) ปลายด้านหนึ่งถูกยึดอย่างแน่นหนา และอีกด้านหนึ่งมีภาระมวล m

เมื่อแรงยืดหยุ่นกระทำต่อวัตถุขนาดมหึมาและกลับสู่ตำแหน่งสมดุลมันจะแกว่งไปรอบๆ ตำแหน่งนี้ ร่างกายดังกล่าวเรียกว่าลูกตุ้มสปริง การสั่นสะเทือนเกิดจากแรงภายนอก การสั่นที่ดำเนินต่อไปหลังจากแรงภายนอกหยุดกระทำเรียกว่าการสั่นแบบอิสระ การสั่นที่เกิดจากการกระทำของแรงภายนอกเรียกว่าการบังคับ ในกรณีนี้ แรงนั้นเรียกว่าแรงดึงดูด

ในกรณีที่ง่ายที่สุด ลูกตุ้มสปริงคือวัตถุที่แข็งซึ่งเคลื่อนที่ไปตามระนาบแนวนอน โดยยึดติดกับผนังด้วยสปริง

กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับระบบดังกล่าวในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกและแรงเสียดทานมีรูปแบบ:

หากระบบได้รับอิทธิพลจากแรงภายนอก สมการการสั่นจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

, ที่ไหน ฉ(x)- นี่คือผลลัพธ์ของแรงภายนอกที่มีความสัมพันธ์กับหน่วยมวลของโหลด

ในกรณีของการลดทอน จะเป็นสัดส่วนกับความเร็วของการสั่นด้วยค่าสัมประสิทธิ์ ค:

ดูสิ่งนี้ด้วย

ลิงค์

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

ดูว่า "ลูกตุ้มสปริง" คืออะไรในพจนานุกรมอื่น ๆ :

คำนี้มีความหมายอื่น ดูที่ ลูกตุ้ม (ความหมาย) การสั่นของลูกตุ้ม: ลูกศรแสดงความเร็ว (v) และความเร่ง (a) เวกเตอร์ ... Wikipedia

ลูกตุ้ม- อุปกรณ์ที่จัดกลไกนาฬิกาโดยการสั่น ลูกตุ้มสปริง ส่วนควบคุมของนาฬิกาประกอบด้วยลูกตุ้มและสปริง ก่อนการประดิษฐ์ลูกตุ้มสปริงนาฬิกาถูกทำให้เคลื่อนไหวโดยลูกตุ้มหนึ่งลูก ... ... พจนานุกรมนาฬิกา

ลูกตุ้ม- (1) วัตถุทางคณิตศาสตร์ (หรืออย่างง่าย) (รูปที่ 6) ขนาดเล็ก แขวนอย่างอิสระจากจุดคงที่บนด้าย (หรือแท่ง) ที่ยืดออกไม่ได้ มวลของวัตถุนั้นเล็กน้อยเมื่อเทียบกับมวลของวัตถุที่ดำเนินการ ฮาร์มอนิก (ดู) ... ... สารานุกรมมหาโปลีเทคนิค

ร่างกายที่แข็งแกร่งที่ทำงานภายใต้การกระทำของแอพ แรงสั่นสะเทือนประมาณ จุดหรือแกนคงที่ ม.คณิตเรียก. จุดวัสดุที่แขวนจากจุดคงที่บนด้าย (หรือแท่ง) ที่ยืดออกไม่ได้แบบไร้น้ำหนักและทำงานภายใต้แรงกระทำ ... ... พจนานุกรมโปลีเทคนิคสารานุกรมขนาดใหญ่

นาฬิกากับลูกตุ้มสปริง- ส่วนปรับลูกตุ้มสปริงของนาฬิกา ใช้ในนาฬิกาขนาดกลางและขนาดเล็ก (นาฬิกาพกพา นาฬิกาตั้งโต๊ะ ฯลฯ) ... พจนานุกรมนาฬิกา - สปริงเกลียวขนาดเล็กติดที่ปลายลูกตุ้มและค้อน ลูกตุ้มสปริงควบคุมนาฬิกาซึ่งความแม่นยำนั้นขึ้นอยู่กับคุณภาพของสปริงลูกตุ้ม ... พจนานุกรมนาฬิกา

GOST R 52334-2005: การสำรวจแรงโน้มถ่วง ข้อกำหนดและคำจำกัดความ- คำศัพท์ GOST R 52334 2005: การสำรวจแรงโน้มถ่วง ข้อกำหนดและคำจำกัดความ เอกสารต้นฉบับ: การสำรวจ (กราวิเมตริก) การสำรวจแบบกราวิเมตริกที่ดำเนินการบนบก คำจำกัดความของคำศัพท์จากเอกสารต่างๆ: (กราวิเมตริก) แบบสำรวจ 95 ... ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมของเงื่อนไขของเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

คำนิยาม

ความถี่การสั่น($\nu$) เป็นหนึ่งในพารามิเตอร์ที่แสดงลักษณะของความผันผวน นี่คือส่วนกลับของระยะเวลาความผันผวน ($T$):

\[\nu=\frac(1)(T)\left(1\right).\]

ดังนั้น ความถี่ของการสั่นจึงเรียกว่า ปริมาณทางกายภาพ เท่ากับจำนวนการสั่นซ้ำต่อหน่วยเวลา

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\right),\]

โดยที่ $N$ คือจำนวนของการเคลื่อนที่แบบสั่นทั้งหมด $\Delta t$ - เวลาที่ความผันผวนเหล่านี้เกิดขึ้น

ความถี่การสั่นแบบวนรอบ ($(\omega )_0$) เกี่ยวข้องกับความถี่ $\nu $ ตามสูตร:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]

หน่วยของความถี่ในระบบหน่วยสากล (SI) คือเฮิรตซ์หรือวินาทีซึ่งกันและกัน:

\[\left[\nu \right]=c^(-1)=Hz.\]

ลูกตุ้มสปริง

คำนิยาม

ลูกตุ้มสปริงเรียกว่าระบบที่ประกอบด้วยสปริงยางยืดซึ่งมีโหลดติดอยู่

สมมติว่าน้ำหนักของโหลดคือ $m$ ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริงคือ $k$ มวลของสปริงในลูกตุ้มดังกล่าวมักจะไม่นำมาพิจารณา หากเราพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวนอนของโหลด (รูปที่ 1) ก็จะเคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น หากระบบถูกนำออกจากสมดุลและปล่อยให้อยู่กับตัวเอง ในกรณีนี้ มักจะเชื่อว่าสามารถละเว้นแรงเสียดทานได้

สมการการแกว่งของลูกตุ้มสปริง

ลูกตุ้มสปริงที่แกว่งอย่างอิสระคือตัวอย่างของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ปล่อยให้มันแกว่งไปตามแกน X ถ้าการสั่นมีค่าน้อย แสดงว่าเป็นไปตามกฎของ Hooke เราจะเขียนสมการการเคลื่อนที่ของโหลดได้ดังนี้

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]

โดยที่ $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ คือความถี่เป็นวงกลมของการสั่นของลูกตุ้มสปริง คำตอบของสมการ (4) คือฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ของแบบฟอร์ม:

โดยที่ $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ คือความถี่การแกว่งของลูกตุ้มสปริง $A$ คือแอมพลิจูดการสั่น $((\omega )_0t+\varphi)$ - เฟสการสั่น; $\varphi $ และ $(\varphi )_1$ - ช่วงเริ่มต้นของการสั่น

ความถี่การแกว่งของลูกตุ้มสปริง

จากสูตร (3) และ $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ จะได้ว่าความถี่การแกว่งของลูกตุ้มสปริงคือ:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]

สูตร (6) ใช้ได้หาก:

• สปริงในลูกตุ้มถือว่าไม่มีน้ำหนัก
• น้ำหนักที่ติดอยู่กับสปริงเป็นตัวที่แข็งแรงสมบูรณ์
• ไม่มีการสั่นสะเทือนแบบบิด

การแสดงออก (6) แสดงให้เห็นว่าความถี่การสั่นของลูกตุ้มสปริงเพิ่มขึ้นเมื่อมวลของโหลดลดลงและค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริงเพิ่มขึ้น ความถี่การสั่นของลูกตุ้มสปริงไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด หากการสั่นไม่มาก แรงยืดหยุ่นของสปริงไม่เป็นไปตามกฎของฮุค การขึ้นลงของความถี่การสั่นจะขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด

ตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย.ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มสปริงคือ $T=5\cdot (10)^(-3)c$ ความถี่การสั่นในกรณีนี้คืออะไร? ความถี่ของน้ำหนักนี้เป็นเท่าใด

สารละลาย.ความถี่การสั่นเป็นส่วนกลับของช่วงเวลาการสั่น ดังนั้นในการแก้ปัญหาก็เพียงพอแล้วที่จะใช้สูตร:

\[\nu=\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]

คำนวณความถี่ที่ต้องการ:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Hz\right).\]

ความถี่วงจรเกี่ยวข้องกับความถี่ $\nu$ ดังนี้:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

ลองคำนวณความถี่ของวงจร:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\ประมาณ 1256\ \left(\frac(rad)(c)\right).\]

คำตอบ.$1)\ \nu =200$ เฮิร์ตซ์ 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย.มวลของน้ำหนักที่แขวนอยู่บนสปริงยืดหยุ่น (รูปที่ 2) เพิ่มขึ้น $\Delta m$ ในขณะที่ความถี่ลดลง $n$ เท่า โหลดครั้งแรกมีมวลเท่าใด

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]

สำหรับการโหลดครั้งแรก ความถี่จะเท่ากับ:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]

สำหรับการโหลดครั้งที่สอง:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]

จากเงื่อนไขของปัญหา $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$ เราพบความสัมพันธ์ $\frac((\nu )_1)((\nu )_2):\ frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac( \เดลต้า ม.)( ม.))=n\ \left(2.3\right).$

เราได้มาจากสมการ (2.3) มวลที่ต้องการของโหลด ในการทำเช่นนี้ เราจะยกกำลังสองส่วนของนิพจน์ (2.3) และแสดง $m$:

คำตอบ.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

การศึกษาการสั่นของลูกตุ้มดำเนินการในการติดตั้งซึ่งแสดงไว้ในรูปที่ 5 การติดตั้งประกอบด้วยลูกตุ้มสปริง ระบบการลงทะเบียนการสั่นสะเทือนโดยใช้เซ็นเซอร์เพียโซอิเล็กทริก ระบบกระตุ้นการสั่นสะเทือนแบบบังคับ และระบบประมวลผลข้อมูลบนคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล ลูกตุ้มสปริงที่ทำการตรวจสอบประกอบด้วยสปริงเหล็กที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความแข็ง เคและตัวลูกตุ้ม มมีแม่เหล็กถาวรอยู่ตรงกลาง การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มเกิดขึ้นในของเหลวและที่ความเร็วการสั่นต่ำ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นสามารถประมาณได้ด้วยความแม่นยำเพียงพอตามกฎเชิงเส้น นั่นคือ

รูปที่ 5 บล็อกไดอะแกรมของการตั้งค่าการทดลอง

เพื่อเพิ่มแรงต้านทานเมื่อเคลื่อนที่ในของเหลวร่างกายของลูกตุ้มจะทำในรูปแบบของแหวนที่มีรู ในการลงทะเบียนการสั่นสะเทือนจะใช้เซ็นเซอร์เพียโซอิเล็กทริกซึ่งสปริงลูกตุ้มจะถูกระงับ ระหว่างการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม แรงยืดหยุ่นจะเป็นสัดส่วนกับการกระจัด เอ็กซ์,
เนื่องจาก EMF ที่เกิดขึ้นในเซ็นเซอร์เพียโซอิเล็กทริกจะแปรผันตามแรงกด สัญญาณที่ได้รับจากเซ็นเซอร์จะเป็นสัดส่วนกับการเคลื่อนตัวของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุล
การกระตุ้นการสั่นนั้นดำเนินการโดยใช้สนามแม่เหล็ก สัญญาณฮาร์มอนิกที่สร้างโดยพีซีจะถูกขยายและป้อนไปยังขดลวดกระตุ้นที่อยู่ใต้ลำตัวของลูกตุ้ม ผลของขดลวดนี้ทำให้เกิดสนามแม่เหล็กที่แปรผันตามเวลาและไม่สม่ำเสมอในอวกาศ สนามนี้ทำหน้าที่กับแม่เหล็กถาวรที่ติดตั้งอยู่ในตัวลูกตุ้มและสร้างแรงเป็นระยะภายนอก เมื่อร่างกายเคลื่อนไหว แรงผลักดันสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันฮาร์มอนิก และการสั่นของลูกตุ้มจะเป็นการวางซ้อนของการสั่นด้วยความถี่ mw อย่างไรก็ตาม เฉพาะแรงประกอบที่ความถี่เท่านั้น วเนื่องจากอยู่ใกล้ความถี่เรโซแนนซ์มากที่สุด ดังนั้นแอมพลิจูดของส่วนประกอบของการสั่นของลูกตุ้มที่ความถี่ มิลลิวัตต์จะมีขนาดเล็ก นั่นคือในกรณีของการกระทำเป็นระยะโดยพลการ การสั่นที่มีระดับความแม่นยำสูงสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฮาร์มอนิกที่ความถี่ ว.
ระบบประมวลผลข้อมูลประกอบด้วยตัวแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัลและคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล สัญญาณแอนะล็อกจากเซ็นเซอร์เพียโซอิเล็กทริกจะแสดงในรูปแบบดิจิทัลโดยใช้ตัวแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัลและป้อนไปยังคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล

การควบคุมคอมพิวเตอร์ของการตั้งค่าการทดลอง
หลังจากเปิดคอมพิวเตอร์และโหลดโปรแกรมแล้ว เมนูหลักจะปรากฏบนหน้าจอมอนิเตอร์ มุมมองทั่วไปจะแสดงในรูปที่ 5 ใช้ปุ่มเคอร์เซอร์ , , , , คุณสามารถเลือกรายการเมนูรายการใดรายการหนึ่ง หลังจากกดปุ่ม เข้าคอมพิวเตอร์เริ่มโหมดการทำงานที่เลือก คำแนะนำที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับโหมดการทำงานที่เลือกมีอยู่ในบรรทัดที่ไฮไลต์ที่ด้านล่างของหน้าจอ
พิจารณาโหมดการทำงานของโปรแกรมที่เป็นไปได้:
วิชาว่าด้วยวัตถุ- รายการเมนูนี้ใช้เพื่อประมวลผลผลลัพธ์ของการออกกำลังกายครั้งแรก (ดูรูปที่ 5) หลังจากกดปุ่ม เข้าคอมพิวเตอร์ถามถึงมวลของน้ำหนักลูกตุ้ม หลังจากกดปุ่มถัดไป เข้ารูปภาพใหม่ปรากฏขึ้นบนหน้าจอพร้อมเคอร์เซอร์กะพริบ เขียนบนหน้าจออย่างต่อเนื่องถึงมวลของโหลดเป็นกรัมและหลังจากกดแป้นเว้นวรรคขนาดของการยืดของสปริง การกด เข้าไปที่บรรทัดใหม่แล้วเขียนมวลของโหลดและจำนวนการยืดของสปริงอีกครั้ง อนุญาตให้แก้ไขข้อมูลภายในบรรทัดสุดท้ายได้ ในการทำเช่นนี้ให้กดปุ่ม แบ็คสเปซลบค่ามวลหรือความตึงสปริงที่ไม่ถูกต้องออกแล้วบันทึกค่าใหม่ หากต้องการเปลี่ยนข้อมูลในแถวอื่น คุณต้องกดอย่างต่อเนื่อง เอสซีและ เข้าแล้ววนซ้ำชุดผลลัพธ์
หลังจากป้อนข้อมูลแล้ว ให้กดปุ่มฟังก์ชัน F2. ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงและความถี่ของการสั่นอิสระของลูกตุ้มที่คำนวณโดยวิธีกำลังสองน้อยที่สุดจะปรากฏบนหน้าจอ หลังจากคลิกที่ เข้ากราฟของการพึ่งพาอาศัยกันของแรงยืดหยุ่นกับขนาดของส่วนต่อสปริงจะปรากฏบนหน้าจอมอนิเตอร์ การกลับสู่เมนูหลักจะเกิดขึ้นหลังจากกดปุ่มใดๆ
การทดลอง- รายการนี้มีรายการย่อยหลายรายการ (รูปที่ 6) พิจารณาคุณสมบัติของแต่ละรายการ
ความถี่- ในโหมดนี้ใช้ปุ่มเคอร์เซอร์เพื่อตั้งค่าความถี่ของแรงขับ ในกรณีที่ทำการทดลองกับการสั่นสะเทือนอิสระจำเป็นต้องตั้งค่าความถี่ให้เท่ากับ 0 .
เริ่ม- ในโหมดนี้หลังจากกดปุ่ม เข้าโปรแกรมเริ่มบันทึกการพึ่งพาการทดลองของการโก่งตัวของลูกตุ้มตรงเวลา ในกรณีที่ความถี่ของแรงขับมีค่าเท่ากับศูนย์ ภาพของการสั่นแบบหน่วงจะปรากฏขึ้นบนหน้าจอ ในหน้าต่างแยกต่างหาก ค่าของความถี่การสั่นและค่าคงที่การหน่วงจะถูกบันทึก หากความถี่ของแรงขับไม่เท่ากับศูนย์ จากนั้นพร้อมกับกราฟของการพึ่งพาของลูกตุ้มโก่งและแรงขับตรงเวลา ค่าของความถี่ของแรงขับและแอมพลิจูดของมัน เช่นเดียวกับ ความถี่ที่วัดได้และแอมพลิจูดของการสั่นของลูกตุ้มจะถูกบันทึกบนหน้าจอในหน้าต่างแยกต่างหาก การกดปุ่ม เอสซีคุณสามารถออกจากเมนูหลักได้
บันทึก- หากผลการทดสอบเป็นที่น่าพอใจ สามารถบันทึกได้โดยกดปุ่มเมนูที่เกี่ยวข้อง
ใหม่ ชุด- รายการเมนูนี้ใช้ในกรณีที่จำเป็นต้องทิ้งข้อมูลของการทดลองปัจจุบัน หลังจากกดปุ่ม เข้าในโหมดนี้ ผลลัพธ์ของการทดลองก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะถูกลบออกจากหน่วยความจำของเครื่อง และสามารถเริ่มการวัดชุดใหม่ได้
หลังจากการทดลอง พวกเขาเปลี่ยนไปใช้โหมด การวัด. รายการเมนูนี้มีรายการย่อยหลายรายการ (รูปที่ 7)
กราฟตอบสนองความถี่- รายการเมนูนี้ใช้หลังจากสิ้นสุดการทดลองเกี่ยวกับการศึกษาการสั่นแบบบังคับ ลักษณะความถี่แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับจะแสดงบนหน้าจอมอนิเตอร์
แผนภูมิ PFC- ในโหมดนี้ หลังจากสิ้นสุดการทดลองเกี่ยวกับการศึกษาการสั่นแบบบังคับ ลักษณะความถี่เฟสจะถูกสร้างขึ้นบนหน้าจอมอนิเตอร์
โต๊ะ- รายการเมนูนี้ช่วยให้คุณแสดงค่าของแอมพลิจูดและเฟสของการสั่นบนหน้าจอมอนิเตอร์ขึ้นอยู่กับความถี่ของแรงขับ ข้อมูลเหล่านี้จะถูกเขียนใหม่ในสมุดบันทึกสำหรับรายงานเกี่ยวกับงานนี้
รายการเมนูคอมพิวเตอร์ ทางออก- จุดสิ้นสุดของโปรแกรม (ดูตัวอย่าง รูปที่ 7)

แบบฝึกหัด 1. การหาค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงด้วยวิธีสถิต

การวัดจะดำเนินการโดยการกำหนดระยะยืดตัวของสปริงภายใต้แรงกระทำที่มีมวลที่ทราบ ขอแนะนำให้ใช้จ่ายอย่างน้อย 7-10 การวัดการยืดตัวของสปริงโดยค่อยๆ ผ่อนแรง แล้วจึงเปลี่ยนโหลดจาก 20 ก่อน 150 ง. การใช้รายการเมนูของโปรแกรม สถิติผลลัพธ์ของการวัดเหล่านี้จะป้อนลงในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์และค่าสัมประสิทธิ์ของความแข็งของสปริงจะถูกกำหนดโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด ในระหว่างการออกกำลังกายจำเป็นต้องคำนวณค่าความถี่ธรรมชาติของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มสปริงเป็นจุดสำคัญของมวล ซึ่งติดอยู่กับสปริงไร้น้ำหนักที่ยืดหยุ่นอย่างยิ่งและมีความฝืด . มีสองกรณีที่ง่ายที่สุด: แนวนอน (รูปที่ 15, ก) และแนวตั้ง (รูปที่ 15, ข) ลูกตุ้ม

ก) ลูกตุ้มแนวนอน(รูปที่ 15a) เมื่อทำการขนย้ายสินค้า
ออกจากสมดุล ตามจำนวนเงิน กระทำในแนวราบ คืนแรงยืดหยุ่น
(กฎของฮุค).

สันนิษฐานว่ารองรับแนวนอนที่สไลด์โหลด
ในระหว่างการสั่นนั้นราบรื่นอย่างแน่นอน (ไม่มีแรงเสียดทาน)

ข) ลูกตุ้มแนวตั้ง(รูปที่ 15, ข). ตำแหน่งสมดุลในกรณีนี้มีลักษณะตามเงื่อนไข:

ที่ไหน - ขนาดของแรงยืดหยุ่นที่กระทำต่อโหลด
เมื่อสปริงยืดออกอย่างคงที่ ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง
.

ก

รูปที่ 15 ลูกตุ้มสปริง: ก- แนวนอนและ ข- แนวตั้ง

หากสปริงยืดออกและปล่อยโหลด สปริงจะเริ่มแกว่งในแนวตั้ง หากค่าชดเชย ณ จุดใดเวลาหนึ่งคือ
, จากนั้นแรงยืดหยุ่นจะถูกเขียนเป็น
.

ในการพิจารณาทั้งสองกรณี ลูกตุ้มสปริงจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยคาบ

(27)

และความถี่วงจร

. (28)

จากตัวอย่างการพิจารณาลูกตุ้มสปริง เราสามารถสรุปได้ว่าการสั่นของฮาร์มอนิกเป็นการเคลื่อนที่ที่เกิดจากแรงที่เพิ่มขึ้นตามสัดส่วนของการกระจัด . ดังนั้น, ถ้าแรงคืนสภาพเหมือนกฎของฮุค
(เธอได้ชื่อแรงกึ่งยืดหยุ่น ) ระบบต้องทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกในขณะที่ผ่านตำแหน่งสมดุล แรงยึดคืนจะไม่กระทำต่อร่างกาย อย่างไรก็ตาม ร่างกายจะข้ามตำแหน่งสมดุลโดยความเฉื่อย และแรงยึดคืนจะเปลี่ยนทิศทางไปในทางตรงกันข้าม

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

รูปที่ 16 ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์เป็นระบบในอุดมคติในรูปแบบของจุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเกลียวที่มีความยาวยืดออกไม่ได้โดยไร้น้ำหนัก ซึ่งทำการสั่นเล็กน้อยภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วง (รูปที่ 16)

การสั่นของลูกตุ้มดังกล่าวที่มุมโก่งตัวเล็กน้อย
(ไม่เกิน5º) ถือเป็นฮาร์มอนิกและความถี่เป็นวงกลมของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์:

, (29)

และระยะเวลา:

. (30)

2.3. พลังงานของร่างกายระหว่างการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

พลังงานที่จ่ายให้กับระบบสั่นระหว่างการดันครั้งแรกจะเปลี่ยนเป็นระยะ: พลังงานศักย์ของสปริงที่ผิดรูปจะถูกแปลงเป็นพลังงานจลน์ของโหลดที่เคลื่อนที่ และในทางกลับกัน

ปล่อยให้ลูกตุ้มสปริงทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยเฟสเริ่มต้น
, เช่น.
(รูปที่ 17)

รูปที่ 17 กฎการอนุรักษ์พลังงานกล

เมื่อลูกตุ้มสปริงสั่น

ที่ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของโหลดจากตำแหน่งสมดุล พลังงานกลทั้งหมดของลูกตุ้ม (พลังงานของสปริงที่ผิดรูปและมีความฝืด ) เท่ากับ
. เมื่อผ่านตำแหน่งสมดุล (
) พลังงานศักย์ของสปริงจะกลายเป็นศูนย์ และพลังงานกลทั้งหมดของระบบออสซิลเลเตอร์จะถูกกำหนดเป็น
.

รูปที่ 18 แสดงการพึ่งพาของจลนศาสตร์ ศักยภาพ และพลังงานทั้งหมดในกรณีที่การสั่นของฮาร์มอนิกอธิบายโดยฟังก์ชันตรีโกณมิติของไซน์ (เส้นประ) หรือโคไซน์ (เส้นทึบ)

รูปที่ 18 กราฟของการขึ้นกับเวลาของจลนศาสตร์

และพลังงานศักย์สำหรับการสั่นแบบฮาร์มอนิก

จากกราฟ (รูปที่ 18) จะเห็นว่าความถี่ของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์นั้นสูงเป็นสองเท่าของความถี่ธรรมชาติของการสั่นของฮาร์มอนิก

(1.7.1)

หากลูกบอลเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุลเป็นระยะทาง x การยืดตัวของสปริงจะเท่ากับ Δl 0 + x จากนั้นแรงลัพธ์จะรับค่า:

โดยคำนึงถึงสภาวะสมดุล (1.7.1) เราได้รับ:

เครื่องหมายลบแสดงว่าการกระจัดและแรงอยู่ในทิศทางตรงกันข้าม

แรงยืดหยุ่น f มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. เป็นสัดส่วนกับการกระจัดของลูกบอลจากตำแหน่งสมดุล
2. มันมุ่งตรงไปยังตำแหน่งสมดุลเสมอ

เพื่อแจ้งให้ระบบทราบถึงการกระจัด x จำเป็นต้องทำงานต้านแรงยืดหยุ่น:

งานนี้จะสร้างพลังงานสำรองของระบบ:

ภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น ลูกบอลจะเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งสมดุลด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นพลังงานศักย์ของระบบจะลดลง แต่พลังงานจลน์จะเพิ่มขึ้น (เราละเลยมวลของสปริง) เมื่อมาถึงตำแหน่งสมดุลแล้ว ลูกบอลจะเคลื่อนที่ต่อไปด้วยความเฉื่อย นี่เป็นการเคลื่อนไหวช้าและจะหยุดลงเมื่อพลังงานจลน์ถูกแปลงเป็นศักยภาพอย่างสมบูรณ์ จากนั้นกระบวนการเดียวกันนี้จะดำเนินการต่อเมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม หากไม่มีแรงเสียดทานในระบบ ลูกบอลจะแกว่งไปเรื่อย ๆ

สมการของกฎข้อที่สองของนิวตันในกรณีนี้คือ:

ลองแปลงสมการดังนี้:

ขอแนะนำสัญกรณ์ เราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง:

โดยการแทนที่โดยตรง ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบว่าคำตอบทั่วไปของสมการ (1.7.8) มีรูปแบบดังนี้

โดยที่ a คือแอมพลิจูดและ φ คือเฟสเริ่มต้นของการสั่น - ค่าคงที่ ดังนั้นการสั่นของลูกตุ้มสปริงจึงเป็นฮาร์มอนิก (รูปที่ 1.7.2)

ข้าว. 1.7.2. การสั่นแบบฮาร์มอนิก

เนื่องจากคาบของโคไซน์ สถานะต่างๆ ของระบบการสั่นจะถูกทำซ้ำหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง (คาบการสั่น) T ซึ่งในระหว่างนั้นเฟสของการสั่นจะเพิ่มขึ้น 2π คุณสามารถคำนวณระยะเวลาโดยใช้สมการ:

จากที่ดังต่อไปนี้:

จำนวนการสั่นต่อหน่วยเวลาเรียกว่าความถี่:

หน่วยของความถี่คือความถี่ของการสั่นดังกล่าวซึ่งมีระยะเวลา 1 วินาที หน่วยนี้เรียกว่า 1 Hz

จาก (1.7.11) เป็นดังนี้:

ดังนั้น ω 0 คือจำนวนการแกว่งที่เกิดขึ้นใน 2π วินาที ค่า ω 0 เรียกว่าความถี่แบบวงกลมหรือแบบวงกลม ใช้ (1.7.12) และ (1.7.13) เราเขียน:

ความแตกต่าง () ตามเวลา เราได้นิพจน์สำหรับความเร็วของลูกบอล:

จาก (1.7.15) เป็นไปตามที่ความเร็วเปลี่ยนไปตามกฎฮาร์มอนิกและอยู่ข้างหน้าการเปลี่ยนเฟส ½π ความแตกต่าง (1.7.15) เราได้รับความเร่ง:

1.7.2. ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์เรียกว่าระบบอุดมคติที่ประกอบด้วยด้ายไร้น้ำหนักที่ยืดออกไม่ได้ซึ่งร่างกายถูกแขวนไว้ มวลทั้งหมดกระจุกตัวอยู่ที่จุดเดียว

การเบี่ยงเบนของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลนั้นมีลักษณะเฉพาะคือมุม φ ที่เกิดจากเกลียวกับแนวตั้ง (รูปที่ 1.7.3)

ข้าว. 1.7.3. ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุล แรงบิดจะเกิดขึ้นซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล:

ให้เราเขียนสมการสำหรับไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุนสำหรับลูกตุ้มโดยคำนึงถึงโมเมนต์ความเฉื่อยของมันเท่ากับ ml 2:

สมการนี้สามารถนำมาเป็นรูปแบบ:

จำกัด ตัวเองในกรณีของความผันผวนเล็กน้อย sinφ ≈ φ และแนะนำสัญกรณ์:

สมการ (1.7.19) สามารถแสดงได้ดังนี้:

ซึ่งสอดคล้องกับสมการการสั่นของลูกตุ้มสปริง ดังนั้นการแก้ปัญหาจะเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิก:

จาก (1.7.20) เป็นไปตามที่ความถี่การสั่นเป็นวงกลมของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับความยาวและความเร่งของการตกอย่างอิสระ ใช้สูตรสำหรับระยะเวลาการสั่น () และ (1.7.20) เราได้รับความสัมพันธ์ที่ทราบ:

1.7.3. ลูกตุ้มทางกายภาพ

ลูกตุ้มเชิงกายภาพคือร่างกายที่แข็งซึ่งสามารถแกว่งไปรอบๆ จุดคงที่ซึ่งไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางของความเฉื่อย ในตำแหน่งสมดุล จุดศูนย์กลางความเฉื่อยของลูกตุ้ม C อยู่ใต้จุดแขวนลอย O บนแนวดิ่งเดียวกัน (รูปที่ 1.7.4)

ข้าว. 1.7.4. ลูกตุ้มทางกายภาพ

เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุลเป็นมุม φ จะเกิดแรงบิดซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล:

โดยที่ m คือมวลของลูกตุ้ม l คือระยะห่างระหว่างจุดแขวนลอยกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของลูกตุ้ม

ให้เราเขียนสมการสำหรับไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุนสำหรับลูกตุ้ม โดยคำนึงถึงว่าโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากับ I:

สำหรับความผันผวนเล็กน้อย sinφ ≈ φ จากนั้นแนะนำสัญกรณ์:

ซึ่งสอดคล้องกับสมการการสั่นของลูกตุ้มสปริง จากสมการ (1.7.27) และ (1.7.26) ตามด้วยการเบี่ยงเบนเล็กน้อยของลูกตุ้มทางกายภาพจากตำแหน่งสมดุลมันจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกซึ่งความถี่นั้นขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้มโมเมนต์ความเฉื่อย และระยะห่างระหว่างแกนหมุนกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อย ใช้ (1.7.26) คุณสามารถคำนวณระยะเวลาการแกว่ง:

การเปรียบเทียบสูตร (1.7.28) และ () เราได้ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มีความยาว:

จะมีระยะเวลาการสั่นเท่ากันกับลูกตุ้มทางกายภาพที่พิจารณา ปริมาณ (1.7.29) เรียกว่า ความยาวลดลงลูกตุ้มทางกายภาพ ดังนั้นความยาวที่ลดลงของลูกตุ้มทางกายภาพคือความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว ระยะเวลาของการแกว่งซึ่งเท่ากับระยะเวลาของการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพที่กำหนด

จุดบนเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดพักกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อยซึ่งอยู่ที่ระยะความยาวที่ลดลงจากแกนหมุนเรียกว่า ศูนย์แกว่งลูกตุ้มทางกายภาพ ตามทฤษฎีบทของ Steiner โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มทางกายภาพคือ:

โดยที่ I 0 คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางความเฉื่อย แทน (1.7.30) เป็น (1.7.29) เราได้รับ:

ดังนั้น ความยาวที่ลดลงจะมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดแขวนลอยกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของลูกตุ้มเสมอ เพื่อให้จุดแขวนลอยและจุดศูนย์กลางการแกว่งอยู่คนละฟากของจุดศูนย์กลางความเฉื่อย

1.7.4. พลังงานของการสั่นแบบฮาร์มอนิก

ระหว่างการสั่นแบบฮาร์มอนิก จะมีการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะๆ ของพลังงานจลน์ของตัวการสั่น E k และพลังงานศักย์ E p เนื่องจากการกระทำของแรงกึ่งยืดหยุ่น จากพลังงานเหล่านี้ พลังงานทั้งหมด E ของระบบออสซิลเลเตอร์จะถูกเพิ่มเข้าไป:

ลองเขียนนิพจน์สุดท้าย

แต่ k \u003d mω 2 ดังนั้นเราจึงได้รับนิพจน์สำหรับพลังงานทั้งหมดของร่างกายที่สั่น

ดังนั้น พลังงานทั้งหมดของการสั่นแบบฮาร์มอนิกจะคงที่และเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแอมพลิจูดและกำลังสองของความถี่วงกลมของการสั่น

1.7.5. การสั่นสะเทือนที่ชื้น .

เมื่อศึกษาการสั่นของฮาร์มอนิก แรงเสียดทานและแรงต้านที่มีอยู่ในระบบจริงจะไม่ถูกนำมาพิจารณา การกระทำของแรงเหล่านี้เปลี่ยนธรรมชาติของการเคลื่อนไหวอย่างมีนัยสำคัญ การสั่นจะกลายเป็น สีซีดจาง.

ถ้านอกเหนือจากแรงกึ่งยืดหยุ่นแล้ว แรงต้านทานของตัวกลาง (แรงเสียดทาน) กระทำในระบบ กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถเขียนได้ดังนี้:

โดยที่ r คือค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานซึ่งแสดงคุณสมบัติของตัวกลางในการต้านทานการเคลื่อนที่ เราแทนที่ (1.7.34b) เป็น (1.7.34a):

กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงในรูปที่ 1.7.5 เป็นเส้นโค้งทึบ 1 และเส้นประ 2 แสดงการเปลี่ยนแปลงของแอมพลิจูด:

ด้วยแรงเสียดทานที่น้อยมาก ระยะเวลาของการแกว่งแบบลดแรงสั่นสะเทือนจะใกล้เคียงกับระยะเวลาของการสั่นแบบอิสระแบบไม่ลดแรงสั่น (1.7.35.b)

อัตราการลดลงของแอมพลิจูดการสั่นถูกกำหนดโดย ปัจจัยที่ทำให้หมาด ๆ: ยิ่ง β มากเท่าใด เอฟเฟกต์การหน่วงของตัวกลางก็จะยิ่งแรงขึ้นเท่านั้น และแอมพลิจูดก็จะยิ่งลดลงเร็วขึ้นเท่านั้น ในทางปฏิบัติ ระดับของการลดทอนมักจะมีลักษณะเฉพาะ การลดลงของการลดลอการิทึมความหมายโดยค่านี้เท่ากับลอการิทึมธรรมชาติของอัตราส่วนของแอมพลิจูดการสั่นต่อเนื่องสองค่าที่คั่นด้วยช่วงเวลาที่เท่ากับระยะเวลาการสั่น:

;

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงและการลดลงของการหน่วงแบบลอการิทึมจึงสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ที่ค่อนข้างง่าย:

ด้วยการทำให้หมาด ๆ แข็งแกร่ง จะเห็นได้จากสูตร (1.7.37) ว่าระยะเวลาการแกว่งเป็นปริมาณจินตภาพ การเคลื่อนไหวในกรณีนี้เรียกว่าแล้ว เป็นระยะ. กราฟการเคลื่อนที่ตามคาบแสดงในรูปที่ 1.7.6. เรียกว่าการสั่นแบบไม่แดมป์และแดมป์ เป็นเจ้าของ หรือ ฟรี. สิ่งเหล่านี้เกิดขึ้นจากการกระจัดเริ่มต้นหรือความเร็วเริ่มต้น และเกิดขึ้นในกรณีที่ไม่มีอิทธิพลจากภายนอกเนื่องจากพลังงานสะสมในขั้นต้น

1.7.6. การสั่นสะเทือนบังคับ เสียงก้อง .

ถูกบังคับ การสั่นเรียกว่าสิ่งที่เกิดขึ้นในระบบโดยมีส่วนร่วมของแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงตามกฎหมายเป็นระยะ

สมมติว่า นอกจากแรงกึ่งยืดหยุ่นและแรงเสียดทานแล้ว แรงผลักดันภายนอกยังกระทำต่อจุดวัสดุ

,

โดยที่ F 0 - แอมพลิจูด; ω - ความถี่แบบวงกลมของการสั่นของแรงขับ เราสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ (กฎข้อที่สองของนิวตัน):

,

แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับ (1.7.39) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับแอมพลิจูดของแรงขับ และมีความซับซ้อนขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของตัวกลางและความถี่วงกลมของการสั่นตามธรรมชาติและการสั่นแบบบังคับ ถ้าระบบกำหนด ω 0 และ β แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับจะมีค่าสูงสุดที่ความถี่เฉพาะของแรงขับ ซึ่งเรียกว่า กังวาน.

ปรากฏการณ์นี้ - ถึงแอมพลิจูดสูงสุดสำหรับ ω 0 และ β - เรียกว่า เสียงก้อง.

ข้าว. 1.7.7. เสียงก้อง

ในกรณีที่ไม่มีแรงต้าน แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับที่เรโซแนนซ์จะมีขนาดใหญ่มาก ในกรณีนี้ จาก ω res = ω 0 เช่น การสั่นพ้องในระบบที่ไม่มีการหน่วงเกิดขึ้นเมื่อความถี่ของแรงขับสอดคล้องกับความถี่ของการสั่นตามธรรมชาติ การพึ่งพากราฟิกของแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับกับความถี่วงกลมของแรงขับสำหรับค่าต่างๆ ของค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงจะแสดงในรูปที่ 5.

การกำทอนเชิงกลสามารถเป็นได้ทั้งประโยชน์และโทษ ผลกระทบที่เป็นอันตรายของเสียงสะท้อนส่วนใหญ่เกิดจากการทำลายล้างที่สามารถทำให้เกิดได้ ดังนั้นในเทคโนโลยีโดยคำนึงถึงการสั่นสะเทือนที่แตกต่างกันจึงจำเป็นต้องคาดการณ์ล่วงหน้าถึงการเกิดขึ้นของเงื่อนไขการสั่นพ้องมิฉะนั้นอาจมีการทำลายล้างและภัยพิบัติ โดยปกติร่างกายจะมีความถี่การสั่นสะเทือนตามธรรมชาติหลายความถี่ และตามด้วยความถี่เรโซแนนซ์หลายความถี่

หากค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของอวัยวะภายในของบุคคลไม่มากนัก ปรากฏการณ์ก้องที่เกิดขึ้นในอวัยวะเหล่านี้ภายใต้อิทธิพลของการสั่นสะเทือนภายนอกหรือคลื่นเสียงอาจนำไปสู่ผลที่น่าเศร้า: การแตกของอวัยวะ ความเสียหายต่อเอ็น ฯลฯ อย่างไรก็ตามปรากฏการณ์ดังกล่าวไม่ได้ถูกสังเกตภายใต้อิทธิพลภายนอกในระดับปานกลางเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของระบบชีวภาพมีขนาดค่อนข้างใหญ่ อย่างไรก็ตามปรากฏการณ์พ้องภายใต้การกระทำของการสั่นสะเทือนทางกลภายนอกเกิดขึ้นในอวัยวะภายใน เห็นได้ชัดว่านี่เป็นหนึ่งในสาเหตุของผลกระทบด้านลบของการสั่นและการสั่นสะเทือนของคลื่นความถี่วิทยุในร่างกายมนุษย์

1.7.7. การแกว่งตัวเอง

นอกจากนี้ยังมีระบบการสั่นที่ควบคุมการเติมพลังงานที่สูญเปล่าเป็นระยะ ๆ ดังนั้นจึงสามารถผันผวนเป็นเวลานาน

การสั่นแบบไม่ลดความเร็วที่มีอยู่ในระบบใด ๆ ที่ไม่มีตัวแปรภายนอกที่มีอิทธิพลนั้นเรียกว่า การสั่นในตัวเองและระบบเอง สั่นเอง

แอมพลิจูดและความถี่ของการสั่นในตัวเองขึ้นอยู่กับคุณสมบัติในระบบการสั่นในตัวเอง ตรงกันข้ามกับการสั่นแบบบังคับ สิ่งเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดโดยอิทธิพลจากภายนอก

ในหลายกรณี ระบบการสั่นในตัวเองสามารถแสดงได้ด้วยองค์ประกอบหลักสามประการ (รูปที่ 1.7.8): 1) ระบบการสั่นที่เกิดขึ้นจริง; 2) แหล่งพลังงาน 3) ตัวควบคุมการจ่ายพลังงานให้กับระบบการสั่นที่เกิดขึ้นจริง ระบบการสั่นผ่านช่องป้อนกลับ (รูปที่ 6) ทำหน้าที่ควบคุมเรกูเลเตอร์ แจ้งสถานะของระบบนี้ให้เรกูเลเตอร์ทราบ

ตัวอย่างคลาสสิกของระบบกลไกแบบสั่นเองคือนาฬิกาที่ลูกตุ้มหรือเครื่องชั่งเป็นระบบแกว่ง สปริงหรือตุ้มน้ำหนักที่ยกขึ้นเป็นแหล่งพลังงาน และสมอเรือเป็นตัวควบคุมพลังงานที่ป้อนเข้าจากแหล่งพลังงานเข้าสู่นาฬิกา ระบบสั่น

ระบบทางชีววิทยาหลายระบบ (หัวใจ ปอด ฯลฯ) เคลื่อนไหวได้เอง ตัวอย่างทั่วไปของระบบการสั่นในตัวเองด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าคือเครื่องกำเนิดการสั่นในตัวเอง

1.7.8. เพิ่มการสั่นสะเทือนในทิศทางเดียว

พิจารณาการเพิ่มการสั่นแบบฮาร์มอนิกสองตัวที่มีทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกัน:

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \u003d a 2 cos (ω 0 t + α 2)

การสั่นแบบฮาร์มอนิกสามารถระบุได้โดยใช้เวกเตอร์ ซึ่งมีความยาวเท่ากับแอมพลิจูดของการสั่น และทิศทางจะสร้างมุมโดยมีบางแกนเท่ากับเฟสเริ่มต้นของการสั่น หากเวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω 0 การฉายภาพบนแกนที่เลือกจะเปลี่ยนตามกฎฮาร์มอนิก จากสิ่งนี้ เราเลือกแกน X และแสดงการสั่นโดยใช้เวกเตอร์ a 1 และ 2 (รูปที่ 1.7.9)

จากรูปที่ 1.7.6 จะได้ว่า

.

แบบแผนที่แสดงการสั่นแบบกราฟิกเป็นเวกเตอร์บนระนาบเรียกว่าไดอะแกรมเวกเตอร์

ตามมาจากสูตร 1.7.40 หากความแตกต่างของเฟสของการสั่นทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์ แอมพลิจูดของการสั่นที่ได้จะเท่ากับผลรวมของแอมพลิจูดของการสั่นที่เพิ่มเข้ามา หากความแตกต่างของเฟสของการสั่นที่เพิ่มเข้ามาเท่ากับ ดังนั้นแอมพลิจูดของการสั่นที่ได้จะเท่ากับ หากความถี่ของการสั่นที่เพิ่มเข้ามาไม่เหมือนกัน เวกเตอร์ที่สอดคล้องกับการสั่นเหล่านี้จะหมุนด้วยความเร็วต่างกัน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์จะเต้นเป็นจังหวะตามขนาดและหมุนด้วยอัตราที่ไม่คงที่ ผลที่ตามมาจากการเพิ่ม ไม่ได้รับการสั่นแบบฮาร์มอนิก แต่เป็นกระบวนการสั่นที่ซับซ้อน

1.7.9 เต้น

พิจารณาการเพิ่มการสั่นของฮาร์มอนิกสองครั้งในทิศทางเดียวกันซึ่งมีความถี่ต่างกันเล็กน้อย ให้ความถี่ของหนึ่งในนั้นเท่ากับ ω และความถี่ของวินาที ω + ∆ω และ ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d a cos ωt, x 2 \u003d a cos (ω + ∆ω) t

เมื่อเพิ่มนิพจน์เหล่านี้และใช้สูตรสำหรับผลรวมของโคไซน์ เราจะได้รับ:

การสั่น (1.7.41) ถือได้ว่าเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิกที่มีความถี่ ω ซึ่งแอมพลิจูดจะแตกต่างกันไปตามกฎหมาย . ฟังก์ชันนี้มีความถี่เป็นสองเท่าของความถี่ของนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายโมดูล เช่น ด้วยความถี่ ∆ω ดังนั้น ความถี่ของจังหวะแอมพลิจูดที่เรียกว่า ความถี่บีต จะเท่ากับความแตกต่างของความถี่ของการสั่นที่เพิ่มเข้ามา

1.7.10. การเพิ่มการสั่นสะเทือนในแนวตั้งฉากร่วมกัน (ตัวเลข Lissajous)

หากจุดวัสดุแกว่งไปมาทั้งตามแนวแกน x และตามแนวแกน y มันจะเคลื่อนไปตามวิถีโค้ง ให้ความถี่การสั่นเท่ากันและระยะเริ่มต้นของการสั่นครั้งแรกเท่ากับศูนย์ จากนั้นเราเขียนสมการการสั่นในรูปแบบ:

สมการ (1.7.43) คือสมการของวงรี ซึ่งแกนของสมการจะถูกกำหนดโดยพลการเมื่อเทียบกับแกนพิกัด x และ y การวางแนวของวงรีและขนาดของกึ่งแกนขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด a และ b และความแตกต่างของเฟส α พิจารณากรณีพิเศษบางประการ:

(ม=0, ±1, ±2, …). ในกรณีนี้ สมการจะมีรูปแบบ

นี่คือสมการของวงรีซึ่งเป็นแกนที่ตรงกับแกนพิกัดและครึ่งแกนของมันเท่ากับแอมพลิจูด (รูปที่ 1.7.12) ถ้าแอมพลิจูดเท่ากัน วงรีจะกลายเป็นวงกลม

รูปที่ 1.7.12

หากความถี่ของการสั่นในแนวตั้งฉากร่วมกันแตกต่างกันเล็กน้อย ∆ω พวกมันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการสั่นของความถี่เดียวกัน แต่ด้วยความแตกต่างของเฟสที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ในกรณีนี้ สามารถเขียนสมการการสั่นได้

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

และนิพจน์ ∆ωt+α ถือเป็นความแตกต่างของเฟสที่ค่อยๆ เปลี่ยนไปตามเวลาตามกฎเชิงเส้น การเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นในกรณีนี้เป็นไปตามเส้นโค้งที่เปลี่ยนแปลงช้าซึ่งจะใช้รูปแบบที่สอดคล้องกับค่าทั้งหมดของความแตกต่างของเฟสอย่างต่อเนื่องจาก -π ถึง +π

ถ้าความถี่ของการสั่นในแนวตั้งฉากร่วมกันไม่เท่ากัน วิถีการเคลื่อนที่ที่ได้จะเป็นเส้นโค้งที่ค่อนข้างซับซ้อนซึ่งเรียกว่า ตัวเลข Lissajous. ตัวอย่างเช่น ความถี่ของการสั่นที่เพิ่มเข้ามาเกี่ยวข้องเป็น 1 : 2 และความแตกต่างของเฟส π/2 จากนั้นสมการการสั่นจะมีรูปแบบ

x=a คอส ωt, y=b คอส

ในขณะที่ไปตามแกน x จุดจะเคลื่อนที่จากตำแหน่งสุดขั้วหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่ง ตามแนวแกน y ออกจากตำแหน่งศูนย์ ก็จะไปถึงตำแหน่งสุดขั้วหนึ่ง จากนั้นอีกตำแหน่งหนึ่งแล้วย้อนกลับ มุมมองเส้นโค้งแสดงในรูปที่ 1.7.13. เส้นโค้งที่มีอัตราส่วนความถี่เท่ากัน แต่ความแตกต่างของเฟสเท่ากับศูนย์แสดงในรูปที่ 1.7.14 อัตราส่วนของความถี่ของการสั่นที่เพิ่มเข้ามาจะผกผันกับอัตราส่วนของจำนวนจุดตัดกันของตัวเลข Lissajous ที่มีเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด ดังนั้น ด้วยรูปลักษณ์ของตัวเลข Lissajous เราสามารถกำหนดอัตราส่วนของความถี่ของการสั่นที่เพิ่มเข้ามาหรือความถี่ที่ไม่รู้จักได้ หากทราบความถี่ใดความถี่หนึ่ง

รูปที่ 1.7.13

รูปที่ 1.7.14

ยิ่งเศษส่วนตรรกยะที่แสดงอัตราส่วนของความถี่การสั่นสะเทือนเข้าใกล้ความเป็นเอกภาพมากเท่าใด ตัวเลข Lissajous ก็ยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น

1.7.11. การแพร่กระจายคลื่นในตัวกลางยืดหยุ่น

ถ้าในสถานที่ใด ๆ ที่มีการสั่นของอนุภาคขนาดกลางที่ยืดหยุ่น (ของแข็ง ของเหลวหรือก๊าซ) เกิดขึ้น เนื่องจากการทำงานร่วมกันระหว่างอนุภาค การสั่นสะเทือนนี้จะแพร่กระจายในตัวกลางจากอนุภาคหนึ่งไปยังอีกอนุภาคหนึ่งด้วยความเร็วที่แน่นอน υ กระบวนการแพร่กระจายของการสั่นสะเทือนในอวกาศเรียกว่า คลื่น.

อนุภาคของตัวกลางที่คลื่นแพร่กระจายไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับคลื่นในการเคลื่อนที่แบบแปล พวกมันเพียงแต่แกว่งไปรอบๆ ตำแหน่งสมดุลเท่านั้น

ขึ้นอยู่กับทิศทางของการสั่นของอนุภาคที่เกี่ยวข้องกับทิศทางที่คลื่นแพร่กระจาย มี ตามยาวและ ขวางคลื่น ในคลื่นตามยาว อนุภาคของตัวกลางจะแกว่งไปตามการแพร่กระจายของคลื่น ในคลื่นตามขวาง อนุภาคของตัวกลางจะแกว่งในทิศทางที่ตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น คลื่นตามขวางแบบยืดหยุ่นจะเกิดขึ้นได้เฉพาะในตัวกลางที่มีความต้านทานแรงเฉือนเท่านั้น ดังนั้นในตัวกลางที่เป็นของเหลวและก๊าซจึงเกิดคลื่นตามยาวได้เท่านั้น ในตัวกลางที่เป็นของแข็งสามารถเกิดได้ทั้งคลื่นตามยาวและคลื่นตามขวาง

บนมะเดื่อ 1.7.12 แสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคระหว่างการแพร่กระจายในตัวกลางของคลื่นตามขวาง ตัวเลข 1, 2 ฯลฯ หมายถึงอนุภาคที่ล้าหลังกันเป็นระยะทางเท่ากับ (¼ υT) เช่น โดยระยะทางที่คลื่นเดินทางได้ในช่วงหนึ่งในสี่ของระยะเวลาการสั่นของอนุภาค ในขณะที่ค่าเป็นศูนย์ คลื่นซึ่งเคลื่อนที่ไปตามแกนจากซ้ายไปขวาไปถึงอนุภาค 1 ซึ่งเป็นผลมาจากการที่อนุภาคเริ่มเคลื่อนที่ขึ้นจากตำแหน่งสมดุล ลากอนุภาคถัดไปไปด้วย หลังจากผ่านไปหนึ่งในสี่ของช่วงเวลา อนุภาค 1 จะมาถึงตำแหน่งสมดุลบนสุดของอนุภาค 2 หลังจากผ่านไปอีก 1 ใน 4 ของช่วงเวลา ส่วนแรกจะผ่านตำแหน่งสมดุล เคลื่อนจากบนลงล่าง อนุภาคที่สองจะไปถึงบนสุด ตำแหน่ง และอนุภาคที่สามจะเริ่มเคลื่อนที่ขึ้นจากตำแหน่งสมดุล ในช่วงเวลาเท่ากับ T อนุภาคตัวแรกจะครบรอบการแกว่งอย่างสมบูรณ์และจะอยู่ในสถานะการเคลื่อนที่เดียวกันกับช่วงเวลาเริ่มต้น คลื่นตามเวลา T เมื่อผ่านเส้นทาง (υT) จะไปถึงอนุภาค 5

บนรูปที่ 1.7.13 แสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคระหว่างการแพร่กระจายในตัวกลางที่เป็นคลื่นตามยาว ข้อควรพิจารณาทั้งหมดเกี่ยวกับพฤติกรรมของอนุภาคในคลื่นตามขวางสามารถนำมาใช้กับกรณีนี้ได้ด้วยการกระจัดขึ้นและลงแทนที่ด้วยการกระจัดไปทางขวาและซ้าย

จะเห็นได้จากรูปที่ว่าระหว่างการแพร่กระจายของคลื่นตามยาวในตัวกลางจะมีการสร้างการควบแน่นแบบสลับและการทำให้บริสุทธิ์ของอนุภาค (จุดของการควบแน่นจะวนเป็นวงกลมในรูปด้วยเส้นประ) ซึ่งเคลื่อนที่ไปตามทิศทางของการแพร่กระจายคลื่น ด้วยความเร็ว υ

ข้าว. 1.7.15

ข้าว. 1.7.16

บนมะเดื่อ 1.7.15 และ 1.7.16 แสดงการแกว่งของอนุภาคที่มีตำแหน่งและสมดุลอยู่บนแกน x.ในความเป็นจริง ไม่เพียงแต่อนุภาคเท่านั้นที่แกว่งไปตามแกน x,แต่กลุ่มของอนุภาคอยู่ในปริมาตรที่แน่นอน การแพร่กระจายจากแหล่งที่มาของการสั่น กระบวนการคลื่นครอบคลุมส่วนต่างๆ ของพื้นที่มากขึ้นเรื่อยๆ ตำแหน่งของจุดต่างๆ ซึ่งการสั่นจะไปถึงตามเวลา t เรียกว่า หน้าคลื่น(หรือหน้าคลื่น). หน้าคลื่นเป็นพื้นผิวที่แยกส่วนของอวกาศที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการคลื่นออกจากบริเวณที่ยังไม่เกิดการสั่น

ตำแหน่งของจุดที่สั่นในเฟสเดียวกันเรียกว่า พื้นผิวคลื่น . พื้นผิวของคลื่นสามารถวาดผ่านจุดใดก็ได้ในพื้นที่ที่ครอบคลุมโดยกระบวนการของคลื่น ดังนั้นจึงมีพื้นผิวคลื่นจำนวนไม่สิ้นสุด ในขณะที่มีหน้าคลื่นเพียงหน้าเดียวตลอดเวลา พื้นผิวของคลื่นยังคงอยู่นิ่ง (ผ่านตำแหน่งสมดุลของอนุภาคที่แกว่งในเฟสเดียวกัน ). หน้าคลื่นเคลื่อนที่ตลอดเวลา

พื้นผิวของคลื่นสามารถมีรูปร่างใดก็ได้ ในกรณีที่ง่ายที่สุด พวกมันมีรูปร่างเป็นระนาบหรือทรงกลม ดังนั้นคลื่นในกรณีเหล่านี้เรียกว่าแบนหรือทรงกลม ในระนาบคลื่น พื้นผิวคลื่นคือชุดของระนาบที่ขนานกัน ในคลื่นทรงกลม - ชุดของทรงกลมที่มีศูนย์กลาง

ข้าว. 1.7.17

ปล่อยให้ระนาบคลื่นแพร่กระจายไปตามแกน x. จากนั้นจุดทั้งหมดของทรงกลม ตำแหน่ง สมดุลที่มีพิกัดเดียวกัน x(แต่ความแตกต่างของค่าพิกัด ยและ ซี),สั่นในเฟสเดียวกัน

บนรูปที่ 1.7.17 แสดงเส้นโค้งที่ให้ค่าชดเชย ξ จากตำแหน่งสมดุลของจุดที่ต่างกัน xในบางช่วงเวลา ภาพวาดนี้ไม่ควรเป็นภาพที่มองเห็นได้ของคลื่น รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน ξ (x, เสื้อ)สำหรับบางคนคง เจาะจงเวลา ทีกราฟดังกล่าวสามารถสร้างได้ทั้งคลื่นตามยาวและคลื่นตามขวาง

ระยะทาง λ สำหรับคลื่นสั้นที่แพร่กระจายในเวลาเท่ากับคาบการสั่นของอนุภาคของตัวกลางเรียกว่า ความยาวคลื่น. เห็นได้ชัดว่า

โดยที่ υ คือความเร็วคลื่น T คือระยะเวลาการสั่น นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดความยาวคลื่นเป็นระยะทางระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของตัวกลาง โดยความต่างเฟสเท่ากับ 2π (ดูรูปที่ 1.7.14)

การแทนที่ด้วยความสัมพันธ์ (1.7.45) T ถึง 1/ν (ν คือความถี่การแกว่ง) เราได้รับ

สูตรนี้สามารถมาจากการพิจารณาต่อไปนี้ ในหนึ่งวินาที แหล่งกำเนิดคลื่นทำการสั่น ν โดยสร้าง "ยอด" หนึ่ง "ยอด" และ "ราง" ของคลื่นในตัวกลางระหว่างการสั่นแต่ละครั้ง เมื่อแหล่งที่มาเสร็จสิ้นการสั่น ν -th "สันเขา" แรกจะมีเวลาผ่านเส้นทาง υ ดังนั้น ν "ยอด" และ "รางน้ำ" ของคลื่นจะต้องพอดีกับความยาว υ

1.7.12. สมการคลื่นระนาบ

สมการคลื่นเป็นนิพจน์ที่ให้การเคลื่อนที่ของอนุภาคที่สั่นเป็นฟังก์ชันของพิกัด x, y, z และเวลา ที :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(หมายถึงพิกัดตำแหน่งสมดุลของอนุภาค). ฟังก์ชันนี้จะต้องเป็นระยะตามเวลา ที และสัมพันธ์กับพิกัด x, y, z . ช่วงเวลาตามด้วยความจริงที่ว่าจุดที่แยกออกจากกันในระยะทาง λ , ผันผวนไปในทางเดียวกัน.

ค้นหาประเภทของฟังก์ชัน ξ ในกรณีของระนาบคลื่น สมมติว่าการแกว่งเป็นแบบฮาร์มอนิก เพื่อให้ง่ายขึ้น เรากำหนดแกนพิกัดเพื่อให้แกน x สอดคล้องกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น จากนั้นพื้นผิวของคลื่นจะตั้งฉากกับแกน x และเนื่องจากทุกจุดบนผิวคลื่นแกว่งเท่ากัน การกระจัดจึงเกิดขึ้น ξ จะขึ้นอยู่กับ x และ ที:

ξ = ξ (x, เสื้อ) .

รูปที่ 1.7.18

ให้การสั่นของจุดที่อยู่ในระนาบ x = 0 (รูปที่ 1.7.18) มีแบบฟอร์ม

ให้เราค้นหาประเภทของการสั่นของจุดในระนาบที่สอดคล้องกับค่าโดยพลการ x . เพื่อหลีกหนีจากเครื่องบิน x=0 คลื่นต้องใช้เวลา ( υ คือความเร็วของการแพร่กระจายคลื่น) ดังนั้น การสั่นของอนุภาคที่อยู่ในระนาบ x , จะล้าหลังในเวลาโดย τ จากการสั่นของอนุภาคในระนาบ x = 0 , เช่น. จะมีลักษณะ

ดังนั้น, สมการคลื่นระนาบ(ตามยาวและตามขวาง) เผยแพร่ในทิศทางของแกน x ดังต่อไปนี้:

นิพจน์นี้กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างเวลา t และสถานที่นั้น x ซึ่งเฟสมีค่าคงที่ ค่า dx/dt ที่ได้จะให้ความเร็วที่ค่าเฟสที่กำหนดเคลื่อนที่ เราได้รับความแตกต่างของนิพจน์ (1.7.48)

สมการของคลื่นที่แพร่กระจายไปในทิศทางลดลง x :

เมื่อได้สูตร (1.7.53) เราสันนิษฐานว่าแอมพลิจูดการสั่นไม่ได้ขึ้นอยู่กับ x . สำหรับคลื่นระนาบ จะสังเกตได้เมื่อพลังงานคลื่นไม่ถูกดูดซับโดยตัวกลาง เมื่อแพร่กระจายในตัวกลางที่ดูดซับพลังงาน ความเข้มของคลื่นจะค่อยๆ ลดลงตามระยะห่างจากแหล่งกำเนิดของการสั่น - สังเกตการลดทอนของคลื่น ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าในตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกัน การหน่วงดังกล่าวเกิดขึ้นตามกฎเลขชี้กำลัง:

ตามลำดับ สมการคลื่นระนาบโดยพิจารณาจากการลดแรงสั่นสะเทือนมีรูปแบบดังนี้

(1.7.54)

(a 0 คือแอมพลิจูดที่จุดต่างๆ ของระนาบ x = 0)