხახუნის ძალა შეიძლება მიახლოებული იყოს საკმარისი სიზუსტით წრფივი კანონით, ე.ი.

ნახ.5 ექსპერიმენტული დაყენების ბლოკ-სქემა

სითხეში გადაადგილებისას წინააღმდეგობის ძალის გასაზრდელად ქანქარის კორპუსი მზადდება ნახვრეტებით გამრეცხის სახით. ვიბრაციების დასარეგისტრირებლად გამოიყენება პიეზოელექტრული სენსორი, რომელზედაც დაკიდებულია ქანქარის ზამბარა. ქანქარის მოძრაობის დროს დრეკადობის ძალა გადაადგილების პროპორციულია X,
ვინაიდან EMF, რომელიც ხდება პიეზოელექტრიკულ სენსორში, თავის მხრივ პროპორციულია წნევის ძალისა, სენსორისგან მიღებული სიგნალი პროპორციული იქნება ქანქარის სხეულის გადაადგილების წონასწორობის პოზიციიდან.
რხევების აგზნება ხორციელდება მაგნიტური ველის გამოყენებით. კომპიუტერის მიერ წარმოქმნილი ჰარმონიული სიგნალი გაძლიერებულია და მიეწოდება აგზნების ხვეულს, რომელიც მდებარეობს ქანქარის სხეულის ქვეშ. ამ კოჭის შედეგად წარმოიქმნება მაგნიტური ველი, რომელიც დროში ცვალებადია და არაერთგვაროვანი სივრცეში. ეს ველი მოქმედებს ქანქარის სხეულში დამაგრებულ მუდმივ მაგნიტზე და ქმნის გარე პერიოდულ ძალას. როდესაც სხეული მოძრაობს, მამოძრავებელი ძალა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ჰარმონიული ფუნქციების სუპერპოზიცია, ხოლო გულსაკიდი რხევები იქნება რხევების სუპერპოზიცია მვტ სიხშირით. თუმცა, მხოლოდ ძალის კომპონენტი სიხშირეზე ვ, რადგან ის ყველაზე ახლოსაა რეზონანსულ სიხშირესთან. ამრიგად, ქანქარის რხევების კომპონენტების ამპლიტუდები სიხშირეებზე მვტიქნება პატარა. ანუ თვითნებური პერიოდული მოქმედების შემთხვევაში მაღალი სიზუსტის მქონე რხევები შეიძლება ჩაითვალოს ჰარმონიულად სიხშირეზე. ვ.
ინფორმაციის დამუშავების სისტემა შედგება ანალოგური ციფრული გადამყვანისა და პერსონალური კომპიუტერისგან. პიეზოელექტრული სენსორიდან ანალოგური სიგნალი წარმოდგენილია ციფრული სახით ანალოგური ციფრული გადამყვანის გამოყენებით და მიეწოდება პერსონალურ კომპიუტერს.

ექსპერიმენტული დაყენების კომპიუტერული კონტროლი
კომპიუტერის ჩართვისა და პროგრამის ჩატვირთვის შემდეგ მონიტორის ეკრანზე ჩნდება მთავარი მენიუ, რომლის ზოგადი ხედი ნაჩვენებია ნახ.5-ზე. კურსორის ღილაკების გამოყენებით , , , შეგიძლიათ აირჩიოთ მენიუს ერთ-ერთი ელემენტი. ღილაკზე დაჭერის შემდეგ ENTERკომპიუტერი იწყებს მუშაობის შერჩეულ რეჟიმს. უმარტივესი მინიშნებები მუშაობის შერჩეულ რეჟიმზე მონიშნულია ეკრანის ბოლოში მონიშნულ ხაზში.
განვიხილოთ პროგრამის მუშაობის შესაძლო რეჟიმები:
სტატიკა- მენიუს ეს ელემენტი გამოიყენება პირველი ვარჯიშის შედეგების დასამუშავებლად (იხ. სურ. 5) ღილაკის დაჭერის შემდეგ ENTERკომპიუტერი ითხოვს ქანქარის წონის მასას. შემდეგი ღილაკის შემდეგ დააჭირეთ ENTERეკრანზე გამოჩნდება ახალი სურათი მოციმციმე კურსორით. თანმიმდევრულად ჩაწერეთ ეკრანზე დატვირთვის მასა გრამებში და, სველი ზოლის დაჭერის შემდეგ, ზამბარის გაჭიმვის სიდიდე. დაჭერით ENTERგადადით ახალ ხაზზე და ისევ ჩაწერეთ დატვირთვის მასა და ზამბარის გაჭიმვის რაოდენობა. ნებადართულია მონაცემების რედაქტირება ბოლო სტრიქონში. ამისათვის დააჭირეთ ღილაკს backspaceწაშალეთ ზამბარის მასის ან დაძაბულობის არასწორი მნიშვნელობა და ჩაწერეთ ახალი მნიშვნელობა. სხვა რიგებში მონაცემების შესაცვლელად, თანმიმდევრულად უნდა დააჭიროთ ესკდა ENTERდა შემდეგ გაიმეორეთ შედეგების ნაკრებზე.
მონაცემების შეყვანის შემდეგ დააჭირეთ ფუნქციის ღილაკს F2. ეკრანზე გამოჩნდება ზამბარის სიხისტის კოეფიციენტის მნიშვნელობები და ქანქარის თავისუფალი რხევების სიხშირე, რომელიც გამოითვლება უმცირესი კვადრატების მეთოდით. დაწკაპუნების შემდეგ ENTERმონიტორის ეკრანზე გამოჩნდება ელასტიური ძალის დამოკიდებულების გრაფიკი ზამბარის გაფართოების სიდიდეზე. მთავარ მენიუში დაბრუნება ხდება ნებისმიერი ღილაკის დაჭერის შემდეგ.
Ექსპერიმენტი- ამ პუნქტს აქვს რამდენიმე ქვეპუნქტი (სურ. 6). განვიხილოთ თითოეული მათგანის მახასიათებლები.
სიხშირე- ამ რეჟიმში, კურსორის ღილაკების გამოყენებით, დაყენებულია მამოძრავებელი ძალის სიხშირე. იმ შემთხვევაში, თუ ტარდება ექსპერიმენტი თავისუფალი ვიბრაციებით, მაშინ აუცილებელია სიხშირის მნიშვნელობის დაყენება 0 .
დაწყება- ამ რეჟიმში ღილაკის დაჭერის შემდეგ ENTERპროგრამა იწყებს ქანქარის გადახრის ექსპერიმენტული დამოკიდებულების ჩაწერას დროზე. იმ შემთხვევაში, როდესაც მამოძრავებელი ძალის სიხშირე ნულის ტოლია, ეკრანზე ჩნდება დამსხვრეული რხევების სურათი. ცალკე ფანჯარაში ჩაიწერება რხევის სიხშირის და აორთქლების მუდმივის მნიშვნელობები. თუ მამოძრავებელი ძალის სიხშირე არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ქანქარის გადახრისა და მამოძრავებელი ძალის დროზე დამოკიდებულების გრაფიკებთან ერთად, მამოძრავებელი ძალის სიხშირისა და მისი ამპლიტუდის მნიშვნელობები, აგრეთვე ქანქარის რხევების გაზომილი სიხშირე და ამპლიტუდა ფიქსირდება ეკრანზე ცალკეულ ფანჯრებში. ღილაკზე დაჭერით ესკშეგიძლიათ გახვიდეთ მთავარ მენიუში.
Გადარჩენა- თუ ექსპერიმენტის შედეგი დამაკმაყოფილებელია, მაშინ მისი შენახვა შესაძლებელია მენიუს შესაბამისი ღილაკის დაჭერით.
ახალი სერიალი- მენიუს ეს ელემენტი გამოიყენება, თუ საჭიროა მიმდინარე ექსპერიმენტის მონაცემების გაუქმება. გასაღების დაჭერის შემდეგ ENTERამ რეჟიმში, ყველა წინა ექსპერიმენტის შედეგები წაიშლება აპარატის მეხსიერებიდან და შეიძლება დაიწყოს გაზომვების ახალი სერია.
ექსპერიმენტის შემდეგ ისინი გადადიან რეჟიმზე გაზომვები. მენიუს ამ პუნქტს აქვს რამდენიმე ქვეპუნქტი (ნახ. 7)
სიხშირის რეაგირების გრაფიკი- მენიუს ეს ელემენტი გამოიყენება იძულებითი რხევების შესწავლის ექსპერიმენტის დასრულების შემდეგ. იძულებითი რხევების ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებელი გამოსახულია მონიტორის ეკრანზე.
PFC სქემა- ამ რეჟიმში, იძულებითი რხევების შესწავლაზე ექსპერიმენტის დასრულების შემდეგ, მონიტორის ეკრანზე აგებულია ფაზა-სიხშირის მახასიათებელი.
მაგიდა- მენიუს ეს ელემენტი საშუალებას გაძლევთ აჩვენოთ რხევების ამპლიტუდისა და ფაზის მნიშვნელობები მონიტორის ეკრანზე, რაც დამოკიდებულია მამოძრავებელი ძალის სიხშირეზე. ეს მონაცემები გადაიწერება რვეულში ამ სამუშაოს მოხსენებისთვის.
კომპიუტერის მენიუს ელემენტი გასვლა- პროგრამის დასასრული (იხ., მაგალითად, სურ. 7)

სავარჯიშო 1. ზამბარის სიმყარის კოეფიციენტის განსაზღვრა სტატიკური მეთოდით.

გაზომვები ხორციელდება ზამბარის დრეკადობის განსაზღვრით ცნობილი მასებით დატვირთვების მოქმედებით. რეკომენდებულია მინიმუმ დახარჯვა 7-10 ზამბარის დრეკადობის გაზომვები დატვირთვების თანდათანობით შეჩერებით და ამით დატვირთვის შეცვლით 20 ადრე 150 დ) პროგრამის მენიუს ელემენტის გამოყენება სტატისტიკაამ გაზომვების შედეგები შედის კომპიუტერის მეხსიერებაში და ზამბარის სიხისტის კოეფიციენტი განისაზღვრება უმცირესი კვადრატების მეთოდით. ვარჯიშის დროს აუცილებელია ქანქარის ბუნებრივი სიხშირის სიდიდის გამოთვლა

ზამბარის ქანქარა არის მასის მატერიალური წერტილი, რომელიც მიმაგრებულია აბსოლიტურად ელასტიურ უწონო ზამბარზე სიმყარით. . არსებობს ორი უმარტივესი შემთხვევა: ჰორიზონტალური (ნახ. 15, ა) და ვერტიკალური (ნახ. 15, ბ) ქანქარები.

ა) ჰორიზონტალური ქანქარა(ნახ. 15ა). ტვირთის გადატანისას
წონასწორობის გარეთ თანხით მოქმედებს მასზე ჰორიზონტალური მიმართულებით. ელასტიური ძალის აღდგენა
(ჰუკის კანონი).

ვარაუდობენ, რომ ჰორიზონტალური საყრდენი, რომელზეც დატვირთვა სრიალებს
მისი ვიბრაციების დროს ის აბსოლუტურად გლუვია (ხახუნის გარეშე).

ბ) ვერტიკალური ქანქარა(ნახ.15, ბ). წონასწორობის პოზიცია ამ შემთხვევაში ხასიათდება პირობით:

სადაც - დატვირთვაზე მოქმედი ელასტიური ძალის სიდიდე
როდესაც ზამბარა სტატიკურად არის დაჭიმული გრავიტაციის გავლენის ქვეშ
.

ა

სურ.15. საგაზაფხულო ქანქარა: ა- ჰორიზონტალური და ბ- ვერტიკალური

თუ ზამბარა დაიჭიმება და დატვირთვა განთავისუფლდება, ის ვერტიკალურად დაიწყებს რხევას. თუ ოფსეტური დროის გარკვეულ მომენტში არის
, მაშინ დრეკადობის ძალა ახლა ჩაიწერება როგორც
.

ორივე განხილულ შემთხვევაში, ზამბარის ქანქარა ასრულებს ჰარმონიულ რხევებს წერტილით

(27)

და ციკლური სიხშირე

. (28)

ზამბარის ქანქარის განხილვის მაგალითის გამოყენებით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ჰარმონიული რხევები არის მოძრაობა გამოწვეული ძალით, რომელიც იზრდება გადაადგილების პროპორციულად. . Ამგვარად, თუ აღმდგენი ძალა ჰუკის კანონს ჰგავს
(მან მიიღო სახელიკვაზი-ელასტიური ძალა ), მაშინ სისტემამ უნდა შეასრულოს ჰარმონიული რხევები.წონასწორობის პოზიციის გავლის მომენტში აღმდგენი ძალა არ მოქმედებს სხეულზე, თუმცა სხეული ინერციით გამოტოვებს წონასწორობის მდგომარეობას და აღმდგენი ძალა იცვლის მიმართულებას საპირისპიროდ.

მათემატიკური გულსაკიდი

სურ.16. მათემატიკური გულსაკიდი

მათემატიკური გულსაკიდიარის იდეალიზებული სისტემა მატერიალური წერტილის სახით, რომელიც დაკიდულია სიგრძის უწონად გაუწელვებელ ძაფზე. , რომელიც სიმძიმის მოქმედებით ასრულებს მცირე რხევებს (სურ. 16).

ასეთი ქანქარის რხევები მცირე გადახრის კუთხით
(არაუმეტეს 5º) შეიძლება ჩაითვალოს ჰარმონიულად, ხოლო მათემატიკური ქანქარის ციკლური სიხშირე:

, (29)

და პერიოდი:

. (30)

2.3. სხეულის ენერგია ჰარმონიული ვიბრაციის დროს

საწყისი ბიძგის დროს რხევის სისტემაზე გადაცემული ენერგია პერიოდულად გარდაიქმნება: დეფორმირებული ზამბარის პოტენციური ენერგია გარდაიქმნება მოძრავი დატვირთვის კინეტიკურ ენერგიად და პირიქით.

მოდით, ზამბარის ქანქარმა შეასრულოს ჰარმონიული რხევები საწყის ფაზასთან
, ე.ი.
(ნახ.17).

სურ.17. მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონი

როდესაც ზამბარის ქანქარა ირხევა

დატვირთვის მაქსიმალური გადახრისას წონასწორობის პოზიციიდან, ქანქარის მთლიანი მექანიკური ენერგია (დეფორმირებული ზამბარის ენერგია სიხისტესთან ერთად ) უდრის
. წონასწორობის პოზიციის გავლისას (
) ზამბარის პოტენციური ენერგია გახდება ნულის ტოლი და რხევითი სისტემის ჯამური მექანიკური ენერგია განისაზღვრება როგორც
.

სურათი 18 გვიჩვენებს კინეტიკური, პოტენციური და მთლიანი ენერგიის დამოკიდებულებებს იმ შემთხვევებში, როდესაც ჰარმონიული რხევები აღწერილია სინუსის (დატეხილი ხაზი) ​​ან კოსინუსის (მყარი ხაზი) ​​ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით.

სურ.18. კინეტიკური დროის დამოკიდებულების გრაფიკები

და პოტენციური ენერგია ჰარმონიული რხევებისთვის

გრაფიკებიდან (სურ. 18) ირკვევა, რომ კინეტიკური და პოტენციური ენერგიის ცვლილების სიხშირე ორჯერ აღემატება ჰარმონიული რხევების ბუნებრივ სიხშირეს.

(1.7.1)

თუ ბურთი წონასწორული პოზიციიდან x მანძილით არის გადაადგილებული, მაშინ ზამბარის გახანგრძლივება გახდება Δl 0 + x. შემდეგ მიღებული ძალა მიიღებს მნიშვნელობას:

წონასწორობის პირობის (1.7.1) გათვალისწინებით ვიღებთ:

მინუს ნიშანი მიუთითებს, რომ გადაადგილება და ძალა საპირისპირო მიმართულებით არის.

ელასტიურ ძალას f აქვს შემდეგი თვისებები:

1. იგი პროპორციულია ბურთის გადაადგილების წონასწორობის პოზიციიდან;
2. ის ყოველთვის მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ.

გადაადგილების x სისტემის ინფორმირებისთვის საჭიროა ელასტიური ძალის წინააღმდეგ სამუშაოების შესრულება:

ეს სამუშაო მიდის სისტემის პოტენციური ენერგიის რეზერვის შესაქმნელად:

ელასტიური ძალის მოქმედებით, ბურთი მუდმივად მზარდი სიჩქარით მიემართება წონასწორობის პოზიციისკენ. ამრიგად, სისტემის პოტენციური ენერგია შემცირდება, მაგრამ კინეტიკური ენერგია გაიზრდება (უგულებელვყოფთ ზამბარის მასას). წონასწორობის პოზიციაზე მისვლის შემდეგ, ბურთი განაგრძობს მოძრაობას ინერციით. ეს არის ნელი მოძრაობა და შეჩერდება, როდესაც კინეტიკური ენერგია მთლიანად გარდაიქმნება პოტენციალად. შემდეგ იგივე პროცესი გაგრძელდება, როდესაც ბურთი მოძრაობს საპირისპირო მიმართულებით. თუ სისტემაში ხახუნი არ არის, ბურთი განუსაზღვრელი ვადით ირხევა.

ნიუტონის მეორე კანონის განტოლება ამ შემთხვევაში არის:

განტოლება ასე გარდავქმნათ:

აღნიშვნის შემოღებით ვიღებთ მეორე რიგის წრფივ ჰომოგენურ დიფერენციალურ განტოლებას:

პირდაპირი ჩანაცვლებით ადვილია იმის დადასტურება, რომ განტოლების (1.7.8) ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა:

სადაც a არის ამპლიტუდა და φ არის რხევის საწყისი ფაზა - მუდმივი მნიშვნელობები. ამიტომ ზამბარის ქანქარის რხევა ჰარმონიულია (სურ. 1.7.2).

ბრინჯი. 1.7.2. ჰარმონიული რხევა

კოსინუსის პერიოდულობის გამო რხევითი სისტემის სხვადასხვა მდგომარეობა მეორდება გარკვეული პერიოდის შემდეგ (რხევის პერიოდი) T, რომლის დროსაც რხევის ფაზა იღებს 2π-ის ზრდას. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ პერიოდი განტოლების გამოყენებით:

საიდანაც შემდეგია:

რხევების რაოდენობას დროის ერთეულზე ეწოდება სიხშირე:

სიხშირის ერთეული არის ასეთი რხევის სიხშირე, რომლის პერიოდია 1 წმ. ამ ერთეულს ეწოდება 1 ჰც.

(1.7.11)-დან გამომდინარეობს, რომ:

მაშასადამე, ω 0 არის რხევების რაოდენობა 2π წამში. მნიშვნელობა ω 0 ეწოდება წრიულ ან ციკლურ სიხშირეს. (1.7.12) და (1.7.13) გამოყენებით ჩვენ ვწერთ:

დროის მიხედვით () დიფერენცირებით, ჩვენ ვიღებთ გამოხატულებას ბურთის სიჩქარისთვის:

(1.7.15)-დან გამომდინარეობს, რომ სიჩქარეც იცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით და უსწრებს ფაზურ ცვლას ½π-ით. დიფერენცირებით (1.7.15), მივიღებთ აჩქარებას:

1.7.2. მათემატიკური გულსაკიდი

მათემატიკური გულსაკიდიეწოდება იდეალიზებულ სისტემას, რომელიც შედგება გაუწელავი უწონო ძაფისგან, რომელზედაც დაკიდებულია სხეული, რომლის მთელი მასა კონცენტრირებულია ერთ წერტილში.

ქანქარის გადახრა წონასწორული მდგომარეობიდან ხასიათდება ფ კუთხით, რომელიც წარმოიქმნება ძაფის ვერტიკალურთან (ნახ. 1.7.3).

ბრინჯი. 1.7.3. მათემატიკური გულსაკიდი

როდესაც ქანქარა გადახრის წონასწორობის პოზიციიდან, წარმოიქმნება ბრუნი, რომელიც მიდრეკილია დააბრუნოს ქანქარა წონასწორობის მდგომარეობაში:

მოდით დავწეროთ განტოლება ქანქარისთვის ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის შესახებ, იმის გათვალისწინებით, რომ მისი ინერციის მომენტი მლ 2-ის ტოლია:

ეს განტოლება შეიძლება მივიღოთ ფორმაში:

შევიზღუდოთ საკუთარი თავი მცირე რყევების sinφ ≈ φ შემთხვევაში და შემოვიღოთ აღნიშვნა:

განტოლება (1.7.19) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

რომელიც ფორმით ემთხვევა ზამბარის ქანქარის რხევების განტოლებას. ამრიგად, მისი ამოხსნა იქნება ჰარმონიული რხევა:

(1.7.20)-დან გამომდინარეობს, რომ მათემატიკური ქანქარის ციკლური რხევის სიხშირე დამოკიდებულია მის სიგრძეზე და თავისუფალი ვარდნის აჩქარებაზე. რხევის პერიოდის () და (1.7.20) ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ ცნობილ მიმართებას:

1.7.3. ფიზიკური გულსაკიდი

ფიზიკური ქანქარა არის ხისტი სხეული, რომელსაც შეუძლია რხევა ფიქსირებული წერტილის გარშემო, რომელიც არ ემთხვევა ინერციის ცენტრს. წონასწორობის მდგომარეობაში, გულსაკიდის C ინერციის ცენტრი იმავე ვერტიკალურზე O დაკიდების წერტილის ქვეშ არის (ნახ. 1.7.4).

ბრინჯი. 1.7.4. ფიზიკური გულსაკიდი

როდესაც ქანქარა გადახრის წონასწორობის პოზიციიდან φ კუთხით, წარმოიქმნება ბრუნი, რომელიც მიდრეკილია დააბრუნოს ქანქარა წონასწორობის მდგომარეობაში:

სადაც m არის ქანქარის მასა, l არის მანძილი შეჩერების წერტილსა და ქანქარის ინერციის ცენტრს შორის.

მოდით დავწეროთ ქანქარის ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის განტოლება, იმის გათვალისწინებით, რომ ინერციის მომენტი I-ის ტოლია:

მცირე რყევებისთვის sinφ ≈ φ. შემდეგ წარმოგიდგენთ აღნიშვნას:

რომელიც ფორმითაც ემთხვევა ზამბარის ქანქარის რხევების განტოლებას. (1.7.27) და (1.7.26) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ფიზიკური ქანქარის წონასწორობის პოზიციიდან მცირე გადახრებით, იგი ასრულებს ჰარმონიულ რხევას, რომლის სიხშირე დამოკიდებულია ქანქარის მასაზე, ინერციის მომენტზე. და მანძილი ბრუნვის ღერძსა და ინერციის ცენტრს შორის. (1.7.26) გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ რხევის პერიოდი:

(1.7.28) და () ფორმულების შედარებისას მივიღებთ, რომ მათემატიკური გულსაკიდი სიგრძით:

ექნება იგივე რხევის პერიოდი, როგორც განხილულ ფიზიკურ ქანქარას. რაოდენობა (1.7.29) ე.წ შემცირებული სიგრძეფიზიკური გულსაკიდი. მაშასადამე, ფიზიკური ქანქარის შემცირებული სიგრძე არის ისეთი მათემატიკური ქანქარის სიგრძე, რომლის რხევის პერიოდი უდრის მოცემული ფიზიკური ქანქარის რხევის პერიოდს.

სწორი ხაზის წერტილს, რომელიც აკავშირებს შეჩერების წერტილს ინერციის ცენტრთან, რომელიც მდებარეობს ბრუნვის ღერძიდან შემცირებული სიგრძის მანძილზე, ე.წ. სვინგის ცენტრიფიზიკური გულსაკიდი. შტაინერის თეორემის მიხედვით, ფიზიკური ქანქარის ინერციის მომენტი არის:

სადაც I 0 არის ინერციის მომენტი ინერციის ცენტრის მიმართ. (1.7.30) (1.7.29) ჩანაცვლებით მივიღებთ:

ამიტომ, შემცირებული სიგრძე ყოველთვის მეტია დაკიდების წერტილსა და ქანქარის ინერციის ცენტრს შორის მანძილს, ასე რომ დაკიდების წერტილი და რხევის ცენტრი დევს ინერციის ცენტრის მოპირდაპირე მხარეს.

1.7.4. ჰარმონიული ვიბრაციების ენერგია

ჰარმონიული რხევის დროს ხდება რხევადი სხეულის E k კინეტიკური ენერგიისა და E p პოტენციური ენერგიის პერიოდული ურთიერთტრანსფორმაცია, კვაზი-ელასტიური ძალის მოქმედების გამო. ამ ენერგიებიდან ემატება რხევითი სისტემის მთლიანი ენერგია:

დავწეროთ ბოლო გამოთქმა

მაგრამ k \u003d mω 2, ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ გამოხატულებას რხევადი სხეულის მთლიანი ენერგიისთვის

ამრიგად, ჰარმონიული რხევის ჯამური ენერგია მუდმივია და პროპორციულია ამპლიტუდის კვადრატისა და რხევის წრიული სიხშირის კვადრატისა.

1.7.5. დასუსტებული ვიბრაციები .

ჰარმონიული რხევების შესწავლისას მხედველობაში არ იქნა მიღებული ხახუნის და წინააღმდეგობის ძალები, რომლებიც არსებობს რეალურ სისტემებში. ამ ძალების მოქმედება მნიშვნელოვნად ცვლის მოძრაობის ხასიათს, ხდება რხევა ქრებოდა.

თუ სისტემაში კვაზი-ელასტიური ძალის გარდა მოქმედებენ საშუალო წინააღმდეგობის ძალები (ხახუნის ძალები), მაშინ ნიუტონის მეორე კანონი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

სადაც r არის ხახუნის კოეფიციენტი, რომელიც ახასიათებს საშუალო მოძრაობის წინააღმდეგობის თვისებებს. ჩვენ ვცვლით (1.7.34b) (1.7.34a):

ამ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 1.7.5-ზე, როგორც მყარი მრუდი 1, ხოლო წყვეტილი ხაზი 2 აჩვენებს ამპლიტუდის ცვლილებას:

ძალიან მცირე ხახუნის დროს, დარბილებული რხევის პერიოდი ახლოსაა დაუცველი თავისუფალი რხევის პერიოდთან (1.7.35.b)

რხევის ამპლიტუდის შემცირების სიჩქარე განისაზღვრება იმით ამორტიზაციის ფაქტორი: რაც უფრო დიდია β, მით უფრო ძლიერია საშუალების შემნელებელი ეფექტი და მით უფრო სწრაფად მცირდება ამპლიტუდა. პრაქტიკაში ხშირად ხასიათდება შესუსტების ხარისხი ლოგარითმული დემპინგის შემცირება, ამით ნიშნავს მნიშვნელობას, რომელიც ტოლია რხევის ორი თანმიმდევრული ამპლიტუდის თანაფარდობის ბუნებრივ ლოგარითმს, რომლებიც გამოყოფილია რხევის პერიოდის ტოლი დროის ინტერვალით:

;

ამრიგად, აორთქლების კოეფიციენტი და ლოგარითმული დემპინგის შემცირება დაკავშირებულია საკმაოდ მარტივი დამოკიდებულებით:

ძლიერი დემპინგით, ფორმულიდან (1.7.37) ჩანს, რომ რხევის პერიოდი წარმოსახვითი სიდიდეა. მოძრაობა ამ შემთხვევაში უკვე ე.წ აპერიოდული. აპერიოდული მოძრაობის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 1.7.6. დაუცველ და დაბერებულ რხევებს უწოდებენ საკუთარი ან უფასო. ისინი წარმოიქმნება საწყისი გადაადგილების ან საწყისი სიჩქარის შედეგად და წარმოიქმნება გარე გავლენის არარსებობის პირობებში, თავდაპირველად დაგროვილი ენერგიის გამო.

1.7.6. იძულებითი ვიბრაციები. რეზონანსი .

იძულებული რხევებს უწოდებენ ისეთებს, რომლებიც წარმოიქმნება სისტემაში გარეგანი ძალის მონაწილეობით, რომელიც იცვლება პერიოდული კანონის მიხედვით.

დავუშვათ, რომ კვაზი-ელასტიური ძალისა და ხახუნის ძალის გარდა, მატერიალურ წერტილზე მოქმედებს გარეგანი მამოძრავებელი ძალა.

,

სადაც F 0 - ამპლიტუდა; ω - მამოძრავებელი ძალის რხევების წრიული სიხშირე. ჩვენ ვადგენთ დიფერენციალურ განტოლებას (ნიუტონის მეორე კანონი):

,

იძულებითი რხევის ამპლიტუდა (1.7.39) პირდაპირპროპორციულია მამოძრავებელი ძალის ამპლიტუდისა და აქვს კომპლექსური დამოკიდებულება საშუალების შესუსტების კოეფიციენტზე და ბუნებრივი და იძულებითი რხევების წრიულ სიხშირეებზე. თუ სისტემისთვის მოცემულია ω 0 და β, მაშინ იძულებითი რხევების ამპლიტუდას აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა მამოძრავებელი ძალის გარკვეულ სპეციფიკურ სიხშირეზე, ე.წ. რეზონანსული.

თავად ფენომენი - მაქსიმალური ამპლიტუდის მიღწევა მოცემულ ω 0 და β - ე.წ რეზონანსი.

ბრინჯი. 1.7.7. რეზონანსი

წინააღმდეგობის არარსებობის შემთხვევაში, რეზონანსის დროს იძულებითი რხევების ამპლიტუდა უსასრულოდ დიდია. ამ შემთხვევაში, ω res = ω 0-დან, ე.ი. რეზონანსი სისტემაში დემპირების გარეშე ხდება მაშინ, როდესაც მამოძრავებელი ძალის სიხშირე ემთხვევა ბუნებრივი რხევების სიხშირეს. იძულებითი რხევების ამპლიტუდის გრაფიკული დამოკიდებულება მამოძრავებელი ძალის წრიულ სიხშირეზე ამორტიზაციის კოეფიციენტის სხვადასხვა მნიშვნელობებზე ნაჩვენებია ნახ. 5.

მექანიკური რეზონანსი შეიძლება იყოს როგორც სასარგებლო, ასევე საზიანო. რეზონანსის მავნე მოქმედება ძირითადად განპირობებულია იმ განადგურებით, რაც შეიძლება გამოიწვიოს. ასე რომ, ტექნოლოგიაში, სხვადასხვა ვიბრაციის გათვალისწინებით, აუცილებელია რეზონანსული პირობების შესაძლო წარმოშობის განჭვრეტა, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება მოხდეს ნგრევა და კატასტროფები. სხეულებს ჩვეულებრივ აქვთ რამდენიმე ბუნებრივი ვიბრაციის სიხშირე და, შესაბამისად, რამდენიმე რეზონანსული სიხშირე.

თუ ადამიანის შინაგანი ორგანოების შესუსტების კოეფიციენტი არ იყო დიდი, მაშინ რეზონანსულმა ფენომენებმა, რომლებიც წარმოიშვა ამ ორგანოებში გარე ვიბრაციების ან ხმის ტალღების გავლენის ქვეშ, შეიძლება გამოიწვიოს ტრაგიკული შედეგები: ორგანოების რღვევა, ლიგატების დაზიანება და ა. თუმცა, ასეთი ფენომენები პრაქტიკულად არ შეინიშნება ზომიერი გარეგანი გავლენის ქვეშ, რადგან ბიოლოგიური სისტემების შესუსტების კოეფიციენტი საკმაოდ დიდია. მიუხედავად ამისა, რეზონანსული ფენომენები გარე მექანიკური ვიბრაციების გავლენის ქვეშ ხდება შინაგან ორგანოებში. ეს, როგორც ჩანს, არის ადამიანის ორგანიზმზე ინფრაბგერითი რხევებისა და ვიბრაციების უარყოფითი ზემოქმედების ერთ-ერთი მიზეზი.

1.7.7. თვითრხევები

ასევე არსებობს ისეთი რხევითი სისტემები, რომლებიც თავად არეგულირებენ დახარჯული ენერგიის პერიოდულ შევსებას და, შესაბამისად, შეიძლება მერყეობდნენ დიდი ხნის განმავლობაში.

დაუცველ რხევებს, რომლებიც არსებობს ნებისმიერ სისტემაში ცვლადი გარეგანი გავლენის არარსებობის შემთხვევაში, ეწოდება თვითრხევებიდა თავად სისტემები თვითრხევადი.

თვითრხევების ამპლიტუდა და სიხშირე დამოკიდებულია თვით რხევების სისტემაში არსებულ თვისებებზე; იძულებითი რხევებისგან განსხვავებით, ისინი არ განისაზღვრება გარე გავლენით.

ხშირ შემთხვევაში თვითრხევადი სისტემები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი ძირითადი ელემენტით (ნახ. 1.7.8): 1) ფაქტობრივი რხევითი სისტემა; 2) ენერგიის წყარო; 3) ფაქტობრივი რხევითი სისტემის ენერგომომარაგების რეგულატორი. რხევითი სისტემა უკუკავშირის არხის მეშვეობით (ნახ. 6) მოქმედებს რეგულატორზე, აცნობებს მარეგულირებელს ამ სისტემის მდგომარეობის შესახებ.

მექანიკური თვითრხევადი სისტემის კლასიკური მაგალითია საათი, რომელშიც ქანქარა ან ბალანსი არის რხევითი სისტემა, ზამბარა ან ამაღლებული წონა არის ენერგიის წყარო, ხოლო წამყვანმა არის ენერგიის რეგულატორი, რომელიც შედის წყაროდან. ოსცილატორული სისტემა.

ბევრი ბიოლოგიური სისტემა (გული, ფილტვები და ა.შ.) არის თვითრხევადი. ელექტრომაგნიტური თვითრხევადი სისტემის ტიპიური მაგალითია თვითრხევადი რხევების გენერატორები.

1.7.8. ვიბრაციების დამატება ერთი მიმართულებით

განვიხილოთ ერთი და იგივე მიმართულების და იგივე სიხშირის ორი ჰარმონიული რხევის დამატება:

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \u003d a 2 cos (ω 0 t + α 2).

ჰარმონიული რხევა შეიძლება განისაზღვროს ვექტორის გამოყენებით, რომლის სიგრძე უდრის რხევების ამპლიტუდას, ხოლო მიმართულება ქმნის კუთხეს გარკვეული ღერძით, რომელიც ტოლია რხევების საწყისი ფაზის. თუ ეს ვექტორი ბრუნავს ω 0 კუთხური სიჩქარით, მაშინ მისი პროექცია არჩეულ ღერძზე შეიცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით. ამის საფუძველზე ვირჩევთ X ღერძს და წარმოვადგენთ რხევებს a 1 და a 2 ვექტორების გამოყენებით (ნახ. 1.7.9).

1.7.6 სურათიდან გამომდინარეობს, რომ

.

სქემებს, რომლებშიც რხევები გრაფიკულად არის გამოსახული, როგორც ვექტორები სიბრტყეზე, ეწოდება ვექტორული დიაგრამები.

ეს გამომდინარეობს ფორმულიდან 1.7.40. რომ თუ ორივე რხევის ფაზური სხვაობა ნულის ტოლია, მიღებული რხევის ამპლიტუდა უდრის დამატებული რხევების ამპლიტუდების ჯამს. თუ დამატებული რხევების ფაზური სხვაობა ტოლია, მაშინ მიღებული რხევის ამპლიტუდა უდრის. თუ დამატებული რხევების სიხშირეები არ არის იგივე, მაშინ ამ რხევების შესაბამისი ვექტორები ბრუნავენ სხვადასხვა სიჩქარით. ამ შემთხვევაში, მიღებული ვექტორი პულსირებს სიდიდით და ბრუნავს არასტაბილური სიჩქარით. შესაბამისად, მიმატების შედეგად მიიღება არა ჰარმონიული რხევა, არამედ რთული რხევითი პროცესი.

1.7.9. სცემს

განვიხილოთ ერთი და იგივე მიმართულების ორი ჰარმონიული რხევის დამატება, სიხშირით ოდნავ განსხვავებული. ერთი მათგანის სიხშირე იყოს ω , ხოლო მეორეს ω + ∆ω და Δω.<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d a cos ωt, x 2 \u003d a cos (ω + ∆ω) t.

ამ გამონათქვამების დამატება და კოსინუსების ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

რხევები (1.7.41) შეიძლება ჩაითვალოს ჰარმონიულ რხევად ω სიხშირით, რომლის ამპლიტუდა იცვლება კანონის მიხედვით. ეს ფუნქცია პერიოდულია სიხშირით ორჯერ აღემატება გამოხატვის სიხშირეს მოდულის ნიშნის ქვეშ, ე.ი. სიხშირით ∆ω. ამრიგად, ამპლიტუდის პულსაციების სიხშირე, რომელსაც ეწოდება დარტყმის სიხშირე, უდრის დამატებული რხევების სიხშირეების სხვაობას.

1.7.10. ორმხრივი პერპენდიკულარული ვიბრაციების დამატება (ლისაჟუს ფიგურები)

თუ მატერიალური წერტილი ირხევა როგორც x ღერძის გასწვრივ, ასევე y ღერძის გასწვრივ, მაშინ ის მოძრაობს მრუდი ტრაექტორიის გასწვრივ. რხევის სიხშირე იგივე იყოს და პირველი რხევის საწყისი ფაზა ნულის ტოლი, შემდეგ რხევის განტოლებებს ვწერთ:

განტოლება (1.7.43) არის ელიფსის განტოლება, რომლის ღერძები თვითნებურად არის ორიენტირებული x და y კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში. ელიფსის ორიენტაცია და მისი ნახევარღერძების ზომა დამოკიდებულია a და b ამპლიტუდაზე და α ფაზურ განსხვავებაზე. განვიხილოთ რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევა:

(m=0, ±1, ±2, ...). ამ შემთხვევაში, განტოლებას აქვს ფორმა

ეს არის ელიფსის განტოლება, რომლის ღერძები ემთხვევა კოორდინატთა ღერძებს, ხოლო ნახევარღერძები ამპლიტუდების ტოლია (სურ. 1.7.12). თუ ამპლიტუდები ტოლია, მაშინ ელიფსი ხდება წრე.

სურ.1.7.12

თუ ორმხრივი პერპენდიკულარული რხევების სიხშირე განსხვავდება მცირე რაოდენობით ∆ω, ისინი შეიძლება ჩაითვალოს იმავე სიხშირის რხევებად, მაგრამ ნელა ცვალებადი ფაზის სხვაობით. ამ შემთხვევაში, რხევის განტოლებები შეიძლება დაიწეროს

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

ხოლო გამოთქმა ∆ωt+α განიხილება როგორც ფაზის სხვაობა, რომელიც დროთა განმავლობაში ნელა იცვლება წრფივი კანონის მიხედვით. შედეგად მიღებული მოძრაობა ამ შემთხვევაში მიჰყვება ნელა ცვალებად მრუდს, რომელიც თანმიმდევრულად მიიღებს ფორმას, რომელიც შეესაბამება ფაზის სხვაობის ყველა მნიშვნელობას -π-დან +π-მდე.

თუ ორმხრივი პერპენდიკულარული რხევების სიხშირეები არ არის ერთნაირი, მაშინ მიღებული მოძრაობის ტრაექტორიას აქვს საკმაოდ რთული მრუდების ფორმა ე.წ. Lissajous ფიგურები. მოდით, მაგალითად, დამატებული რხევების სიხშირე დაკავშირებული იყოს როგორც 1 : 2 და ფაზური განსხვავება π/2. მაშინ რხევის განტოლებებს აქვთ ფორმა

x=a cos ωt, y=b cos.

მაშინ, როცა x ღერძის გასწვრივ წერტილი ახერხებს ერთი უკიდურესი პოზიციიდან მეორეზე გადასვლას, y ღერძის გასწვრივ ნულოვანი პოზიციის დატოვება, ის ახერხებს მიაღწიოს ერთ უკიდურეს პოზიციას, შემდეგ მეორეს და დაბრუნდეს. მრუდის ხედი ნაჩვენებია ნახ. 1.7.13. მრუდი იგივე სიხშირის თანაფარდობით, მაგრამ ნულის ტოლი ფაზური სხვაობით ნაჩვენებია ნახ.1.7.14. დამატებული რხევების სიხშირეების თანაფარდობა შებრუნებულია კოორდინატთა ღერძების პარალელურად სწორი ხაზებით Lissajous ფიგურების გადაკვეთის წერტილების რაოდენობის შეფარდებასთან. მაშასადამე, Lissajous-ის ფიგურების გამოჩენით შეიძლება განისაზღვროს დამატებული რხევების სიხშირეების თანაფარდობა ან უცნობი სიხშირე. თუ ერთ-ერთი სიხშირე ცნობილია.

სურ.1.7.13

სურ.1.7.14

რაც უფრო ახლოს არის ერთიანობასთან რაციონალური ფრაქცია, რომელიც გამოხატავს ვიბრაციის სიხშირეების თანაფარდობას, მით უფრო რთულია მიღებული ლისაჯოს ფიგურები.

1.7.11. ტალღის გავრცელება ელასტიურ გარემოში

თუ ელასტიური (მყარი თხევადი ან აირისებრი) საშუალების რომელიმე ადგილას მისი ნაწილაკების ვიბრაცია აღგზნებულია, მაშინ ნაწილაკებს შორის ურთიერთქმედების გამო, ეს ვიბრაცია გავრცელდება გარემოში ნაწილაკიდან ნაწილაკზე გარკვეული სიჩქარით υ. სივრცეში ვიბრაციების გავრცელების პროცესს ე.წ ტალღა.

საშუალო ნაწილაკები, რომლებშიც ტალღა ვრცელდება, არ მონაწილეობენ ტალღის მიერ მთარგმნელობით მოძრაობაში, ისინი მხოლოდ ირხევიან თავიანთი წონასწორობის პოზიციების გარშემო.

ნაწილაკების რხევების მიმართულებიდან გამომდინარე, ტალღის გავრცელების მიმართულების მიმართ, არსებობს გრძივი და განივიტალღები. გრძივი ტალღის დროს, საშუალო ნაწილაკები ტალღის გავრცელების გასწვრივ ირხევა. განივი ტალღაში საშუალო ნაწილაკები ტალღის გავრცელების მიმართულების პერპენდიკულარული მიმართულებებით ირხევა. ელასტიური განივი ტალღები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ათვლის წინააღმდეგობის მქონე გარემოში. აქედან გამომდინარე, თხევადი და აირისებრი გარემოში შეიძლება მოხდეს მხოლოდ გრძივი ტალღები. მყარ გარემოში შესაძლებელია როგორც გრძივი, ისე განივი ტალღების გაჩენა.

ნახ. 1.7.12 გვიჩვენებს ნაწილაკების მოძრაობას განივი ტალღის გარემოში გავრცელებისას. რიცხვები 1, 2 და ა.შ აღნიშნავენ ნაწილაკებს, რომლებიც ჩამორჩებიან ერთმანეთს (¼ υT) ტოლი მანძილით, ე.ი. ტალღის მიერ გავლილი მანძილით ნაწილაკების რხევების პერიოდის მეოთხედში. ნულის სახით აღებულ მომენტში, ტალღამ, რომელიც ღერძის გასწვრივ მარცხნიდან მარჯვნივ გავრცელდა, მიაღწია ნაწილაკ 1-ს, რის შედეგადაც ნაწილაკმა დაიწყო წონასწორობის პოზიციიდან ზემოთ სვლა, თან მიათრევდა მომდევნო ნაწილაკებს. პერიოდის მეოთხედის შემდეგ, ნაწილაკი 1 აღწევს ნაწილაკ 2-ის უმაღლეს წონასწორობის პოზიციას. პერიოდის კიდევ ერთი მეოთხედის შემდეგ, პირველი ნაწილი გაივლის წონასწორობის პოზიციას, მოძრაობს მიმართულებით ზემოდან ქვემოდან, მეორე ნაწილაკი მიაღწევს ყველაზე ზედა ნაწილს. პოზიცია, და მესამე ნაწილაკი დაიწყებს წონასწორობის პოზიციიდან ზემოთ მოძრაობას. T-ის ტოლი დროის მომენტში პირველი ნაწილაკი დაასრულებს რხევის სრულ ციკლს და იქნება იმავე მოძრაობის მდგომარეობაში, როგორც საწყისი მომენტი. ტალღა იმ დროისთვის, როცა T, გაივლის გზას (υT), მიაღწევს მე-5 ნაწილაკს.

ნახ. 1.7.13 გვიჩვენებს ნაწილაკების მოძრაობას გრძივი ტალღის გარემოში გავრცელებისას. ყველა მოსაზრება განივი ტალღაში ნაწილაკების ქცევასთან დაკავშირებით ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ შემთხვევაში, ზევით და ქვევით გადაადგილებით ჩანაცვლებული გადაადგილებით მარჯვნივ და მარცხნივ.

ნახატიდან ჩანს, რომ გარემოში გრძივი ტალღის გავრცელებისას იქმნება მონაცვლეობითი კონდენსაციები და ნაწილაკების იშვიათობა (კონდენსაციის ადგილები ფიგურაში შემოხაზულია წერტილოვანი ხაზით), მოძრაობს ტალღის გავრცელების მიმართულებით. სიჩქარით υ.

ბრინჯი. 1.7.15

ბრინჯი. 1.7.16

ნახ. 1.7.15 და 1.7.16 გვიჩვენებს ნაწილაკების რხევებს, რომელთა პოზიციები და წონასწორობა დევს ღერძზე x.სინამდვილეში, არა მხოლოდ ნაწილაკები მოძრაობენ ღერძის გასწვრივ x,მაგრამ გარკვეულ მოცულობაში ჩასმული ნაწილაკების კოლექცია. რხევების წყაროებიდან გავრცელებული, ტალღის პროცესი ფარავს სივრცის უფრო და უფრო მეტ ნაწილს, წერტილების ლოკუსი, რომელსაც რხევები აღწევს t დროისთვის, ე.წ. ტალღის ფრონტი(ან ტალღის წინ). ტალღის ფრონტი არის ზედაპირი, რომელიც გამოყოფს სივრცის იმ ნაწილს, რომელიც უკვე ჩართულია ტალღის პროცესში იმ არედან, რომელშიც რხევები ჯერ არ წარმოქმნილა.

იმავე ფაზაში რხევადი წერტილების ლოკუსი ეწოდება ტალღის ზედაპირი . ტალღის ზედაპირის დახატვა შესაძლებელია ტალღის პროცესით დაფარული სივრცის ნებისმიერ წერტილში. შესაბამისად, არსებობს ტალღის ზედაპირის უსასრულო რაოდენობა, მაშინ როცა ნებისმიერ დროს არის მხოლოდ ერთი ტალღის ფრონტი. ტალღის ზედაპირები რჩება სტაციონარული (ისინი გადიან იმავე ფაზაში რხევადი ნაწილაკების წონასწორობის პოზიციებზე. ). ტალღის ფრონტი მუდმივად მოძრაობს.

ტალღის ზედაპირი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ფორმის. უმარტივეს შემთხვევაში, მათ აქვთ სიბრტყის ან სფეროს ფორმა. შესაბამისად, ტალღას ამ შემთხვევებში ბრტყელი ან სფერული ეწოდება. სიბრტყე ტალღაში ტალღის ზედაპირები არის სიბრტყეების ერთობლიობა ერთმანეთის პარალელურად, სფერულ ტალღაში - კონცენტრული სფეროების ერთობლიობა.

ბრინჯი. 1.7.17

მიეცით თვითმფრინავის ტალღა გავრცელდეს ღერძის გასწვრივ x. მაშინ სფეროს ყველა წერტილს, პოზიციებს, რომელთა წონასწორობას აქვს იგივე კოორდინატი x(მაგრამ განსხვავება კოორდინატთა მნიშვნელობებში წდა ზ),რხევა იმავე ფაზაში.

ნახ. 1.7.17 გვიჩვენებს მრუდს, რომელიც იძლევა ოფსეტს ξ განსხვავებული წერტილების წონასწორობის პოზიციიდან xდროის რაღაც მომენტში. ეს ნახატი არ უნდა იქნას მიღებული, როგორც ტალღის ხილული გამოსახულება. სურათზე ნაჩვენებია ფუნქციების გრაფიკი ξ (x, t)ზოგიერთი დაფიქსირდა დროის წერტილი ტ.ასეთი გრაფიკი შეიძლება აშენდეს როგორც გრძივი, ასევე განივი ტალღებისთვის.

მანძილი λ, მოკლე ტალღისთვის, რომელიც ვრცელდება საშუალო ნაწილაკების რხევის პერიოდის ტოლ დროს, ე.წ. ტალღის სიგრძე. აშკარაა რომ

სადაც υ არის ტალღის სიჩქარე, T არის რხევის პერიოდი. ტალღის სიგრძე ასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მანძილი გარემოს უახლოეს წერტილებს შორის, რხევადი ფაზის სხვაობით ტოლი 2π (იხ. ნახ. 1.7.14).

(1.7.45) T-ის 1/ν მიმართებაში ჩანაცვლებით (ν არის რხევის სიხშირე), მივიღებთ

ეს ფორმულა ასევე შეიძლება მივიღოთ შემდეგი მოსაზრებებიდან. ერთ წამში ტალღის წყარო ახორციელებს ν რხევებს, გარემოში ყოველი რხევის დროს წარმოქმნის ტალღის ერთ „ღერძს“ და ერთ „ღერღს“. სანამ წყარო დაასრულებს ν -ე რხევას, პირველ „ქედს“ ექნება დრო, გაიაროს υ გზა. შესაბამისად, ტალღის ν „ღერძები“ და „ღრმულები“ ​​უნდა მოერგოს υ სიგრძეს.

1.7.12. სიბრტყის ტალღის განტოლება

ტალღის განტოლება არის გამოხატულება, რომელიც იძლევა რხევადი ნაწილაკის გადაადგილებას მისი კოორდინატების ფუნქციით. x, y, z და დრო ტ :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(იგულისხმება ნაწილაკების წონასწორული პოზიციის კოორდინატები). ეს ფუნქცია პერიოდული უნდა იყოს დროის მიხედვით ტ და კოორდინატებთან შედარებით x, y, z. . დროში პერიოდულობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ წერტილები ერთმანეთისგან დაშორებულია მანძილზე λ , მერყეობენ იმავე გზით.

იპოვნეთ ფუნქციის ტიპი ξ სიბრტყე ტალღის შემთხვევაში, ვივარაუდოთ, რომ რხევები ჰარმონიულია. გასამარტივებლად, ჩვენ მივმართავთ კოორდინატთა ღერძებს ისე, რომ ღერძი x ემთხვევა ტალღის გავრცელების მიმართულებას. მაშინ ტალღის ზედაპირი ღერძის პერპენდიკულარული იქნება x და რადგან ტალღის ზედაპირის ყველა წერტილი თანაბრად ირხევა, გადაადგილება ξ დამოკიდებული იქნება მხოლოდ x და ტ:

ξ = ξ (x, t) .

სურ.1.7.18

დაუშვით სიბრტყეში მდებარე წერტილების რხევები x = 0 (სურ. 1.7.18), აქვს ფორმა

მოდით ვიპოვოთ სიბრტყეში წერტილების რხევის ტიპი, რომელიც შეესაბამება თვითნებურ მნიშვნელობას x . თვითმფრინავიდან გასასვლელად x=0 ამ თვითმფრინავს ტალღას დრო სჭირდება ( υ არის ტალღის გავრცელების სიჩქარე). შესაბამისად, სიბრტყეში მყოფი ნაწილაკების რხევები x , დროში ჩამორჩება τ თვითმფრინავში ნაწილაკების ვიბრაციებისგან x = 0 , ე.ი. დაემსგავსება

Ისე, სიბრტყის ტალღის განტოლება(გრძივი და განივი), გამრავლება ღერძის მიმართულებით x , შემდეგნაირად:

ეს გამოთქმა განსაზღვრავს ურთიერთობას დროს t და ის ადგილი x , რომელშიც ფაზას აქვს ფიქსირებული მნიშვნელობა. მიღებული dx/dt მნიშვნელობა იძლევა სიჩქარეს, რომლითაც მოძრაობს მოცემული ფაზის მნიშვნელობა. გამონათქვამის (1.7.48) დიფერენცირებით ვიღებთ

კლების მიმართულებით გავრცელებული ტალღის განტოლება x :

ფორმულის (1.7.53) გამოყვანისას ვივარაუდეთ, რომ რხევის ამპლიტუდა არ არის დამოკიდებული x . სიბრტყე ტალღისთვის ეს შეინიშნება, როდესაც ტალღის ენერგია არ შეიწოვება გარემოს მიერ. ენერგიის შთამნთქმელ გარემოში გავრცელებისას ტალღის ინტენსივობა თანდათან მცირდება რხევების წყაროდან დაშორებით - შეინიშნება ტალღის შესუსტება. გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ ერთგვაროვან გარემოში ასეთი აორთქლება ხდება ექსპონენციალური კანონის მიხედვით:

შესაბამისად სიბრტყის ტალღის განტოლება, დემპინგის გათვალისწინებით, აქვს შემდეგი ფორმა:

(1.7.54)

(a 0 არის ამპლიტუდა x = 0 სიბრტყის წერტილებში).