Цифры в двоичной системе счисления. Системы счисления. Перевод чисел

Запись чисел в десятичной системе счисления.

Сравнение чисел.

Сложение.

Вычитание.

Умножение.

1. Из всех позиционных систем счисления в настоящее время повсеместно используется десятичная система. Поэтому на записи и чтении чисел в этой системе остановимся более подробно.

Определение 2. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде

где 0 ≤ а i ≤ 9 (i = 0, 1, ..., п ), а п ≠ 0.

Числа 1, 10, 10 2 , 10 3 , ..., 10 п называются здесь разрядными единицами, соответственно, первого, второго, третьего и т.д. разрядов.

Три первых разряда в записи числа соединяются в одну группу и называются первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Три следующих разряда – четвертый, пятый и шестой – образуют второй класс, или класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем идет третий класс – класс миллионов. Он также состоит из трех разрядов: седьмого, восьмого, девятого. В него входят миллионы, десятки миллионов и сотни миллионов.

Последующие три разряда – десятый, одиннадцатый и двенадцатый – образуют четвертый класс – класс миллиардов, состоящий из единиц миллиардов, десятков миллиардов и сотен миллиардов.

Следующие три разряда образуют новый класс, и так далее. Единица пятого класса называется триллионом (1 триллион = 1000 миллиардов). Единицы шестого, седьмого, восьмого и т.д. классов (каждая в 1000 раз больше предшествующей) называются, coответственно, квадриллионом, квинтиллионом, секстиллионом, септиллионом, октиллионом и т.д.

Выделение классов создает удобства не только для записи, но и для прочтения чисел. Даются названия первым десяти числам, а затем с помощью небольшого набора новых слов и правил десятичной записи образуются наименования следующих чисел.

Названия чисел второго десятка образуются из соединения первых десяти названий и слова дцать (от слова десять ): одиннадцать – один на десять; двенадцать – два на десять; тринадцать – три на десять и т.д. Слово двадцать обозначает два десятка.

Названия чисел третьего десятка образуются из слова двадцать и названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два, двадцать три и т.д.

Названия чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков образуются по тому же самому правилу, но с добавлением трех новых слов: сорок, девяносто и сто.

Названия чисел второй сотни составляются из слова сто и названий чисел первой сотни: сто один, сто два и т.д., сто девяносто девять. Две сотни кратко называются двести.

Аналогично отсчитываются последующие сотни. Три сотни – триста , четыре сотни – четыреста, пять сотен – пятьсот и т.д. до десяти сотен. Для десяти сотен используется новое слово тысяча . Тысяча тысяч имеет особое название миллион. Тысяча миллионов называется миллиардом (или биллионом ).

Для названия всех натуральных чисел в пределах миллиарда оказалось достаточно всего 16-ти различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Эти слова являются основными, и все названия остальных чисел до миллиарда получаются из них по описанным выше правилам.

Десятичная запись чисел позволяет достаточно просто решать вопросы, связанные со сравнением натуральных чисел, а также с их сложением, вычитанием, умножением и делением. Поскольку все эти операции изучаются в начальном курсе математики, остановимся на их теоретическом обосновании более подробно.

2. Алгоритм сравнения натуральных чисел вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть натуральные числа х и у записаны в десятичной системе счисления:

Число x меньше числа у , если выполнено одно из условий:

а) п < m ;

б) п = т , но а п < b п ;

в) п = m , а п = b b , ..., а i = b i , но а i -1 < b i -1 .

Доказательство. а) Пусть п < т. Это означает, что

, или

. Кроме того,х < 10 n +1 и у ≥ 10 m . Тогда имеем цепочку неравенств х < 10 n +1 ≤ 10 m ≤ y , из которой следует, что х < у.

б) Пусть п = m , но а п < b п . Тогда а п + 1 ≤ b n . Умножая обе части последнего неравенства на 10 п , получим

. Кроме того,

и

. Следовательно, можем записать цепочку неравенств, из которой опять-таки следует, чтох < у .

Доказательство теоремы для случая в) проводится аналогично.

3. Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления. Сначала рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково. Пусть

Тогда, применяя коммутативный и ассоциативный законы сложения, а также дистрибутивный закон умножения относительно сложения, можем записать:

Последнюю формулу нельзя рассматривать как десятичное представление числа х + у , поскольку коэффициенты

(i = 0, 1, 2, …, n ) могут быть больше 9, а значит, операцию сложения нельзя считать законченной. Для завершения сложения выберем наименьший номер i , для которого

. Из того, что 0 ≤а i ≤ 9 и 0 ≤ b i ≤ 9, следует неравенство 0 ≤ а i + b i ≤ 18.

Это означает, что сумму

всегда можно представить в виде

, где 0 ≤с i ≤ 9. Тогда , и значит, в равенстве (9) слагаемыемогут быть заменены на.

После этого рассматриваем коэффициенты . Обозначим черезj наименьший номер, для которого

(j = i + 1, i + 2,..., n ), и повторим описанную выше процедуру. Продолжая этот процесс, не более чем через п шагов мы придем к одному из равенств:

каждое из которых является десятичной записью натурального числа x + y .

Общий случай, когда в десятичной записи чисел разное количество знаков, легко сводится к рассмотренному дописыванием впереди числа нужного количества нулей.

Из описанного процесса вытекает

Алгоритм сложения многозначных натуральных чисел, представленных в десятичной системе счисления.

1. Записываем второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складываем однозначные числа разряда единиц. Если их сумма меньше десяти, то записываем ее в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если же сумма однозначных чисел в разряде единиц больше или равна 10, то представляем ее в виде 10 + с 0 , где с 0 – однозначное число, затем записываем с 0 в разряд единиц ответа и прибавляем единицу к числу десятков.

4. Повторяем те же действия с десятками, затем – с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда будут сложены однозначные числа старших разрядов.

4. Пусть даны два числа – х и у :

где y < x . Используя свойства операции вычитания, можем записать:

Если

(i = 0, 1, 2, …, n ), то последнее равенство задает алгоритм вычитания.

Если же

для некоторых номеровi , то берем наименьшее i , для которого это условие выполняется. Кроме того, предположим, что , но

(k > i ). Далее воспользуемся равенством:

Справедливость равенства (11) легко устанавливается приведением правой части к виду левой.

Используя равенство (11), представление (10) разности x – y можно переписать в следующем виде:

В последнем равенстве все коэффициенты с индексом, меньшим k (будем обозначать их c j , j = k – 1, …, 1, 0), при соответствующих степенях 10 удовлетворяют неравенствам: 0 ≤ с j ≤ 9, j = k – 1, ...,1, 0.

Применяя аналогичные преобразования к коэффициентам с номерами, большими или равными k , через п шагов придем к записи равенства (10) в виде:

0 ≤ с i ≤ 9, i = 0, 1, ..., п .

Из вышеизложенного вытекает

Алгоритм вычитания многозначных натуральных чисел, представленных в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Вычитание начинаем с разряда единиц. Если число в разряде единиц вычитаемого не превосходит числа в разряде единиц уменьшаемого, то производим вычитание, а затем переходим к следующему разряду.

3. Если же число в разряде единиц вычитаемого превосходит число в разряде единиц уменьшаемого, то занимаем единицу в разряде десятков, увеличивая тем самым число единиц на 10. После этого производим вычитание и переходим к следующему разряду.

4. Если в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого записаны нули, то занимаем единицу в первом, отличном от нуля, разряде уменьшаемого, увеличивая тем самым все младшие разряды до единиц на 9, а число разряда единиц – на 10. После этого производим вычитание и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Процесс вычитания заканчивается, когда будет произведено вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

5. Вывод правила умножения многозначных натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, разобьем на несколько этапов: умножение многозначного числа на однозначное; умножение многозначного числа на числа вида 10 k ; умножение многозначного числа на числа вида

, где у – однозначное число; умножение многозначного числа на многозначное. Рассмотрим последовательно каждый из этих этапов. Пусть

и у – однозначное число. Тогда

Теперь, используя таблицу умножения, заменим все произведения

(i = 0, 1, ..., п ) в последнем равенстве соответствующими значениями

, где 0 ≤с i ≤ 9. В результате получаем равенство:

Если в последнем выражении все суммы

(i = 0, 1, ..., п ) удовлетворяют условию 0 ≤ с i + b i ≤ 9, то его можно считать десятичной записью числа х · у. Если же для некоторых сумм выполняются неравенства с i + b i ≥ 10, то, представляя их в виде с i + b i = 10 + d i , где 0 ≤ d i ≤ 9, записывая d i в соответствующем разряде и прибавляя единицу к следующему разряду, получим десятичную запись числа х · у .

Покажем, что умножение на числа вида 10 k сводится к приписыванию k нулей к десятичной записи числа х.

Действительно,

Последнее выражение является десятичной записью числа

.

Рассматривая умножение многозначных чисел на числа вида

, гдеу – однозначное число, замечаем, что умножение cводится к последовательному умножению на однозначное число у и на число 10 k . Оба эти приема описаны выше.

Остановимся теперь на умножении многозначного числа на многозначное. Пусть х и у – многозначные числа и

Используя дистрибутивный закон умножения относительно сложения, а также ассоциативный закон умножения целых неотрицательных чисел, можем записать:

Из последнего равенства очевидно, что умножение многозначного числа на многозначное сводится к последовательному умножению многозначного числа х на однозначные числа b m , b m -1 , …, b 1 , b 0 , а затем – на числа 10 m , 10 m -1 , …, 10, 1. В результате получаем слагаемые, сумма которых является десятичной записью числа х · у .

В общем случае

Алгоритм умножения многозначного числа

на многозначное число

можно сформулировать так:

1. Записываем множитель у под множителем х.

2. Умножаем число х на однозначное число b 0 , записанное во втором разряде множителя у. Произведение х · b 0 записываем под числом у.

3. Умножаем число х на однозначное число b 1 , записанное во втором разряде множителя у. Произведение х · b 1 записываем в следующей строке со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х · b 1 на 10.

4. Продолжаем описанный процесс вычислений до тех пор, пока не будет вычислено произведение х · b т .

5. Полученные m + 1 произведения складываем.

6. Теоретически процесс деления целого неотрицательного числа на натуральное опирается на деление с остатком. Поскольку выполнение действия деления многозначного числа на многозначное в общем виде сопровождается громоздкими вычислениями и связанными с этим трудностями, вывод алгоритма деления рассмотрим на конкретных примерах.

Рассмотрим сначала деление на однозначное число. Деление однозначного и двузначного чисел на однозначное выполняется с помощью таблицы умножения и труда не вызывает. Пусть требуется разделить трехзначное число 356 на 6. Поскольку 60 < 356 < 600, то неполное частное q заключено между числами 10 и 100 и, следовательно, является двузначным числом. Используя таблицу умножения, можно подобрать более точные приближения к числу: 356: 6 · 50 < 356 < 6 · 60 или 300 < 356 < 360. Отсюда следует, что неполное частное q заключено между числами 50 и 60, то есть содержит 5 десятков и имеет вид q = 5 · 10 + a 0 . Но тогда должно выполняться неравенство

(50 + а 0) · 6 ≤ 356 < (50 + а 0 + 1) · 6,

Тема занятия: Системы счисления. Перевод чисел.

Цели занятия:
формирование знаний о возникновении и развитии способов записи целых неотрицательных чисел; формирование знаний о способах записи чисел и умение применять правила перевода в различных позиционных системах счисления, в том числе с использованием нестандартных заданий; развитие умений анализировать,сравнивать; воспитание умения слушать и анализировать ответ сокурсника, умение преодолевать познавательные затруднения.
Оборудование: презентация «История системы счисления»(подготовленные учащимися), презентация «Системы счисления», «Тест», мультимедийный проектор, раздаточный материал: таблица «Степени числа: 2;8;16», «Система счисления».План занятия
1.Организационный момент.
Эпиграф: «Все есть число» - говорили Пифагорийцы.
Мы каждый день имеем дело с разными системами счисления: 60 – система счисления для измерения времени, 24 - количество часов в сутках, 7 - дни недели, 12 – месяцы, 2 – компьютерная система счисления, 10 – арабские цифры и т.д.; Нас окружает множество чисел…
Сообщение целей занятия.
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад?
Сообщения учащихся: «История систем счисления».
3. Объяснение нового материала
Для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления.
А что такое система счисления?
Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.
Система счисления: даёт представления множества чисел; даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление); отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел. Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит.
Числа: 123, 45678, 1010011, CXL
Цифры: – символы, при помощи которых записывается число. 0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Разряд - позиция цифры в числе
5 4 3 2 1 0 разряд
9 5 6 7 8 4
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Основание системы счисления – это количество цифр, используемых в данной системе счисления.
Базис системы счисления – последовательность степеней основания.
10СС: 10^n,10^n-1,...,10^5,10^4, 10^3 10^2,10^1,10^0
2CC: 2^n,2^n-1,...,2^5,2^4, 2^3,2^2,2^1,2^0
8СС: 8^n,8^n-1,...,8^5,8^4, 8^3 ,8^2,8^1,8^0
16СС: 16^n,16^n-1,...,16^5,16^4, 16^3,16^2,16^1,16^0
Типы систем счисления: позиционные, непозиционные.
Наиболее распространёнными в ХХI веке являются позиционные системы счисления.
Позиционные – значение цифры зависит от её места (позиции) в записи числа.
Позиционные: шестидесятеричная, двоичная, шестнадцатеричная, десятичная …
В числе 555 первая 5 стоит в позиции сотен, вторая 5 – в позиции десятков, третья 5 – в позиции единицы (555=500+50+5).
В программировании широкое распространение получили позиционные системы с основанием 8 и 16.В восьмеричной системе счисления применяются 8 цифр-0,1,2,3,4,5,6,7.В шестнадцатеричной системе счисления недостающие цифры заменяют буквами латинского алфавита:А=10,В=11,С=12,D=13,Е=14,F=15.
Непозиционные – значение цифры не зависит от её места (позиции) в записи числа.
Непозиционные: Единичная (унарная) система, римская система, Древнеегипетская десятичная система, алфавитная система счисления.
Римская система счисления
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Алгоритм перевода из 10СС в другие позиционные системы счисления:
Разделить десятичное число на основание системы счисления. Получится частное и остаток.
Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим основания новой системы счисления.
Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет записью в новой системе счисления.
121(10СС) = 1111001(2СС)
571(10СС) = 1073(8СС)
7467(10СС) = 1 13 2 11(16СС)= 1D2В(16СС)
Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.
Записать данное число в общем виде:
АВСр=А р^2+В р^1+С р^0
Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в 10СС.
10011(2СС)=1 2^4+0 2^3+0 2^2+1 2^1+1 2^0=19(10СС)
144(8СС)=1 8^2+4 8^1+4 8^0=64+32+4=100(10СС)
1С5(16СС)=1 8^2+4 8^1+4 8^0=64+32+4=453(10СС)
Перевод из 2ССв 8СС.
Разбиваем данное число на триады (на группы по три цифры). По таблице смотрим соответствие двоичной и восьмеричной систем счисления.
1 100 101 011=1453
Перевод из 2ССв 16СС.
Разбиваем данное число на тетрады (на группы по четыре цифры). По таблице смотрим соответствие двоичной и шестнадцатеричной систем счисления.
11 0010 1011=32В
Операции с числами.
Пример. Пусть р = 5. Вычислить 3445 + 2425.
Решение.
1) 4 + 2 = 6 = 11(в 5СС: 1 записываем в результат и один "десяток" добавляем к "десяткам"
одного из слагаемых.
2) 4 + 4 +1 = 9 = 14: 4 записываем в результат и одну "сотню" добавляем к "сотням"
одного из слагаемых.
3).3 + 2 + 1 =6 = 11: записываем в результат.
Получаем: 344 + 242 = 1141.
Пример. р = 2
10110 +111011=1010001
Пример.р = 2
110111+101101=1100100
4.Закрепление нового материала.
Задание.
Перевести:
А)10 000 (2СС в 10СС)
В)110010(2СС в 10СС)
С)3710 (8СС в 10СС)
Д)151 (16СС в 10СС)
Задание.
Найти сумму:
101101+11111; 10111+101110.
Задание.
Прочитайте шуточное стихотворение А. Н. Старикова «Необыкновенная девочка» и попробуйте разгадать загадку поэта. Для этого выпишите упомянутые в стихотворении числа и переведите их в десятичную систему счисления.
Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила -
Всё это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять тёмно-синих глаз
Рассматривали мир привычно...
Но станет всё совсем обычным,
Когда поймёте наш рассказ.
Задание.
В какой системе счисления верно равенство 10 + 10 = 10 10?
5.Контроль знаний.Тест.
1.В какой системе счисления представлена информация,хранящаяся в компьютере?
А.в троичной Б.в десятичной В.в двоичной Г.в двенадцатеричной
2.Преимущество двоичной системы счисления состоит в том,что:
А.двоичный код позволяет экономить память компьютера
Б.электронные элементы с двумя состояниями наиболее просты в конструктивном исполнении
В. электронные элементы с двумя состояниями потребляют меньше электроэнергии
Г.двоичный код не вызывает сбоя компьютера
3.Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной:
А.количеством операций над числом в секунду Б.глубиной вложенности операций
В.количеством цифр,используемых для записи числа Г.степенью компьютеризации
4.Какое количество цифр используется в троичной системе счисления?
А.3 Б.11 В.10 Г.2
5.В шестнадцатеричной системе счисления символ F используется для обозначения:
А.конца файла Б.числа 16 В.конца строки Г.числа 15
6.Переведите из двоичной системы счисления в десятичную число 101010101
А.361 Б.564 В.455 Г.341
7.Переведите из десятичной системы счисления в двоичную число 216
А.11001100 Б.11011000 В.11100000 Г.11001000
6.Подведение итогов урока.
Фронтальный опрос по новому материалу:
Что такое система счисления?
Какие системы счисления называются позиционными?
Какие системы счисления называются непозиционными?
Объяснить алгоритм перевода чисел из двоичной системы в десятичную.
Объяснить алгоритм перевода чисел из десятичной системы в двоичную.
Объяснить алгоритм перевода чисел из любой позиционной системы в десятичную.
Объяснить алгоритм перевода чисел из десятичной системы в любую другую позиционную.
7.Рефлексия.
8.Домашнее задание.
1.Перевести из 2 системы в 10СС: 111010011; 100011101; 1110111001
2.Переведите из 10 СС в 2СС, 8СС и 16СС следующие числа: 168, 1042, 1517.
3.Записать числа, данные в 2СС в 8СС: (111001101); (101010101).
4.Закодируйте любое крылатое выражение, используя представление номеров букв русского алфавита в различных системах счисления.
Литература:
1.Глав. ред.Е.Хлебалина,Универсальная школьная энциклопедия,Аванта+,Москва,2003
2.Берман Н.Г. "Счет и число". ОГИЗ, Москва 1947.
3.Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы, М.: Энергоатомиздат, 1985.
4.Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987.

Запись чисел в десятичной системе счисления.

Сравнение чисел.

Сложение.

Вычитание.

Умножение.

Определение 2. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде

где 0 ≤ а i ≤ 9 (i = 0, 1, ..., п ), а п ≠ 0.

2. Алгоритм сравнения натуральных чисел вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть натуральные числа х и у записаны в десятичной системе счисления:

Число x меньше числа у , если выполнено одно из условий:

а) п < m ;

б) п = т , но а п < b п ;

в) п = m , а п = b b , ..., а i = b i , но а i -1 < b i -1 .

Доказательство теоремы для случая в) проводится аналогично.

каждое из которых является десятичной записью натурального числа x + y .

Из описанного процесса вытекает

Алгоритм сложения многозначных натуральных чисел, представленных в десятичной системе счисления.

1. Записываем второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

4. Пусть даны два числа – х и у :

где y < x . Используя свойства операции вычитания, можем записать:

Если

(i = 0, 1, 2, …, n ), то последнее равенство задает алгоритм вычитания.

Справедливость равенства (11) легко устанавливается приведением правой части к виду левой.

Используя равенство (11), представление (10) разности x – y можно переписать в следующем виде:

0 ≤ с i ≤ 9, i = 0, 1, ..., п .

Из вышеизложенного вытекает

Алгоритм вычитания многозначных натуральных чисел, представленных в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Процесс вычитания заканчивается, когда будет произведено вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

и у – однозначное число. Тогда

Покажем, что умножение на числа вида 10 k сводится к приписыванию k нулей к десятичной записи числа х.

Действительно,

Последнее выражение является десятичной записью числа

.

Остановимся теперь на умножении многозначного числа на многозначное. Пусть х и у – многозначные числа и

В общем случае

Алгоритм умножения многозначного числа

на многозначное число

можно сформулировать так:

1. Записываем множитель у под множителем х.

4. Продолжаем описанный процесс вычислений до тех пор, пока не будет вычислено произведение х · b т .

5. Полученные m + 1 произведения складываем.

(50 + а 0) · 6 ≤ 356 < (50 + а 0 + 1) · 6,

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел используется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа З ×10 3 + 7 ×10 2 + 4×10 + 5.

Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х= a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +а 1· 10 + а 0, где коэффициенты a n , a n -1, …. , а 1, а 0, принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а п ± 0.

Сумму a n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... +а 1· 10 + а 0 в краткой форме принято записывать так:

а п а n -1 ...а 1 а 0 .

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде:

х= , где коэффициенты a n , a n -1, …. , а 1, а 0 , принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а п ± 0, и такая запись единственна.

Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 ,..., 10",... найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е. такую, что 10 n < х < 10 n +1 , что всегда можно сделать.

Разделим (с остатком) число х на 10 n . Если частное этих чисел обозначить через a n , а остаток через х п, то х = a n ·10 n + х п, где а п < 10 и х п < 10 n . Далее, разделив х п на 10 n -1 , получим: х п = a n -1 ·10 n -1 + х n -1 откуда х= a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + х n -1

где a n -1 < 10 и х n -1 < 10 n -1 . Продолжая деление, дойдем до равенства х 2 = а 1· 10 + х 1. Положив х 1 = а 0 , будем иметь х = a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +а 1· 10 + а 0 , т.е. число х будет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числа х в десятичной системе счисления.

Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число п в равенстве (1) однозначно определяется условием 10 n < х < 10 n +1 . После того как п определено, коэффициент а п находят из условия: a n ·10 n < х < (а п + 1) ·10 n . Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты a n -1, …. , а 1, а 0 .

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х= a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +а 1· 10 + а 0 ,

у = ,

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) п < т;

б)п = т,но а п < b п

в)п = т, а п = b п ... ,а к = b к, но а к -1 ., < b к -1/

Доказательство не приводится.

Например, если х = 345, а у = 4678, то х < у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х < у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х = 3456, а у = 3467 , то х < у, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в числе х меньше, чем в числе у.

Если натуральное число х представлено в виде х= a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +а 1· 10 + а 0 , то числа 1, 10, 10 2 , ..., 10 n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, ..., п + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 - основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс - класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это постигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде

1∙10 + а 0 образуются из соединения первых десяти названий и несколько измененного слова десять («дцать»): одиннадцать - один на десять, двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.

Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 2∙10 + а 0 ) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести». Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион. Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число - тысяча миллионов - носит особое название миллиард, или биллион. В вычислениях миллион принято записывать в виде 10 6 , миллиард - 10 9 . По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион - 10 12 , квадриллион - 10 15 и т.д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000 + 700 + 40 + 5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.

Упражнения

1. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:

а) 4725; 6)3370; в) 10255.

2. Какие числа представлены следующими суммами:

а) 6∙10 3 + 5∙10 + 8; б) 7∙10 3 + 1 ∙ 10;

в)8∙10 4 + 10 3 +3∙10 + 1; г) 10 5 + 10 2 ?

3. Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в которых все цифры различны.

4. Решите арифметическим методом задачи из начального курса математики:

а) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.

б) Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу. Цифра десятков обозначает число в 4 раза меньшее, чем цифра единиц. Какое это двузначное число?

Какие некорректности допущены в формулировках данных задач? Следует ли их исправлять?

5. Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше предыдущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?

6. Младшим школьникам предложена задача: «Запиши 5 четырехзначных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще всевозможных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 5, 0 и 6гак, чтобы одна и та же цифра не повторялась в записи числа?

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например,

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341 + 7238 = (3∙10 2 + 4∙10 + 1) + (7∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 8). Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3∙10 2 + 4∙10 + 1 + 7∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7∙10 3 + 3∙10 2 + 2∙10 2 + 4∙10 + 3∙10 + 1+8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7∙10 3 + (3∙10 2 + 2∙10 2) + (4∙10 + 3∙10) + (1 + 8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 10 2 , а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7∙10 3 + 5∙10 2 + 7∙10 + 9.

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

Способ записи чисел в десятичной системе счисления;

Свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

Дистрибутивность умножения относительно сложения;

Таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7∙10 2 + 4∙10 + 8) + (4∙10 2 + 3∙10 + 6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7 + 4) ∙10 2 + (4 + 3) ∙10 + (8 + 6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7 + 4, 8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 1∙10 + 4:

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем.Полученное выражение к виду: (7 + 4) ∙10 2 + (4 + 3 + 1) ∙10 + 4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при 1 сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7 + 4 в виде 1∙10+ 1, получаем: (1 ∙ 10 + 1)10 2 + 8∙10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно. 748+436= 1184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа:

х= a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +а 1· 10 + а 0 ,

у = b n ·10 n + b n -1 ·10 n -1 + ... +b 1· 10 + b 0 ,

х + у =(a n + b n ) ·10 n + (a n-1 + b n-1 ) ·10 n-1 + ... + (а 1 +b 1 ) · 10 + ( а 0 + b 0 )

Преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности

сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения.

Лишь в случае, когда все суммы aк + bк не превосходят 9, операцию сложения можно
считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее к, для которого а к + b к > 10. Если а к + b к > 10, то из того, что 0 <а к < 9 и 0 < b к < 9, следует неравенство 0 < а к + b к < 18 и поэтому а к + b к можно представить и виде а к + b к = 10 + с к, где 0 < с к < 9. Но тогда (а к + b к) ·10 к = (10 + с к) · 10 к = 10 к +1 + с к · 10 и т.д.

В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных и десятичной системе счисления, формулируют так:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разпряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а о + Ь о ~ 1 10 + с 0 , где с 0 - однозначное число; записывают с () в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Упражнения

1. На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

2. При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в начальной школе последовательно рассматриваются такие случаи сложения:
231 + 342; 425 + 135; 237 + 526; 529 + 299. Каковы особенности каждого из этих случаев?

3. Вычислите устно значение выражение; использованный прием обоснуйте:

а) 2746 + 7254 + 9876; б) 7238 + 8978 + 2768;

в) (4729 + 8473) + 5271; г) 4232 + 7419 + 5768 + 2591;

д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643).

4. Какие рассуждения школьников вы будете считать правильными при выполнении задания.

а) Можно ли утверждать, что значения сумм в каждом столбике одинаковы:

2459+ 121 53075 + 2306

2458+ 122 53076 + 2305

2457+123 53006 + 2375

2456+ 124 53306 + 2075

б) Можно ли записать значения этих сумм в порядке возрастания:

4583 + 321 4593 + 311 4573 + 331