Число представляет собой самое основное понятие в математике. В то же время оно является довольно абстрактным, как и любая другая математическая величина. Как объяснить ребенку суть чисел?

Вам понадобится

• - дидактические игры: домино, кубики, лото и т.д.;
• - счетные палочки;
• - часы;
• - термометр.

Инструкция

Положительные числа в пределах десяти начинайте учить ребенка в возрасте от 1 года до 3 лет. Это можно делать, только играя, как бы «между делом» на прогулке и дома, обучая счету. Мышление детей в раннем возрасте наглядно-действенное. Ощупывая предметы, совершая с ними какие-то действия, ребенок постигает мир. Используйте этот период, чтобы занятие проходило непринужденно и интересно. Продвигайтесь от простого к сложному, в зависимости от усвоенного ребенком значения.

Пересчитывайте предметы вокруг в пределах трех, пяти, десяти – начиная от ступенек в детском саду и заканчивая количеством вымытых кружек. Заодно приучайте малыша к понятиям: больше, меньше, много, мало, один и несколько. Давайте ребенку небольшие поручения, связанные со счетом: «Принеси мне, пожалуйста, 4 карандаша». Или: «Нарисуй мне 3 медведей». Рассматривая картинки, фиксируйте внимание ребенка на количестве изображенных объектов. Заодно показывайте ребенку цифры, которые соответствуют тому или иному числу.

Совместные увлекательные и поучительные занятия родителей с малышом будут способствовать лучшему представлению о числах. Ребенок под руководством взрослого даже в раннем возрасте способен производить с числами элементарные математические действия: сложение и вычитание.

У детей дошкольного возраста наглядно-образное мышление. Поэтому все, что малыш изучает, его должно привлечь визуально. С этой целью приобретайте различные дидактические игры: домино, кубики, лото и т.д. Можно изготавливать своими руками геометрические фигуры разных цветов, картинки. Очень помогают в понимании чисел настольные игры с фишками и игровым полем. Они приучают детей не только правильному счету, но и внимательности. Там надо считать, сколько шагов надо сделать фишкой и выполнять небольшие задания: пропустить ход и т.д.

Также можно использовать тетради в клеточку. Задавайте малышу словесное указание: прочерти 2 клеточки вправо, поднимись на три клетки наверх. Или нарисуйте ему готовый узор, который надо в точности повторить. При этом акцентируйте внимание ребенка на количестве клеток в каждом элементе орнамента. Рисуя по клеточкам, малыш заодно учится считать и тренирует мелкую моторику пальцев рук. Все эти навыки очень помогают детям при поступлении в школу.

В старшем дошкольном возрасте 6-7 лет у детей формируются основы логического мышления. Счетные палочки являются здесь практически незаменимым материалом. При помощи них можно придумать множество игр. К примеру, попросить малыша сложить квадрат из 4 или из 8 палочек. Затем дайте задание пристроить к одной из сторон треугольник, прибавив заданное число палочек. Когда маленький исследователь освоится с числами в пределах десяти, то счетные палочки помогут ему понять, сколько десятков содержит в себе число 100, что значит двузначное число, трехзначное число, как их прибавлять и вычитать. Для этого связывайте палочки в пучок по десяткам.

В младшем школьном возрасте помощниками в обучении понятия числа могут быть такие простые бытовые предметы, как часы и термометр. Лучше, если они будут сделаны своими руками из картона или из дощечек. Таким образом они не будут представлять опасность для детей. На них легко объяснить ученику даже такое понятие, как дробная часть числа. Отрицательные числа объяснить ребенку проще всего на термометре. Потому что там есть значения ниже нуля. Но это желательно делать тогда, когда школьник уже четко усвоит положительные числа.

Обратите внимание

Очень важно, чтобы ребенок обучался основам математики с удовольствием в игре. Ни в коем случае нельзя его принуждать.

Задумался я как-то над тем, как мы учимся оперировать абстрактными понятиями и каким реальным явлениями мира эти абстрактные понятия соответствуют.

Так, чтобы понять натуральные числа нам показывают яблоки, конфеты или еще что-то там, пока ребенок не сформирует обобщенное понятие числа (1,2,3,...). Учим сложение (сколько яблок у меня и у Васи), вычитание (отдал 2 яблока Пете) и умножение (съел 3 раза по 2 яблока). Потом, на основе этого, усваивается понятие нуля (нет ни одного яблока). Затем переходим к дробям (одно яблоко на двоих, половина яблока), учим деление (разделить поровну 2 яблока на троих). Далее понимаем отрицательные числа (должен Коле 3 яблока). И все это вроде как соответствует реальным наблюдениям и каждый без труда может показать, с чем ассоциируются рациональные числа и действия над ними.

А вот дальше начинаются приколы. В виде того же числа Пи. Обычно говорят, что это такое хитрое число, которое примерно равно 3.14, но на самом деле точное его значение конечным числом цифр записать невозможно никак. А если диамер окружности умножить на это число - то получишь длину окружности. Ну, тут вроде как понятно все: Пи нужно для того, чтобы считать площади и объемы всего круглого. И вроде как ассоциируется оно с переходом от "некруглого" к "круглому".
Потом число уже приедается и мало кто задастся вопросом, почему число Пи входит в Гауссово распределение вероятностей? Иными словами, с чем же таким "круглым" связано, например, случайное подбрасывание монетки?
Мышление уже погрузилось в абстрактный мир и утратило связи с реальным.
А еще не менее загадочное число Е появляется вообще абстрактным способом: появляется как основание "хитрой" показательной функции, которая равна своей производной. И дофига законов, описывающих реальные процессы содержат число Е. Но почему - мало кто задумывается.

А ответ весьма прост. Число Пи характеризует круговую симметрию пространства. Т.е. связана с тем фактом, что все направления в пространстве равнозначны. Отсюда и появление Пи в законе подбрасывания монетки: "круг" появляется в силу того, что на монетку равнозначно действуют случайные факторы со всех направлений. Да и сама окружность или сфера (в пространстве) - суть пример равноудаленности множество точек от центра по всем направленями. Вот он и физический смысл известного всем числа.

С числом Е и показательной функцией, оказывается, тоже все четко - они отражают равномерность течения времени. Т.е. процесс с одними и теми же начальными условиями (или просто идентичный процесс) в разные моменты времени будет развиваться одинаково.

А вот дальше у нас есть еще более "хитрое" число, которое вводится еще хитро, как i^2=-1 или i*i=-1. Наша любимая мнимая единица. Она используется в массе физических (и даже экономических) задач. Но, о ней всегда говорят как о чем-то "неестественном", или "введенным искусственно" для решения реальных задач, или "введенным для удобства".
Обнако, мне так не кажется. Мнимая единица, наверняка, как-то характеризует какое-то явление в нашем мире. Но какое?

Собственно, был как-то у меня с батей и с друзьями спор: как объяснить ребенку, не знакомому с ТФКП, что такое мнимая единица и какому явлению мира она соответствует? Собственно, ответа ни я, ни они пока не нашли.
У кого будут какие соображения?

Неравнодушный папа задал интересный вопрос:

А как объяснить ребенку 9 лет правила умножения отрицательных чисел? Не просто аксиому “минус на минус дает плюс” , а именно, почему знак меняется. Ребенок почемучка, без объяснения он просто не верит словам.

Я всегда очень рада такому любопытству и со стороны родителей, и конечно, со стороны детей. Скажу откровенно: меня этот вопрос застал врасплох.

Как объяснить глубоко научные измышления, которые обсуждаются и оспариваются уже много веков, простым и понятным для юного языком.

Но все по порядку. В таком серьезном предмете, как математика, не обойтись без “скучных” доводов.

Ниже будет приведено моё, субъективное видение этого вопроса.

Одним из трудных для усвоения учащимися мест в алгебре является учение о действиях с отрицательными числами. И не потому, что устанавливаемые правила действий сложны. Напротив, они очень просты. Но неясными остаются два вопроса.

1. Зачем вводятся отрицательные числа?
2. Почему над ними совершаются действия по таким правилам, а не по иным? В частности, очень плохо понимается, почему при умножении и делении отрицательного числа на отрицательное результат есть положительное число.

Все эти вопросы возникают потому, что с отрицательными числами учащихся обычно знакомят до того, как они начали решать уравнения, и больше не возвращаются к правилам действий с отрицательными числами. Между тем лишь в связи с решением уравнений выясняется ответ на оба поставленных выше вопроса. Исторически отрицательные числа возникли именно в этой связи. Не будь уравнений, не было бы нужды и в отрицательных числах.

Долгое время уравнения изучались без помощи отрицательных чисел; при этом возникали многие неудобства; для устранения этих неудобств и были введены отрицательные числа. При этом в течение долгого времени многие выдающиеся математики отказывались вводить их в употребление или вводили с большой неохотой. Еще Декарт называл отрицательные числа «ложными числами».

О характере упомянутых неудобств дает представление такой простой пример. При решении уравнения первой степени с одним неизвестным, например уравнения

7x – 5 = 10x – 11 ,

мы переносим члены так, чтобы в одной части уравнения оказались известные, в другой - неизвестные величины. При этом знаки меняются на противоположные. Собирая неизвестные в правую часть, а известные в левую, получаем

11- 5 = 10x – 7x ;

6 = 3x ;

x = 2 .

Эти преобразования можно выполнять, совершенно не пользуясь отрицательными числами и рассматривая знаки + и – как знаки сложения и вычитания, а не как знаки положительных и отрицательных чисел. Но тогда нужно заранее продумать вопрос, а какую сторону, вправо или влево, следует переносить неизвестные члены. Если, например, в вышеприведенном уравнении перенести неизвестные члены влево, получим

7x- 10x = 5 – 11 .

Не вводя отрицательных чисел, мы не можем из 5 вычесть 11 , не можем из 7x вычесть 10x и, значит, не можем дальше продвинуться в решении уравнения. Между тем заранее не всегда видно (особенно если членов много), в какую сторону нужно переносить неизвестные члены, чтобы такого положения не создавалось. Вычислитель должен быть готов проделать двойную работу, вторично совершая перенос членов в нужную сторону. В порядке рационализации вычислительного процесса и были введены отрицательные числа. Действительно, если мы согласимся считать возможным «невозможное» вычитание 5 – 11 , обозначив результат через -6 , и точно так же вычитание 7x – 10 x, обозначив результат -3x , то получим -3x = -6.

Определяя x , находим, что x = (-6):(-3) .

Теперь выясняется, что, введя отрицательные числа, мы должны установить правило: при делении отрицательного числа (-6 ) на отрицательное (-3 ) частное есть положительное число (2 ). Действительно, это частное должно дать значение неизвестной величины x , которое раньше было найдено другим путем (без отрицательных чисел) и оказалось равным 2 .

Таким примерно образом и были введены отрицательные числа; цель этого введения - рационализация вычислительного процесса; правила действий над отрицательными числами явились результатом внедрения этого рационализаторского приема в вычислительную практику.

Многолетние и многообразные испытания показали, что этот прием обладает огромной эффективностью и находит блестящие применения во всех областях науки и техники. Всюду введение отрицательных чисел позволяет охватить единым правилом такие явления, для которых нужно было бы выдумывать десятки правил, если ограничиться числами положительными.

Итак, на два вышепоставленных вопроса нужно ответить следующим образом.

1. Отрицательные числа вводятся затем, чтобы устранить ряд трудностей, возникших прежде всего при решении уравнений.
2. Правила действий над ними вытекают из необходимости согласовать результаты, полученные с помощью отрицательных чисел, с теми результатами, которые могли быть получены и без них.

Все эти правила могут быть установлены при рассмотрении простейших уравнений подобно тому, как выше было выведено правило деления отрицательного числа на отрицательное.

Правила действий с отрицательными числами действительно запомнить несложно. Но любознательные учащиеся все же пытаются найти своё объяснение тому, как, например, умножить два отрицательных числа, и почему в ответе получается именно ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ.

Вот один из таких вариантов объяснения.

Рассмотрим сначала действие (-2)*1 на координатном луче.

Используя правило «a*b=a+a+a+a+a+a+…» b- раз, отложим число -2 на координатном луче один раз, т. е. в противоположную сторону от нуля.

А так как (-2)*1 =2*(-1) =-2 , то договоримся таким образом, что умножение на число -1 – это значит «отложить на координатном луче число, противоположное исходному».

Тогда, рассматривая пример (-2)*(-3), имеем: (-2)*(-3) = (-2)*3*(-1)= (-6)*(-1), что означает «отложить на координатном луче число, противоположное числу -6 ».

А это значит, что результат (-6)*(-1) = 6.

Т.е. результатом умножения двух отрицательных чисел есть число положительное.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами – в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков.

Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях.

Но как бы там ни было, понятно, что отношение к отрицательным числам в течение всей истории у ученых было неоднозначным. И завоевывали они себе место “под солнцем” , преодолевая великие трудности. Как их только не называли: и “фальшивые числа”, и “абсурдные числа”, и “фиктивные числа”.

В быту же их соотносили как “долг”, в то время как положительные числа представлялись как “имущество” или “прибыль”. Ясно одно, что даже в наше время отрицательные числа не оставляют никого равнодушными. А уж тем более, когда речь идет о долгах.

Отрицательные числа — зачем дети изучают то, что не существует?

Я глубоко убеждён, что все (или почти все) проблемы современного человечества возникли вследствие отрыва от ПРИРОДЫ.

Современные люди оторвались от природы как в физическом плане (городами и домами), так и в ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОМ плане.

Например, это выражается в том, что почти вся школьная программа не имеет никакого отношения к природе и к РЕАЛЬНОСТИ.

Я приведу всего лишь один пример — это так называемые отрицательные числа.

В природе нет и не может быть ничего отрицательного.

Вы можете представить себе минус 1 автомобиль? А минус 3 белки?

Нормальный, психически здоровый человек не может представить себе такого!

Чуть ли не единственный случай, когда мы имеем дело с отрицательными величинами — это термометр. Например, зимой можем увидеть температуру -10 градусов по Цельсию.

Но, давайте посмотрим, что же нам покажет термометр, использующий шкалу градусов по Кельвину. Он нам покажет, примерно, 263 градуса по Кельвину (вместо -10 по Цельсию).

О чём это говорит? Это говорит о том, что стоит изменить расчётную шкалу и отрицательные числа чудесным образом превращаются в положительные.

Ещё хочу привести несколько примеров из РЕАЛЬНОГО мира, когда здравый смысл побеждает «отрицательные числа».

Пример №1 Измерение высоты гор, а также глубин морей и океанов.

Условным нулём выступает уровень моря. Всё что выше — говорят «столько то метров выше уровня моря». Всё что ниже — мы говорим «столько то метров ниже уровня моря».

Например, максимальная глубина Чёрного моря = 2 210 метров. Или 2210 метров НИЖЕ уровня моря. Но мы не говорим, что глубина моря — (минус) 2210 метров (т.к. это бред).

Пример №2 Хронография.

Сейчас в европейских странах принято вести летосчисление от Рождества Христова. Это базовая точка отсчёта. Всё что было после этого события — записывается, например, как 2017 год от Рождества Христова (или 2017 год Нашей Эры).

Всё что было до этого, записывается как «до нашей эры». Например, египетский фараон жил 1000 лет до нашей эры. Обратите внимание, что он жил не в «минус» 1000 лет, а 1000 лет до нашей эры. Это важная фраза — «до нашей эры» подчёркивает УСЛОВНОСТЬ измерительной шкалы.

Т.е. у историков, хвала духам, никаких отрицательных чисел в годах не возникает!

Но у математиков есть минусы (отрицательные числа) и они даже учат детей как складывать, вычитать, делить и умножать отрицательные числа!

Раз это явление имеет место быть, значит оно кому то выгодно!

Понятное дело, детям это не выгодно. Ибо если изучать то, чего нет в природе, то это может привести к нервному напряжению и, даже, к психическому расстройству.

Но кому это выгодно? Зачем детей заставляют изучать отрицательные числа?

В поисках ответов я обратился к википедии (она, как известно, никогда не врёт). Вот, что там написано:

Отрица́тельное число́ - элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Основной целью расширения было желание сделать вычитание такой же полноценной операцией, как сложение.

Всё это очень интересно! Но я так и не нашёл ответа но свой вопрос — «Зачем это?»

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Ага, вот нашёл, ответ на свой вопрос:

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача),