Одним из самых загадочных чисел, известных человечеству, безусловно, является число Π (читается - пи). В алгебре это число отражает величину соотношения длины окружности и ее диаметра. Ранее эту величину называли лудольфовым числом. Как и откуда взялось число Пи доподлинно не известно, но математики делят на 3 этапа всю историю числа Π, на древний, классический и эру цифровых компьютеров.

Число П - иррационально, то есть его нельзя представить в виде простой дроби, где числитель и знаменатель целые числа. Поэтому, такое число не имеет окончания и является периодическим. Впервые иррациональность П доказал И. Ламберт в 1761 году.

Кроме этого свойства, число П не может являться еще и корнем какого-нибудь многочлена, а потому является числом свойство, когда было доказано в 1882 году, положило конец почти сакральному спору математиков «о квадратуре круга», который продолжался на протяжении 2 500 лет.

Известно, что первым ввел обозначение этого числа британец Джонс в 1706 году. После того как появились труды Эйлера, использование такого обозначения стало общепринятым.

Чтобы детально разобраться, что такое число Пи, следует сказать, что его использование настолько широко, что трудно даже назвать область науки, в которой бы без него обходятся. Одно из самых простых и знакомых еще из школьной программы значений - это обозначение геометрического периода. Отношение длины круга к длине его диаметра является постоянной и равно 3, 14. Это значение было известно еще древнейшим математикам в Индии, Греции, Вавилоне, Египте. Наиболее ранний вариант вычисления соотношения относится к 1900 году до н. э. Более приближенное к современному значение П вычислил китайский ученый Лю Хуэй, кроме того, он изобрел и быстрый способ такого вычисления. Его величина оставалась общепринятой на протяжении почти 900 лет.

Классический период развития математики ознаменовался тем, что чтобы установить точно, что такое число Пи, ученые стали использовать методы математического анализа. В 1400-х годах индийский математик Мадхава использовал для вычисления теорию рядов и определил период числа П с точностью до 11 цифр после запятой. Первым европейцем, после Архимеда, который исследовал число П и внес значительный вклад в его обоснование, стал голландец Людольф ван Цейлен, который определил уже 15 цифр после запятой, а в завещании написал весьма занимательные слова: «…кому интересно - пусть идет дальше». Именно в честь этого ученого, число П и получило свое первое и единственное за всю историю именное название.

Эпоха компьютерных вычислений привнесла новые детали в понимание сущности числа П. Так, чтобы выяснить, что такое число Пи, в 1949 году впервые была использована вычислительная машина ЭНИАК, одним из разработчиков которой был будущий «отец» теории современных компьютеров Дж. Первое измерение велось на протяжении 70 часов и дало 2037 цифр после запятой в периоде числа П. Отметка в миллион знаков была достигнута в 1973 году. Кроме того, в этот период были установлены и другие формулы, отражающие число П. Так, братья Чудновские смогли найти такую, которая позволила вычислить 1 011 196 691 цифр периода.

Вообще следует отметить, что чтобы ответить на вопрос: "Что такое число Пи?", многие исследования стали напоминать соревнования. Сегодня уже суперкомпьютеры занимаются вопросом, какое же оно на самом деле, число Пи. интересные факты, связанные с этими исследованиями, пронизывают практически всю историю математики.

Сегодня, например, проводятся мировые чемпионаты по запоминанию числа П и фиксируются мировые рекорды, последний принадлежит китайцу Лю Чао, за сутки с небольшим, назвал 67 890 знаков. В мире есть даже праздник числа П, который отмечается как «День числа Пи».

По данным на 2011 год уже установлено 10 триллионов цифр периода числа.

11 января 2010. Французы вычислили Пи с рекордной точностью

Француз Фабрис Беллар вычислил число Пи с рекордной точностью. Об этом сообщается на его официальном сайте. Новый рекорд составляет около 2,7 триллиона (2 триллиона 699 миллиардов 999 миллионов 990 тысяч) десятичных знаков. Предыдущее достижение принадлежит японским ученым, которые посчитали константу с точностью до 2,6 триллиона десятичных знаков. Беллар потратил на вычисления около 103 дней.

Все расчеты проводились на домашнем компьютере, стоимость которого лежит в пределах 2000 евро. Для сравнения, предыдущий рекорд был установлен на суперкомпьютере T2K Tsukuba System, у которого ушло на работу около 73 часов. Сначала Пи рассчитывалось в двоичной системе, после чего переводилось в десятичную. На это ушло около 13 дней. В общей сложности для хранения всех цифр требуется 1,1 терабайта дискового пространства.

Подобные вычисления имеют не только прикладное значение. Так, в настоящее время с Пи связано множество нерешенных задач. Например, известно, что Пи и e (основание экспоненты) являются трансцендентными числами, то есть не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. При этом, однако, является ли сумма этих двух фундаментальных констант трансцендентным числом или нет — неизвестно до сих пор.

До сих пор не доказана нормальность числа Пи: встречаются ли в нем все цифры от 0 до 9 одинаково часто, или какая-то цифра встречается чаще, чем другие.

Если Пи понимать, как отношение длины окружности к её диаметру, то само это число, очевидно, не представляло бы особого интереса.

Число Пи одна из фундаментальных математических констант. Оно встречается во многих уравнениях различных направлений науки, например, в уравнениях гравитационного поля Эйнштейна, в уравнениях, связанных с образованием радуги, в уравнениях описывающих распространение зыби при падении дождевой капли в воду, в уравнении нормального распределения Гаусса, в уравнении движения маятника, во многих геометрических задачах, в задачах связанных с волнами, в задачах навигации и т.д.

Несколько «неожиданный» пример уравнения, в котором есть число Пи — формула Стирлинга для подсчета числа перестановок n предметов (факториала n, который обозначается n! и равен n!=1*2*3*…*n). Формула Стирлинга позволяет упростить процесс вычислений n! для больших n:

e- основание натуральных логарифмов.

Иррациональность этого числа, заключающаяся в том, что его нельзя представить отношением p/q, где q≠0 и p, q - натуральные числа, была доказана Ламбертом в 1761 г.

Трансцендентность числа пи доказал Линдеман в 1882 г.

Численное значение Пи можно приближенно определить одним из двух методов с любой необходимой степенью точности.

Первый из этих методов — геометрический. Он состоит в вычислении периметров многоугольника вписанного в окружность и многоугольника описанного вокруг неё, причем предполагается, что длина окружности заключена между значениями этих периметров. Приближение будет более точным, если вместо периметров использовать площади.

Второй, современный метод, опирается на использование определенных бесконечно сходящихся рядов, сумма которых равна Пи или выражается через Пи.

Можно сказать, что те из вычислявших Пи математиков, которые использовали первый метод, исходили из геометрического определения числа Пи, а те, кто использовал аналитические методы, трактовали это число как математический символ, возникающий в многочисленных разделах математического анализа и обозначающий некоторую константу, значение которой можно (и нужно) найти.

В Египте примерно в 1700 г. до н. э. принимали, что Пи равно 256/81, что в десятичной записи соответствует 3.1605. В Вавилоне и Иудее использовалось более грубое приближение в виде числа 3. Скорее всего, эти числа были получены эмпирически — опытным путем.

Уже в самых ранних индоевропейских цивилизациях было известно, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, а длина окружности пропорциональна её диаметру.

Величайший математик древности Архимед из Сиракуз в своем трактате «Измерение круга» (III до н.э.) строго доказал равенство двух указанных отношений. Он вычислил и приближенное значение Пи, причем на основе математических принципов, а не прямых измерений диаметра, площади круга и длины окружности. Архимед вписывал в окружность и описывал вокруг неё правильные многоугольники (т.е. многоугольники со сторонами одинаковой длины). Диаметр окружности принимался за единицу, а периметры вписанного и описанного многоугольников рассматривались как приближения соответственно снизу и сверху к длине окружности, которая в данном случае численно совпадает с Пи.

Этот метол приближения Пи не был новшеством: еще раньше вписывать многоугольники с возрастающим числом сторон предложил Антифон, а его современник Брисон из Гераклеи дополнительно ввел описанные многоугольники. Новшеством был выполненный Архимедом правильный расчет результата удвоения числа сторон как вписанного, так и описанного многоугольников. Тем самым он разработал процедуру, повторение которой достаточное число раз в принципе позволяет вычислить Пи с любым количеством знаков.

Следует заметить, что периметр правильного многоугольника легко вычисляется с помощью простых тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса, однако во времена Архимеда, т. е. в III в. до н.э. эти функции еще не были полностью изучены и вычисление периметров было далеко не таким легким делом, как может сейчас показаться.

Архимед начал с вписанного и описанного шестиугольников и получил неравенство .

Четырежды удвоив число сторон (т. е. доведя его до 96), он сузил интервал для Пи:

и получил приближенное значение ≈ 3,14. Есть некоторые основания предполагать, что дошедший до нас текст трактата «Измерение круга» представляет собой часть более обширного труда, в котором Архимед объясняет, как, начав с десятиугольников и применив шесть раз операцию удвоения, он получил приближение с пятью знаками; π≈3,1416. Сам по себе метод Архимеда прост, но при отсутствии готовых таблиц тригонометрических функций требует извлечения корней; выполнение этой операции вручную занимает довольно много времени. Кроме того, приближения сходятся к Пи очень медленно: с каждой итерацией погрешность уменьшается лишь вчетверо. Тем не менее, до середины XVII в. все попытки европейских ученых вычислить Пи, так или иначе, опирались на этот метод.

Из приближений, известных грекам, следует ещё упомянуть лишь данное Птолемеем, который утверждал, что Пи=3º8"30", т.е. что (в современной записи) p=3+8/60+30/3600≈3.1416.

Прежде, чем переходить к средневековым и современным европейским математикам, уместно сказать о результатах полученных в Индии, Китае и на Востоке.

Китайский астроном Чжан Хэн во II в. утверждал, что вторая степень длины окружности относится ко второй степени периметра квадрата, описанного вокруг окружности, как 5:8. Это отношение соответствует приблизительно . Подобное значение Пи встречается у индийского математика Брахмагупты (VII в.) и у среднеазиатского математика и астронома Мухамеда бен Мусы аль Хорезми (IX в).

Ариабхата (примерно в 530 г.) дает значение Пи=62832/20000, что равно 3,1416.

Бхаскара (около 1150 г.) указал два приближения. Одно из них (возможно, почерпнутое от Ариабхаты, но вычисленное заново методом Архимела с помощью периметров правильных 384-угольников) равно 3927/1250, т. е. 3,1416.

Китайский астроном Цзу Чун Чжи (род. в 430 г.) доказал, что значение Пи лежит между 3,1415926 и 3,1415927, и указал значение 355/113, которое он назвал «правильным».

Среди арабских математиков следует отметить Дж. Г. ал-Каши (около 1436 г.), который нашел для 2π значение 6,2831853071795865. Это значение, верное во всех 16 десятичных знаках, было получено из вычисленного им ранее в шестидесятеричной системе значения с 9 знаками. Этим он поставил рекорд, продержавшийся до 1596 г. Кроме того, почти наверняка можно сказать, что это был первый пример переведения дроби из одной системы счисления в другую.

Возвращаясь к европейским математикам, проследим, как были найдены последовательные приближения для числа Пи (причем многие из полученных до XVIII в. значений были первоначально вычислены, чтобы доказать ошибочность какой-то якобы найденной квадратуры).

Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в XIII в. дал для Пи значение 1440/458 1/3 , что равно 3,1418….

В XV в. Пурбах указал (вычисленное, возможно, не им) значение 62832/20000, равное 3,1416.

Николай Кузанский считал, что точным значением Пи будет равное 3,1423, и говорят, что в 1464 г. Региомонтан (Иоганн Мюллер) дал значение 3,14243.

Виет в 1579 г. показал, что Пи больше, чем 3,1415926535, и меньше, чем 3,1415926537. Этот результат Виет получил на основании значений периметров вписанных и описанных многоугольников с 6*216 сторонами, вычисленных многократным применением формулы 2sin2 (φ/2) =1-cosφ. Он также установил результат, эквивалентный формуле:

Отец Адриан Меций в 1585 г. привел для Пи значение 355/113, равное 3,14159292… ,—правильное в шести десятичных знаках. Это была любопытная и счастливая догадка, так как доказал он лишь, что значение Пи лежит в пределах между 377/120 и 333/106, и отсюда заключил, что истинное дробное значение Пи он получит, если возьмет среднее значение числителей и среднее значение знаменателей этих дробей.

В 1593 г. Адриeн ван Роомен вычислил периметр вписанного правильного многоугольника с 1073741824 (т. е. 230 ) сторонами и отсюда определил Пи с 15 правильными десятичными знаками.

Индийские математики, стремясь к уточнению числа пи, пришли к результатам, которые в европейской математике были вновь открыты только в XVII-XVIII вв., например, разложение arctg в степенной ряд (Дж. Грегори, 1671 г.; Г. Лейбниц, 1673 г.), степенные ряды для sin, cos, arcsin (И. Ньютон, 1666 г.) и т.п.

Голландский математик Лудольф ван Цейлен посвятил вычислению p значительную часть жизни. В 1596 г. он указал значение Пи с точностью до 20 десятичных знаков — они были получены путем определения периметров вписанного и описанного правильных многоугольников с 60*233 сторонами, что Цейлен сделал с помощью многократного применения своей собственной теоремы, эквивалентной формуле 1-cosА =
= 2sin2 (А/2).

Цейлен умер в 1610 г.; по его распоряжению полученный им результат с 35 десятичными знаками (именно столько знаков он вычислил) был выгравирован на его надгробии в церкви св. Петра в Лейдене. В его книге по арифметике, опубликованной после его смерти, указано 32 десятичных знака числа Пи, найденные вычислением периметра многоугольника, имеющего262 , т. е. 4611686018427387904, сторон. В некоторых европейских странах число Пи называют числом Лудольфа.

Виллеброрд Снелль в 1621 г. получил с помощью 230 - yгoльникa приближение с 34 десятичными знаками. Это меньше, чем у ван Цейлена, но метод Снелля был настолько совершеннее, что свои 34 знака он сумел получить с помощью многоугольника, из которого ван Цейлону удалось «извлечь» только 14 (или, быть может, 16) знаков.

Используя шестиугольник,Снелль нашел столь верное, приближение для числа Пи, для которого Архимеду понадобился 96-угольник, а 96-угольник позволил Снеллю правильно вычислить 7 десятичных знаков, тогда как Архимед получил только два. Это объясняется тем, что Архимед, вычисляя длину сторон вписанного и описанного правильных n-угольников, считал, что 1/n длины окружности лежит между этими значениями, в то время как Снелль, исходя из сторон этих многоугольников, строил две другие линии, дающие более точные пределы для определения длины соответствующей дуги.

Метод Снелля опирался на теорему 3sinφ/ (2 + cos φ) Это вдвое больше, чем удавалось получить старыми методами. Доказательство Снелля его теоремы ошибочно, однако сама теорема верна.

В 1630 г. Гринбергер с помощью теоремы Снелля довел приближенное значение Пи до 39 десятичных знаков. Он был последним из математиков, пользовавшихся классическим методом вычисления Пи с помощью периметров вписанного и описанного многоугольников. Дальнейшее уточнение значения Пи представлялось уже бесполезным.

Доказательства теорем, использованных Снеллем и другими математиками, вычислявшими Пи этим методом, дал Гюйгенс в работе "De Circula Magnitudine Inventa", 1654, которую можно считать заключительной в истории данного метода.

В 1659 г. Валлис доказал, что

и с помощью одного результата, установленного несколькими годами ранее Броункером, вывел формулу в виде цепной дроби:

но ни одна из этих формул для вычислений всерьез не использовалась из за слишком медленной сходимости.

Развитие анализа в основном с трудами Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница позволило намного ускорить вычисление приближенных значений Пи.

В анализе существуют эффективные методы нахождения для функции ее производной (скорости изменения значения функции при изменении переменных) и интеграла (суммы значений функции на некоторой области изменения переменных). С помощью этих методов можно показать, что обратные тригонометрические функции представляются в виде интегралов от квадратичных функций, связанных с окружностью.

Обратная тригонометрическая функция задает угол, которому отвечает данное значение самой тригонометрической функции. Так, значение функции, обратной тангенсу, т. е. арктангенса, от 1 равно 45 градусам, или π/4 радианам.

Связь между тригонометрическими функциями и алгебраическими выражениями станет понятней, если рассмотреть окружность единичного радиуса с центром в начале координат на декартовой плоскости х-у.

Уравнение этой окружности (ее площадь численно совпадает с Пи) имеет вид x2 + y2 = 1; оно получается по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 1. Синус и косинус угла между положительной полуосью х и радиусом, проведенным в любую точку окружности, равны соответственно координатам у и х этой точки, а его тангенс равен у/х.

Однако для вычисления Пи гораздо важнее тот факт, что обратную тригонометрическую функцию можно разложить в ряд, члены которого выражаются через ее производные. Сам Ньютон нашел 15 знаков Пи, суммируя несколько первых членов ряда для арксинуса. Позднее он писал одному из коллег: «Мне стыдно сказать вам, до скольких знаков я выполнил эти вычисления, не занимаясь больше ничем».

В 1674 г. Лейбниц вывел формулу 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = π/4 (арктангенс единицы).

Общий ряд для арктангенса был открыт в 1671 г. шотландским математиком Джеймсом Грегори, хотя аналогичные выражения, по-видимому, были получены в Индии на несколько столетий раньше. Джеймс Грегори, установил, что

Этот результат верен лишь в том случае, если X лежит между -π/4 и π/4.

Погрешность приближения Лейбница, определяемая как разность между суммой n членов ряда и точным значением π/4 , приблизительно равна (n + 1)-му члену. Так как знаменатель каждого следующего слагаемого возрастает лишь на два, то, чтобы получить приближение с точностью до двух знаков, приходится суммировать около 50 членов, с точностью до трех знаков — около 500 и т. д.

Таким образом, этот ряд практически непригоден для нахождения более чем нескольких первых знаков Пи.

Спасла положение формула Джона Мэчина:

Поскольку ряд для арктангенса при заданном значении переменной сходится тем быстрее, чем меньше это значение, благодаря этой формуле вычисления сильно упростились. Пользуясь своей формулой и рядом для арктангенса, Мэчин в 1706 г. вычислил 100 знаков Пи.

Его метод оказался столь мощным, что с начала XVIII в. и до самого недавнего времени все вычисления Пи с большим числом знаков были выполнены с помощью тех или иных вариантов этого метода. p>Вега в 1789 г. указал значение Пи с точностью до 143 десятичных знаков (из них верных оказалось лишь 126), а в 1794 г. — с точностью до 140 знаков (из них 136 верных).

К концу XVIII в. фон Цах обнаружил в Научной библиотеке Радклнфа в Оксфорде рукопись неизвестного автора, в которой значение Пи было указано с точностью до 154 десятичных знаков (из них 152 верных). В 1837 г. этот результат был опубликован.

В 1841 г. Резерфорд, используя формулу

вычислил 208 знаков (из них 152 верно).

Из вычислений, проведенных в XIX в., два следует упомянуть особо. В 1844 г. Иоганн Дазе нашел 205 знаков Пи в течение нескольких месяцев, вычисляя значения трех арктангенсов и пользуясь формулой, аналогичной формуле Мэчина:

Дазе не был математиком, он был чудо вычислителем: он мог примерно за 8 часов перемножать в уме два стозначных числа. (Его, наверное, можно считать предтечей современного суперкомпьютера, по крайней мере, по объему памяти).

Иоганн Мартин Захария Дазе родился в Гамбурге в 1824 г. Демонстрировал свои возможности в Германии, Австрии и Англии. Например, чтобы сосчитать произведение двух двадцатизначных чисел в уме, ему понадобилось 6 минут. Когда Дазе было 16 лет Страшницкий научил его пользоваться приведенной формулой и попросил его вычислить число Пи.

Через два месяца Дазе дал результат. Другим его достижение было вычисление семизначных натуральных логарифмов первых 1005000 чисел. Умер он 1861 г.

В 1853 г. Уильям Шенкс обошел Дазе, опубликовав полученное им значение Пи с 607 знаками, хотя, начиная с 528-го все остальные оказались неверными. Шенкс потратил на свой труд многие годы — это было рутинное, хотя и трудоемкое применение формулы Мэчина. Своеобразным рекордом стало и то, что ошибка Шенкса была обнаружена только через 92 года при сравнении его значений с приближением Пи до 530 знаков, вычисленным Д.Ф. Фергюсоном с помощью механического калькулятора.

В 1947 Фергюсон и Вренч, используя механический калькулятор, достигли точности 808 знаков.

В 1914 г. индийский математик Рамануджан предложил для вычисления Пи использовать формулу:

Сумма последовательности Рамануджана сходится к истинному значению 1/π гораздо быстрее всех предыдущих формул: каждый очередной член последовательности добавляет, восемь новых правильных цифр.

С появлением цифровых вычислительных машин попытки найти еще больше десятичных знаков Пи возобновились, так как машина идеально приспособлена к долгому и упорному «перемалыванию» чисел.

В июне 1949 г. Джон фон Нейман и его сотрудники применили один из первых цифровых компьютеров ENIAC. Машина выдала 2037 знаков за 70 часов. В 1957 г. Г.Э. Фелтон пытался вычислить 10 000 знаков Пи, но из-за ошибки компьютера только первые 7480 знаков оказались правильными. Рубеж в 10 000 знаков был достигнут годом позже Ф. Женюи с помощью компьютера IBM 704.

В 1961 г. Дэниел Шенкс (по утверждению М. Гарднера, не имеющий отношения к Уильяму Шенксу), и Джон У. Ренч-младший вычислили 100 000 знаков p с помощью компьютера IBM 7090 менее чем за 9 часов.

Отметка в миллион знаков была пройдена в 1973 г. Жаном Гийу и М. Буйе. Это заняло чуть меньше суток работы компьютера CDC 7600. (Вычисления Шенкса — Ренча и Гийу — Буйе были проделаны дважды при помощи двух разных выражений для Пи через арктангенсы.

С учетом всех ошибок, допущенных в подобных вычислениях как человеком, так и машиной, только после такой проверки современные «охотники за знаками» считают рекорд официально установленным).

Главная причина, по которой стало возможным все более точное вычисление Пи, состояла в увеличении быстродействия компьютеров. Однако вскоре выявились серьезные препятствия к дальнейшему росту точности. При традиционных способах выполнения на компьютере арифметических действий, если бы мы захотели удвоить число знаков, нам пришлось бы увеличить время вычислений по крайней мере вчетверо. Таким образом, даже при стократном увеличении быстродействия программе Гийу и Буйе для получения миллиардного знака Пи понадобилось бы четверть века машинного времени.

В 70-е годы казалось, что такое вычисление практически невыполнимо.

Однако теперь эта задача осуществима, причем не только благодаря появлению «скоростных» компьютеров, но и благодаря применению новых методов умножения чисел. Решающим было и третье нововведение — итерационные алгоритмы, быстро сходящиеся к Пи.

Итерационный алгоритм можно реализовать в виде программы, которая повторно выполняет одни и те же арифметические действия, используя выход одного цикла в качестве входа для следующего.

В информатике эффективность алгоритма измеряют его так называемой бит-сложностью: числом сложений и умножений отдельных цифр при выполнении алгоритма. Так, сложение двух n-значных чисел обычным способом имеет бит-сложность, которая растет как n, а вот бит-сложность умножения двух n-значных чисел обычным способом растет как n2 .

Таким образом, умножение при традиционных методах намного «труднее», чем сложение, т. е. поглощает намного больше времени.

Однако в 1971 г. А. Шёнхаге и Ф. Штрассен показали, что теоретически бит-сложность умножения двух чисел может быть лишь ненамного больше бит-сложности их сложения. Один из способов добиться этого потенциального уменьшения состоит в том, чтобы реализовать так называемые быстрые преобразования Фурье. Основанное на таком преобразовании умножение двух больших чисел позволяет организовать промежуточные действия над отдельными цифрами столь искусно, что дублирование исключается.

Поскольку деление и извлечение корня можно свести к последовательности умножений, их бит-сложность тоже может стать ненамного большей, чем у сложения. В результате получится огромная экономия бит-сложности, а значит, и машинного времени. По этой причине в последнее время все попытки вычисления Пи основывались на тех или иных вариантах умножения с применением быстрых преобразований Фурье.

Однако для практического вычисления сотен миллионов десятичных знаков Пи пришлось «переоткрыть» одну красивую формулу, известную полтора столетия назад Карлу Фридриху Гауссу.

В середине 70-х годов Ричард П. Брент и Юджин Саламин независимо обнаружили, что эта формула дает для Пи сходящийся алгоритм, в котором при каждой итерации число знаков удваивается. Полагаем

Величина 1/α сходится к Пи.

С 1982 г. Ясумаса Канада из Токийского университета и его сотрудники с помощью этого алгоритма установили несколько мировых рекордов по числу знаков для Пи.

В 1982 г. за 30 часов работы компьютера HITAC M-280H они вычислили 16 777 206 знаков Пи.

В 80-х годах Джонотан Борвейн и Питер Борвейн предложили квадратично сходящийся алгоритм, в котором на каждой итерации число знаков увеличивается вчетверо.

Величина 1/α стремится к Пи.

В январе 1986 г. Дэвид X. Бейли из Исследовательского центра Национального управления по аэронавтике и исследованию космического пространства, пользуясь этим алгоритмом, после 12 итераций на суперкомпьютере Сгау-2 получил 29 360 000 десятичных знаков Пи.

Год спустя Я. Канада и его сотрудники выполнили еще одну итерацию на суперкомпьютере NEC SX-2 и получили 134 217 000 знаков, проверив тем самым своей более ранний такой же результат, полученный с помощью алгоритма Гаусса-Брента-Саламина.

Еще две итерации алгоритма — дали бы более двух миллиардов знаков Пи.

В 1988 (Канада и Тамура) удалось за 6 часов на компьютере Hitachi 820 вычислить 201 326 551 правильных знаков Пи.

В 1989 г. было установлено два рекорда в вычислениях Пи: 500 000 000 и 1 миллиард знаков.

В 1989 г. братья Чудновские вычислили 1 011 196 961 десятичных цифр числа Пи за 120 час. работы суперкомпьютера IBM 3090/VF и за 28 час. работы CRAY 2. Эти компьютеры они установили у себя дома в Ист-Сайде (Манхеттен. Нью-Йорк). Братья использовали формулу:

Но в скором времени Канада, применив алгоритм Гаусса-Брента-Салмина, за 161 час работы компьютера вычислил 1 073 741 799 цифр числа Пи.

Затем братья Чудновские в 1991 г. вычислили 2.16 миллиарда цифр, к 1994 г. они перешли рубеж в 4 миллиарда цифр.

В октябре 1995 г. Канада и Такахаши вычислили 6 442 450 938 цифр числа Пи.

В 1996 г. был установлен рекорд 8 миллиардов цифр, а в 1997 г. за 29 час. работы суперкомпьютера Hitachi SR2201 было получено 51 539 600 000 цифр. Суперкомпьютер Hitachi SR2201 содержит 1024 процессоров и 212 гигабайт RAM (ОЗУ).

В сентябре 1999 г. в Токийском Университете Д.Такахаши и Я.Канада вычислили на компьютере HITACHI SR8000 со 128 процессорами 206,158,430,000 цифры числа Пи.

D 2002 г. группа японских ученых из токийского университета во главе с профессором Ясумасой Канадой сумела поставить новый мировой рекорд — посчитать число Пи до 1.24-триллионного знака. Таким образом японцы протестировали новый суперкомпьютер Hitachi. Машина посчитала это число за 400 часов рабочего времени. Программа для выполнения этой операции разрабатывалась в течение пяти лет. Суперкомпьютер, поставивший рекорд, способен выполнять два триллиона операций в секунду

Рекорд Я. Канады и его сотрудников продержался до 2009 г.

В 2009 г. ученым из Университета Цукуба (Япония) удалось превзойти своих коллег более чем в два раза: новый рекорд точности вычисления числа Пи составляет более чем 2,5 триллиона цифр после запятой. Если быть совсем точным, последовательность насчитывает 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.

Вычисления проводились на суперкомпьютере T2K Tsukuba System, оборудованном 640 процессорами AMD Opteron с четырьмя ядрами, обеспечивающими суммарную производительность до 95 триллионов операций с плавающей запятой в секунду. На расчеты числа Пи ушло 73 часа 36 минут. Для сравнения: предыдущее рекордное вычисление длилось 600 часов.

Гонка продолжается!