Резиновый шар, мыльный пузырь могут оставаться в равновесии лишь при условии, чтобы давление воздуха внутри них было на определенную величину больше давления наружного воздуха. Вычислим превышение внутреннего давления над наружным.

Пусть мыльный пузырь имеет радиус и пусть избыток давления внутри него над наружным давлением равняется Чтобы увеличить объем пузыря на исчезающе малую величину нужно затратить работу которая идет на увеличение свободной энергии поверхности пузыря и равна где а - поверхностное натяжение мыльной пленки, величина одной из поверхностей пузыря (разностью радиусов внутренней и наружной поверхностей для простоты пренебрегаем). Итак, имеем уравнение

с другой стороны,

Подставляя выражения для в вышеприведенное уравнение, получаем:

По закону противодействия такую же величину имеет давление, производимое пузырем на воздух, находящийся внутри него.

Если вместо пузыря, имеющего две поверхностные пленки, будем рассматривать каплю, у которой только одна поверхность, то придем к выводу, что поверхностная пленка производит на внутренность капли давление, равное

где радиус капли.

Вообще вследствие кривизны поверхностного слоя жидкости создается избыточное давление: положительное под выпуклой поверхностью и отрицательное под вогнутой поверхностью. Таким образом, при наличии кривизны поверхностный слой жидкости становится источником силы, направленной от выпуклой стороны слоя к вогнутой стороне.

Рис. 226. К пояснению формулы Лапласа.

Лаплас дал формулу для избыточного давления пригодную для случая, когда поверхность жидкости имеет любую форму, допускаемую физической природой жидкого состояния. Эта формула Лапласа имеет следующий вид:

где имеют следующее значение. В какой-нибудь точке поверхности жидкости (рис. 226) нужно вообразить нормаль и через эту нормаль провести две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекут поверхность жидкости по кривым и Радиусы кривизны этих кривых в точке и обозначаются через

Легко видеть, что из формулы Лапласа для плоской поверхности жидкости получается а для шаровой поверхности как это мы вывели раньше.

Если бы поверхность была «седлообразной», то кривые и лежали бы по разные стороны от касательной плоскости в

точке тогда радиусы имели бы разные знаки. В геометрии доказывается, что у так называемых минимальных поверхностей т. е. имеющих при данном контуре наименьшую возможную площадь, сумма всюду равняется нулю. Как раз этим свойством обладают мыльные пленки, затягивающие какой-нибудь проволочный контур.

Пена есть собрание пузырей, имеющих общие стенки. Кривизна такой стенки (определяемая выражением + пропорциональна разности давлений по обе стороны стенки.

Если конец чистой стеклянной палочки погрузить в чистую воду и вынуть палочку, то увидим на конце ее висящую каплю воды. Очевидно, что молекулы воды сильнее притягиваются к молекулам стекла, чем друг к другу.

Подобно этому медной палочкой можно поднять каплю ртути. В таких случаях говорят, что твердое тело смачивается жидкостью.

Иное будет, если опустим чистую стеклянную палочку в чистую ртуть или если стеклянную палочку, покрытую жиром, опустим в воду: здесь палочка, вынутая из жидкости, не уносит ни капли этой последней. В этих случаях говорят, что жидкость не смачивает твердого тела.

Рис. 227. Стрелками показаны направления сил, с которыми поверхностный слой действует на находящийся под ним столбик жидкости.

Если погрузить в воду узкую чистую стеклянную трубку, то вода в трубке поднимется на известную высоту вопреки силе тяжести (рис. 227, а). Узкие трубки называются капиллярными, или капиллярами, а отсюда и самое явление носит название капиллярности. Жидкости, смачивающие стенки капиллярной трубки, претерпевают капиллярное поднятие. Жидкости, не смачивающие стенок капилляра (например, ртуть в стеклянной трубке), претерпевают, как показано на рис. 227, б, опускание. Капиллярные поднятия и опускания бывают тем больше, чем уже капилляры.

Капиллярные поднятия и опускания вызываются избыточным давлением, которое возникает вследствие искривления поверхности жидкости. В самом деле, в трубке, которая смачивается жидкостью, жидкость образует вогнутый мениск. По сказанному

в предыдущем параграфе поверхность такого мениска будет развивать силу, направленную снизу вверх, и эта сила будет поддерживать в трубке столбик жидкости вопреки действию тяжести. Наоборот, в трубке, которая не смачивается жидкостью, получится выпуклый мениск; он даст силу, направленную вниз и, следовательно, понижающую уровень жидкости,

Выведем зависимость между поверхностным натяжением а жидкости, ее плотностью радиусом трубки и высотой столбика, поднявшегося в трубке. Пусть жидкость «вполне смачивает» стенки трубки (как вода стеклянную трубку), так что в месте встречи с трубкой поверхность жидкости является касательной к поверхности трубки. Это касание имеет место по контуру, длина которого есть Благодаря поверхностному натяжению контур будет развивать силу и эта сила, приложенная к столбику, будет уравновешивать силу его тяжести, равную где ускорение тяжести.

Таким образом,

т. е. высота капиллярного поднятия пропорциональна поверхностному натяжению и обратно пропорциональна радиусу трубки и плотности жидкости.

Ту же формулу (11) для капиллярного поднятия можно получить как следствие формулы Лапласа (10) или (в рассматриваемом случае симметричной поверхности) формулы (9). Можно рассуждать так: в жидкости под вогнутой поверхностью давление понижено на величину поэтому при равновесии, когда давление на уровне свободной поверхности жидкости, налитой в сосуд, равно давлению жидкости в капилляре на том же уровне, столб жидкости в капилляре должен иметь такую высоту, чтобы его давление уравновешивало дефицит давления, создаваемого вогнутостью поверхности мениска. Стало быть, откуда и получается формула (11).

Рассуждая аналогично, убеждаемся, что когда жидкость «совершенно не смачивает» стенок капилляра, при равновесии она будет находиться в капилляре на уровне, пониженном на высоту, которая определяется той же формулой (11).

Измерение капиллярного поднятия является одним из простых способов определения величины а.

На рис. 228 изображено капиллярное поднятие жидкости между двумя пластинками, составляющими двугранный угол. Нетрудно сообразить, что поднявшаяся жидкость будет сверху ограничена

гиперболой; асимптотами этой гиперболы будут служить ребра двугранного угла и линия, лежащая на уровне жидкости в сосуде.

Рассмотрим условия равновесия жидкости, соприкасающейся с твердой стенкой (рис. 229). Обозначим избыточную свободную энергию каждого квадратного сантиметра поверхности твердого тела 3, граничащего с вакуумом или газом 2, через Когда слой какой-либо жидкости смачивая поверхность твердого тела, растекается по ней, поверхность раздела твердое тело - газ заменяется поверхностью раздела твердое тело - жидкость, причем свободная энергия этой новой поверхности будет уже иная, Очевидно, что убыль свободной энергии каждого квадратного сантиметра поверхности твердого тела равна работе сил, под действием которых 1 см периметра жидкой пленки перемещается на расстояние в 1 см по направлению, перпендикулярному к периметру пленки. Стало быть, разность можно рассматривать как силу, приложенную к 1 см периметра жидкой пленки, действующую касательно к поверхности твердого тела и побуждающую жидкость продвигаться по поверхности твердого тела. Однако растекание жидкости по поверхности твердого тела сопровождается увеличением поверхности между жидкостью 1 и вакуумом или газом 2, чему пр епятствует повер хностное натяжение жидкости В общем случае при неполном смачивании жидкостью твердого тела сила (как это показано на рис. 229, а) направлена под некоторым углом к поверхности твердого тела; этот угол называют краевым углом. Мы видим, таким образом, что жидкость, граничащая с твердым телом, будет находиться в равновесии тогда, когда

Отсюда находим, что краевой угол, под которым при равновесии свободная поверхность жидкости встречает поверхность

Рис. 228. Капиллярное поднятие жидкости между пластинками, составляющими двугранный угол.

Рис. 229. Жидкость смачивает твердую стенку (а); не смачивает твердую стенку

твердого тела, определяется формулой

По смыслу вывода формулы (12) ясно, что эта формула остается справедливой и для случая, когда жидкость не смачивает твердого тела (рис. 229, б); тогда краевой угол будет тупым; отсутствие смачивания означает, что (т. е. свободная энергия твердого тела на его поверхности раздела с вакуумом или газом меньше, чем на поверхности раздела того же тела с жидкостью; иначе говоря, в этом случае при продвижении жидкости по поверхности твердого тела работа не будет производиться, но, напротив, работу нужно будет затратить, чтобы осуществить такое продвижение жидкости).

При полном смачивании краевой угол а при полном отсутствии смачивания Краевой угол зависит от природы соприкасающихся веществ и от температуры. Если наклонять стенку сосуда, краевой угол от этого не меняется.

Формула (12) объясняет форму капли, лежащей на горизонтальной плоскости. На твердой подставке, которая смачивается жидкостью, капля принимает форму, изображенную на рис. 230; если же подставка не смачивается, то получается форма капли, изображенная на рис. 231, где краевой угол - тупой.

Рис. 230. Капля смачивающей жидкости.

Рис. 231. Капля несмачивающей жидкости.

Совершенно чистое стекло вполне смачивается водой, этиловым спиртом, метиловым спиртом, хлороформом, бензолом. Для ртути на чистом стекле краевой угол составляет 52° (для свежеобразованной капли 41°), для скипидара 17°, для эфира 16°.

Когда жидкость вполне смачивает подставку, то капли не возникает, а жидкость растекается по всей поверхности. Это происходит, например, с каплей воды на абсолютно чистой стеклянной пластинке. Но обыкновенно стеклянная пластинка бывает несколько загрязнена, что препятствует растеканию капли и создает измеримый краевой угол.

Рис. 232. Масляная капля на воде

Соображения, на основе которых была получена формула можно применить также и к случаю, когда вместо твердого тела мы имеем вторую жидкость, например, когда масляная капля плавает на поверхности воды (рис. 232). Но в этом случае направления сил Уже не противоположны; при соприкосновении жидкости с твердым телом нормальная составляющая поверхностного

натяжения уравновешивается сопротивлением твердой стенки, а при соприкосновении жидкостей это не имеет места; поэтому в данном случае условие равновесия должно быть записано иначе, а именно как равенство полной силы и геометрической суммы (взятой с обратным знаком) сил

Если, например, на воде плавает оливковое масло, то дин/см, дин/см и дан/см. Таким образом, здесь поверхностное натяжение на границе воздуха и воды больше суммы обоих поверхностных натяжений, которые имеет масло по отношению как к воздуху, так и к воде; мы будем поэтому иметь неограниченное растекание капли. Толщина масляного слоя дойдет до размеров одной молекулы (примерно см), а затем слой станет распадаться. Но если вода загрязнена, то ее поверхностное натяжение делается меньше, и тогда на поверхности может оставаться большая масляная капля, после того как по воде распространился очень тонкий слой масла.

Жидкость, проникающая вследствие действия молекулярных сил в тонкий зазор между двумя поверхностями твердых тел, оказывает на эти поверхности расклинивающее действие. Расклинивающее действие тонких слоев жидкости было экспериментально доказано искусными опытами проф. Б. В. Дерягина, который разработал также теорию этого явления и объяснил на основе расклинивающего действия жидкости эффект Ребиндера (§ 46).

При достаточно большом формула Бернулли дает громоздкие вычисления. Поэтому в таких случаях применяют локальную теорему Лапласа.

Теорема (локальная теорема Лапласа). Если вероятностьpпоявления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
того, что событие А появится вnнезависимых испытаниях ровноkраз, приближенно равна значению функции:

,

.

Имеются таблицы, в которых находятся значения функции
, для положительных значенийx.

Заметим, что функция
четна.

Итак, вероятность того, что событие А появится в nиспытаниях ровноkраз приближенно равна

, где
.

Пример. На опытном поле посеяли 1500 семян. Найти вероятность того, что всходы дадут 1200 семян, если вероятность того, что зерно взойдет, равна 0,9.

Решение.

Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие А появится не менееk1 раз и не болееk2 раз вычисляется по интегральной теореме Лапласа.

Теорема (интегральная теорема Лапласа). Если вероятность р наступления события а в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А вnиспытаниях появится не менееk 1 раз и не болееk 2 раз приближенно равна значению определенного интеграла:

.

Функция
называется интегральной функцией Лапласа, она нечетна и ее значение находятся по таблице для положительных значенийx.

Пример. В лаборатории из партии семян, имеющих всхожесть 90%, высеяно 600 семян, давших всходы, не менее 520 и не более 570.

Решение.

Формула Пуассона

Пусть производится nнезависимых испытаний, вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р. Как мы уже говорили, вероятность появления события А вnнезависимых испытаниях ровноkраз можно найти по формуле Бернулли. При достаточно большомnиспользуют локальную теорему Лапласа. Однако, эта формула непригодна, когда вероятность появления события в каждом испытании мала или близка к 1. А при р=0 или р=1 вообще не применима. В таких случаях пользуются теоремой Пуассона.

Теорема (теорема Пуассона). Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и близка к 0 или 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что вnнезависимых испытаниях событие А появится ровноkраз находится по формуле:

.

Пример. Рукопись объемом в тысячу страниц машинописного текста содержит тысячу опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит хотя бы одну опечатку.

Решение.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте классическое определение вероятности события.

Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.

Дайте определение полной группы событий.

Запишите формулу полной вероятности.

Запишите формулу Бейеса.

Запишите формулу Бернулли.

Запишите формулу Пуассона.

Запишите локальную формулу Лапласа.

Запишите интегральную формулу Лапласа.

Тема 13. Случайная величина и ее числовые характеристики

Литература: ,,,,,.

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Так принято называть переменную величину, которая принимает свои значения в зависимости от случая. Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. Случайные величины принято обозначать X,Y,Z.

Случайная величина Х называется непрерывной (дискретной), если она может принимать лишь конечное или счетное число значений. Дискретная случайная величина Х определена, если даны все ее возможные значения х 1 , х 2 , х 3 ,…х n (число которых может быть как конечным, так и бесконечным) и соответствующие вероятности р 1 , р 2 , р 3 ,…р n .

Закон распределения дискретной случайной величины Х обычно задается таблицей:

Первая строка состоит из возможных значений случайной величины Х, а во второй строке указаны вероятности этих значений. Сумма вероятностей, с которыми случайная величина Х принимает все свои значения, равна единице, то есть

р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки М 1 (х 1 ,р 1), М 2 (х 2 ,р 2), М 3 (х 3 ,р 3),…М n (x n ,p n) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения случайной величины Х.

Пример. Дискретная величина Х задана следующим законом распределения:

Требуется вычислить: а) математическое ожидание М(Х), б) дисперсию D(X), в) среднее квадратическое отклонение σ.

Решение. а) Математическое ожидание М(Х), дискретной случайной величины Х называется сумма попарных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности этих возможных значений. Если дискретная случайная величина Х задана с помощью таблицы (1), то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

М(Х)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)

Математическое ожидание М(Х) называют также средним значением случайной величины Х. Применяя (2), получим:

М(Х)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.

б) Если М(Х) есть математическое ожидание случайной величины Х, то разность Х-М(Х) называется отклонением случайной величины Х от среднего значения. Эта разность характеризует рассеяние случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Таким образом, по самому определению имеем:

D(X)=M 2 . (3)

Вычислим все возможные значения квадрата отклонения.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Чтобы вычислить дисперсию D(X), составим закон распределения квадрата отклонения и затем применим формулу (2).

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Следует отметить, что для вычисления дисперсии часто используют следующее свойство: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания, то есть

D(X)-M(X 2)- 2 . (4)

Чтобы вычислить дисперсию по формуле (4), составим закон распределения случайной величины Х 2:

Теперь найдем математическое ожидание М(Х 2).

М(Х 2)= (48) 2 ∙0,2+(53) 2 ∙0,4+(57) 2 ∙0,3 +(61) 2 ∙0,1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Применяя (4), получим:

D(X)=2931,2-(54) 2 =2931,2-2916=15,2.

Как видно, мы получили такой же результат.

в) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Поэтому для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения более удобно рассматривать величину, которая равна арифметическому значению корня квадратного из дисперсии, то есть
. Эту величину называют средним квадратическим отклонением случайной величины Х и обозначают через σ. Таким образом

σ=
. (5)

Применяя (5), имеем: σ=
.

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсияD(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4;7).

Решение .Известно, что если случайная величина Х задана дифференциальной функциейf(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), вычисляется по формуле

. (1)

Если величина Х распределена по нормальному закону, то дифференциальная функция

,

где а =М(Х) и σ=
. В этом случае получаем из (1)

. (2)

Формулу (2) можно преобразовать, используя функцию Лапласа.

Сделаем подстановку. Пусть
. Тогда
илиdx =σ∙ dt .

Следовательно
, гдеt 1 иt 2 соответствующие пределы для переменнойt.

Сократив на σ, будем иметь

Из введенной подстановки
следует, что
и
.

Таким образом,

(3)

По условию задачи имеем: а=5; σ=
=0,8; α=4; β=7. Подставив эти данные в (3), получим:

=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=

=Ф(2,5)+Ф(1,25)=0,4938+0,3944=0,8882.

Пример. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) а=40 см, среднее квадратическое отклонение σ=0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение .Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-δ,а+δ), где а=40 и δ=0,6.

Положив в формулу (3) α= а-δ и β= а+δ, получим

. (4)

Подставив в (4) имеющиеся данные, получим:

Следовательно, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.

Пример. Диаметр деталей, изготавливаемых заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина диаметраа=2,5 см, среднее квадратическое отклонение σ=0,01. В каких границах можно практически гарантировать длину диаметра этой детали, если за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973?

Решение. По условию задачи имеем:

а=2,5; σ=0,01; .

Применяя формулу (4), получаем равенство:

или
.

По таблице 2 находим, что такое значение функция Лапласа имеет при х=3. Следовательно,
; откуда σ=0,03.

Таким образом, можно гарантировать, что длина диаметра будет изменяться в пределах от 2,47 до 2,53 см.

Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур. Если поверхность жидкости не плоская, то стремление её к сокращению приведёт к возникновению давления, дополнительного к тому, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой поверхности это дополнительное давление положительно, в случае вогнутой поверхности – отрицательно. В последнем случае поверхностный слой, стремясь сократиться, растягивает жидкость. Работа преподаватель курса кадровое делопроизводство москва .

Величина добавочного давления, очевидно, должна возрастать с увеличением коэффициента поверхностного натяжения α и кривизны поверхности. Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости. Для этого рассечём сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью на два полушария (рис. 5).

Сечение сферической капли жидкости.

Из-за поверхностного натяжения оба полушария притягиваются друг к другу с силой, равной:

Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности S=πR2 и следовательно, обуславливает дополнительное давление:

∆p=F/S=(2πRα)/ πR2=2α/R (4)

Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяется радиусом сферы R. Очевидно, что чем меньше R, тем больше кривизна сферической поверхности. Кривизну произвольной поверхности принято характеризовать так называемой средней кривизной, которая может оказаться различной для разных точек поверхности.

Средняя кривизна определяется через кривизну нормальных сечений. Нормальным сечением поверхности в некоторой точке называется линия пересечения этой поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке. Для сферы любое нормальное сечение представляет собой окружность радиуса R (R-радиус сферы). Величина H=1/R даёт кривизну сферы. В общем случае различные сечения, проведённые через одну и ту же точку, имеют различную кривизну. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны

H=0,5(1/R1+1/R2) (5)

для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и тоже значение. Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке.

Радиусы R1 и R2 в формуле (5) – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находиться под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен, если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен.

Для сферы R1=R2=R, так что в соответствии с (5) H=1/R. Заменив в (4) 1/R через H, получим, что

Лаплас доказал, что формула (6) справедлива для поверхности любой формы, если под H понимать среднюю кривизну поверхности в это точке, под которой определяется дополнительное давление. Подставив в (6) выражение (5) для средней кривизны, получим формулу для добавочного давления под произвольной поверхностью:

∆p=α(1/R1+1/R2) (7)

Она называется формулой Лапласа.

Добавочное давление (7) обуславливает изменение уровня жидкости в капилляре, вследствие чего называется иногда капиллярным давлением.

Существование краевого угла приводит к тому, что вблизи стенок сосуда наблюдается искривление поверхности жидкости. В капилляре или в узком зазоре между двумя стенками искривленной оказывается вся поверхность. Если жидкость смачивает стенки, поверхность имеет вогнутую форму, если не смачивает – выпуклую (рис. 4). Такого рода изогнутые поверхности жидкости называются менисками.

Если капилляр погрузить одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то под искривлённой поверхностью в капилляре давление будет отличаться от давления по плоской поверхностью в широком сосуде на величину ∆p, определённую формулой (7). В результате при смачивании капилляра уровень жидкости в нём будет выше, чем в сосуде, при несмачивании – ниже.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Курсовая работа

По курсу «Подземная гидромеханика»

Тема: «Вывод уравнения Лапласа. Плоские задачи теории фильтрации»

Введение

1. Дифференциальные уравнения движения сжимаемой и несжимаемой жидкости в пористой среде. Вывод уравнения Лапласа.

2.1 Приток к совершенной скважине

2.1.1 Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной

2.1.2 Приток к группе скважин с удаленным контуром питания

2.1.3 Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания

2.1.4 Приток к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы

2.1.5 Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания

2.1.6 Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин

2.1.6.1 Приток к скважинам кольцевой батареи

2.1.6.2 Приток к прямолинейной батареи скважин

2.1.7 Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений

Литература

Введение

Подземная гидромеханика - наука о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах - теоретическая основа разработки нефтяных и газовых месторождений, одна из профилирующих дисциплин в учебном плане промыслового и геологического факультетов нефтяных вузов.

В основе подземной гидравлики лежит представление о том, что нефть, газ и вода, заключенные в пористой среде, составляют единую гидравлическую систему.

Теоретической основой ПГД является теория фильтрации - наука, описывающая данное движение флюида с позиций механики сплошной среды, т.е. гипотезы сплошности (неразрывности) течения.

Особенностью теории фильтрации нефти и газа в природных пластах является одновременное рассмотрение процессов в областях, характерные размеры которых различаются на порядки: размер пор (до десятков микрометров), диаметр скважин (до десятков сантиметров), толщины пластов (до десятков метров), расстояния между скважинами (сотни метров), протяженность месторождений (до сотен километров).

В данной курсовой работе выводится основное уравнение Лапласа и рассматриваются плоские задачи теории фильтрации, а так же их решение.

1. Дифференциальные уравнения движения сжимаемой и несжимаемой жидкости в пористой среде. Вывод уравнения Лапласа

При выводе дифференциального уравнения движения сжимаемой жидкости исходными уравнениями являются следующие:

закон фильтрации жидкости; в качестве закона фильтрации принимаем линейный закон фильтрации, выражающийся формулами (3.1)

, (3.1)

уравнение неразрывности (3.2)

, (3.2)

уравнение состояния. Для капельной сжимаемой жидкости уравнение состояния может быть представлено в виде (3.3)

, (3.3) - плотность жидкости при атмосферном давлении .

Подставляя в уравнение неразрывности (3.2) вместо проекций скорости фильтрации vx, vy и vz их значения из линейного закона, выражающегося формулой (3.1), получим:

, (3.4)

уравнения состояния (3.3) имеем:

, (3.5) , , . (3.6)

Подставляя эти значения частных производных

, и в уравнение (3.4), получим:

Вводя оператор Лапласа

уравнение (3.7) более кратко можно написать в виде

, (3.8)

Учитывая, что

, (3.9)

уравнение (3.7) можно приближенно представить в виде:

,(3.10)

Уравнение (3.7) или приближенное заменяющее его уравнение (3.10) есть искомое дифференциальное уравнение неустановившегося движения сжимаемой жидкости в пористой среде. Упомянутые уравнения имеют вид «уравнения теплопроводности», интегрирование которого при различных начальных и граничных условиях рассматривается в каждом курсе математической физики.

Решение различных задач о неустановившемся движении однородной сжимаемой жидкости в пористой среде, основанное на интегрировании уравнения (3.7) при различных начальных и граничных условиях, дается в книгах В. Н. Щелкачева, И. А. Чарного и М.Маскета. При установившемся движении сжимаемой жидкости

и вместо уравнения (3.7) имеем: , (3.11)

Уравнение (3.11) называется уравнением Лапласа.

При установившейся и неустановившейся фильтрации несжимаемой жидкости плотность жидкости постоянна следовательно, величина, стоящая в правой части уравнения (3.4), равна нулю. Сокращая левую часть этого уравнения на постоянную

и выполнив дифференцирование, получим: , (3.12)

Таким образом, установившаяся и неустановившаяся фильтрация несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа (3.12).

2. Плоские задачи теории фильтрации

При разработке нефтяных и газовых месторождений (НГМ) возникает два вида задач:

1. Задаётся дебит скважин и требуется определить необходимое для этого дебита забойное давление и, кроме того, давление в любой точке пласта. В данном случае величина дебита определяется значением предельной для имеющихся коллекторов депрессией, при которой ещё не наступает их разрушение, или прочностными характеристиками скважинного оборудования, или физическим смыслом. Последнее означает, например, невозможность установления нулевого или отрицательного забойного давления.

2. Задаётся забойное давление и требуется определить дебит. Последний вид условия встречается наиболее часто в практике разработки НГМ. Величина забойного давления определяется условиями эксплуатации. Например, давление должно быть больше давления насыщения для предотвращения дегазации нефти в пласте или выпадения конденсата при разработке газоконденсатных месторождений, что снижает продуктивные свойства скважин. Наконец, если возможен вынос песка из пласта на забой скважины, то скорость фильтрации на стенке скважины должна быть меньше некоторой предельной величины.

Замечено, что при эксплуатации группы скважин в одинаковых условиях, т.е. с одинаковым забойным давлением, дебит всего месторождения растёт медленнее увеличения числа новых скважин с теми же забойными условиями (рис.4.1). Увеличение дебита при этом требует понижения забойного давления.

Для решения поставленных задач решим задачу плоской интерференции (наложения) скважин. Предположим, что пласт - неограниченный, горизонтальный, имеет постоянную мощность и непроницаемые подошву и кровлю. Пласт вскрыт множеством совершенных скважин и заполнен однородной жидкостью или газом. Движение жидкости - установившееся, подчиняется закону Дарси и является плоским. Плоское движение означает, что течение происходит в плоскостях, параллельных между собой и картина движения во всех плоскостях идентична. В связи с этим разбирается течение в одной из этих плоскостей - в основной плоскости течения.

Решение задач будем строить на принципе суперпозиции (наложения) потоков. Основанный на этом принципе метод суперпозиции заключается в следующем.

При совместном действии в пласте нескольких стоков (эксплуатационных скважин) или источников (нагнетательных скважин) потенциальная функция, определяемая каждым стоком (источником), вычисляется по формуле для единственного стока (источника). Потенциальная функция, обусловленная всеми стоками (источниками), вычисляется путём алгебраического сложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции. Суммарная скорость фильтрации определяется как векторная сумма скоростей фильтрации, вызванная работой каждой скважины (рис.4.2b).

Пусть в неограниченном пласте действует n стоков с положительным массовым дебитом G и источников с отрицательным дебитом (рис. 4.2a).. Поток в окрестности каждой скважины в этом случае плоскорадиален и потенциал

,(4.1)

Локальная теорема Муавра -Лапласа. 0 и 1, то вероятность Р т п того , что событие А произойдет т раз в п независимых испытаниях при достаточно большом числе п, приближенно равна

- функция Гаусса и

Чем больше и, тем точнее приближенная формула (2.7), называемая локальной формулой Муавра-Лапласа. Приближенные значения вероятности Р тпУ даваемые локальной формулой (2.7), на практике используются как точные при пру порядка двух и более десятков, т.е. при условии пру > 20.

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы (2.7), составлена таблица значений функции /(х) (табл. I, приведенная в приложениях). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду очевидные свойства функции /(х) (2.8).

• 1. Функция /(х) является четной , т.е. /(-х) = /(х).
• 2. Функция /(х) - монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х -> со /(х) -» 0.
• (Практически можно считать, что уже при х > 4 /(х) « 0.)

[> Пример 2.5. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна р = 80/100 = 0,8. Так как п = 100 достаточно велико (условие пру = = 100 0,8(1-0,8) = 64 > 20 выполнено), то применяем локальную формулу Муавра - Лапласа.

Вначале определим по формуле (2.9)

Тогда по формуле (2.7)

(значение /(2,50) найдено по табл. I приложений). Весьма малое значение вероятности /300,400 не должно вызывать сомнения, так как кроме события

«ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,..., «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице. ?

Пусть в условиях примера 2.5 необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность искомого события

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра - Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким. В таких случаях используется следующая теорема.

Интегральная теорема Муавра - Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того , что число т наступления события А в п независимых испытаниях заключено в пределах от а до Ь (включительно ), при достаточно большом числе п приближенно равна

- функция (или интеграл вероятностей) Лапласа",

(Доказательство теоремы приведено в параграфе 6.5.)

Формула (2.10) называется интегральной формулой Муавра-Лапласа. Чем больше п, тем точнее эта формула. При выполнении условия пру > > 20 интегральная формула (2.10), так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.

Функция Ф(дг) табулирована (см. табл. II приложений). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Ф(х).

1. Функция ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х) = -Ф(х).

? Сделаем замену переменной? = -г. Тогда (к =

= -(12. Пределами интегрирования но переменной 2 будут 0 и х. Получим

поскольку величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования. ?

2. Функция Ф(х)монотонно возрастающая , причем при х -> +со ф(.г) -> 1 (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(х)~ 1).

Так как производная интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции при значении верхнего предела, г.с.

, и всегда положительна, то Ф(х) монотонно возрастает

на всей числовой прямой.

Сделаем замену переменнойтогда пределы интегрирования не меняются и

(так как интеграл от четной функции

Учитывая, что (интеграл Эйлера - Пуассона), получим

?

О Пример 2.6. По данным примера 2.5 вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Применяем интегральную теорему Муавра - Лапласа {пру = 64 > 20). Вначале определим по формулам (2.12)

Теперь по формуле (2.10), учитывая свойства Ф(.т), получим

(по табл. II приложений ?

Рассмотрим следствие интегральной теоремы Муавра - Лапласа. Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и I, то при достаточно большом числе п независимых испытаний вероятность того, что:

а) число т наступлений события А отличается от произведения пр не более чем на величину е > 0 {по абсолютной величине), т.е.

б) частость т/п события А заключена в пределах от а до р (вклю - чительноУ , т.е.

в) частость события А отличается от его вероятности р не более чем на величину А > 0 {по абсолютной величине ), т.е.

А) Неравенство |/?7-7?/?| равносильно двойному неравенству пр-е Поэтому по интегральной формуле (2.10)

• б) Неравенство а равносильно неравенству а при а = па и Ь = /?р. Заменяя в формулах (2.10), (2.12) величины а и Ь полученными выражениями, получим доказываемые формулы (2.14) и (2.15).
• в) Неравенство mjn- р равносильно неравенству т-пр Заменяя в формуле (2.13) г = Ап, получим доказываемую формулу (2.16). ?

[> Пример 2.7. По данным примера 2.5 вычислить вероятность того, что от 280 до 360 семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Вычислить вероятность Р 400 (280 т пр = 320. Тогда по формуле (2.13)

[> Пример 2.8. По статистическим данным, в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет.

• 1. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (но абсолютной величине).
• 2. При каком числе новорожденных с надежностью 0,95 доля доживших до 50 лет будет заключена в границах от 0,86 до 0,88?

Решение. 1, а) Вероятность р того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Так как п = 1000 велико (условие прд =1000 0,87 0,13 = = 113,1 > 20 выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Муавра - Лапласа. Вначале определим по формулам (2.15)

Теперь по формуле (2.14)

1, б) По формуле (2.16)

Таккак неравенство равносильно неравенству

полученный результат означает, что практически достоверно, что от 0,83 до 0,91 числа новорожденных из 1000 доживут до 50 лет. ?

2. По условию или

По формуле (2.16) при А = 0,01

По табл. II приложений Ф(Г) = 0,95 при Г = 1,96, следовательно,

откуда

т.е. условие (*) может быть гарантировано при существенном увеличении числа рассма триваемых новорожденных до п = 4345. ?

• Доказательство теоремы приведено в параграфе 6.5. Вероятностный смысл величинпр, прс{ устанавливается в параграфе 4.1 (см. замечание на с. 130).
• Вероятностный смысл величины рч/п устанавливается в параграфе 4.1.