В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.
Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.
Измените количество отображаемых десятичных знаков без изменения номера
Во внутреннем цифровом формате
Круглый номер вверх. Разобрать число до ближайшего номера.
Разобрать число до ближайшей фракции
Разобрать число до значащей цифры. Значительные цифры - это цифры, которые способствуют точности числа. Они охватывают методы округления для положительных, отрицательных, целочисленных и дробных чисел, но приведенные примеры представляют собой лишь очень маленький список возможных сценариев.Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.
Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.
В приведенном ниже списке содержатся некоторые общие правила, которые следует помнить, когда вы округлите цифры до значащих цифр. Вы можете проверить функции округления и заменить свои собственные номера и параметры, чтобы вернуть количество значимых цифр.
Чтобы округлить отрицательное число, оно сначала преобразуется в его абсолютное значение. Как правило, когда вы округлите число, не имеющее дробной части, вы вычитаете из длины число значащих цифр, для которых вы хотите округлить число.
- Затем выполняется операция округления, и отрицательный знак снова применяется.
- Хотя это, кажется, не соответствует логике, так работает округление.
- Во-первых, -889 преобразуется в абсолютное значение.
- Затем округляется до двух значащих результатов.
Как умножаются в столбик натуральные числа?
Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:
- До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
- Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
- То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.
Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.
А, т.е. для умножения матриц не стоит коммутативного свойства. Давайте посмотрим на другой пример с массивами. Когда условия существования для умножения матриц были проверены, действуют следующие свойства. Мы видели, что коммутативное свойство вообще недействительно для умножения матриц.
Но есть учет, который, хотя и тесно связан с суммой, менее понят. Обычно есть калькулятор, чтобы сделать 2 × 3 = 6, но не всегда. Но есть несколько способов делать умножения вручную! Длительное умножение: форма, которая традиционно изучается в школе. Правило четырехугольника: вы начинаете с квадрата, разделенного на столбцы и строки: столько столбцов, сколько одно из чисел, которые нужно умножить, столько строк, сколько другого.
Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей
Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.
Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.
Русское умножение. Поместите числа, которые вы хотите размножать бок о бок. Вычислите двойной номер и поместите его под ним. Один вычисляет половину числа и помещает его под собой. Под первым номером всегда двойной предыдущий, и под секундами всегда находится половина предыдущего.
Все строки чисел, в которых второе число четно, вычеркнуты. Умножение Леонардо де Пизы. Разбиты два числа, которые должны быть умножены друг на друга. Египетское умножение Числа, которые вы хотите размножить, записываются бок о бок. Какие числа соответствуют тем, которые были вычтены во втором столбце и скомпилированы. Результатом этой суммы является искомое умножение. Ведическое умножение Это адаптация метода.
Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:
С чего начать обучение делению?
До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.
В любом из алгоритмов, если нужно умножить числа на десятичные разряды, достаточно, чтобы они были проигнорированы изначально, а затем поставили в полученный результат столько же десятичных знаков, сколько и числа, полученные суммой десятичных знаков каждого из чисел.
Затем добавьте произведение количества пальцев выше левой матери с количеством пальцев выше правой руки. Результат - это нужный продукт. Мы все учились в начальной школе делать умножения, следуя методу, который кажется нам знакомым и естественным, но действительно ли это так быстро?
После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?
После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.
Затем эти промежуточные продукты добавляют. В зависимости от страны существуют некоторые различия в способах проведения операций, но в целом так работает школьный метод умножения.
- Почему этот метод слишком трудоемкий?
- Есть ли другой метод, который поможет нам сэкономить время?
С практической точки зрения: быстро выполнять вычисления на больших количествах полезно во многих областях применения вычислений, например, для манипулирования информацией или для эффективного решения геометрических и арифметических задач. С точки зрения теоретический: школьный метод умножения кажется нам настолько знакомым и естественным, что любое значительное улучшение - и мы собираемся его обнаружить - это настоящий сюрприз. Но что подразумевается под «школьным методом, слишком дорогостоящим во времени»?
Алгоритм деления чисел в столбик
Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:
Ученые-компьютерщики не измеряют время вычислений в секундах, а число основных операций, которые выполняет метод, так что алгоритмы можно сравнивать, а не базовые компьютеры. компьютер или человек могут сделать за один шаг. В частности, мы считаем. Мы называем эту операцию элементарного умножения. . Рассматривая только эти две основные операции, мы будем сравнивать алгоритмы умножения. Сколько основных операций требуется школьному методу умножения? Прежде чем мы сможем ответить на этот вопрос, мы должны сначала упомянуть о добавлении двух больших чисел, потому что нам также нужны их для умножения.
- До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
- Записать делимое. Справа от него - делитель.
- Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
- Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
- Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
- Записать результат от умножения этого числа на делитель.
- Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
- Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
- Снова подобрать число для ответа.
- Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.
Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?
Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.
Умножение большого числа на одноразрядное число
Наконец, мы записываем последний вывод без дальнейшего вычисления как фигуру самого левого результата. Вернемся к школьному методу умножения. Отдельные промежуточные продукты, каждая из которых написана на линии, которые появляются в этом методе, исходят из умножения большого числа а на число с одной цифрой. Теперь взглянем более внимательно на эту операцию, детализируя ее промежуточные результаты немного больше, чем обычно. Для последнего промежуточного продукта нашего примера с самого начала это выглядит следующим образом.
Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.
Анализ школьного метода умножения
Сколько основных операций мы сделали? В самом правом столбце есть только одна цифра, поэтому нам не нужно ничего в ней вычислять. Затем мы должны добавить промежуточные произведения, расположенные под углом один ниже другого. Но сколько основных операций оно делает? Чтобы иметь возможность сказать это, нам нужно знать длину всех промежуточных итогов, которые появляются во время этой серии дополнений. Когда мы складываем линии один за другим, цифры становятся все больше, они никогда не становятся меньше.
Рассмотреть такое деление можно на примере - 12082: 863.
- Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
- После вычитания получается остаток 345.
- К нему нужно снести цифру 2.
- В числе 3452 четыре раза умещается 863.
- Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
- Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.
Ответом в примере будет число 14.
На практике мы не вычисляем эти промежуточные добавления, мы предпочитаем суммировать все числа, присутствующие в каждом столбце, последовательно, начиная с правого столбца, не забывая учитывать возможное ограничение. Но это то же самое для общего количества элементарных операций.
Количество добавлений здесь явно завышено, поскольку первые добавления меньше, но порядок величины соблюдается. Что это значит конкретно? Рассмотрим теперь, что умножение является более дорогостоящей операцией, чем добавление, что часто бывает на практике, и старайтесь улучшить временные затраты на умножение.
Как быть, если делимое заканчивается на ноль?
Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.
Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.
Анатолий Алексеевич Карацуба. Простейшим случаем является умножение двух однозначных чисел; например 8 × 4 = для этого требуется только базовая операция, а именно одно элементарное умножение, которое непосредственно обеспечивает результат. Запишем их из разложения в цифрах. В приведенном выше примере мы имеем.
Мы обязаны Карацубе обнаружить факт, что достаточно трех умножений на одноразрядные числа. Вычисляемые значения следующие. Но почему он заинтересован в умножении? Это связано с тем, что применяется следующее равенство. Поэтому мы должны определить вычитание двух одноразрядных чисел как еще одну основную операцию, аналогичную добавлению, которую мы должны применять здесь дважды.
Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?
Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.
Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.
Технически результаты и, конечно, имеют только одну фигуру, быть отрицательным знаком. Таким образом, мы находим следующее. Мы использовали только три элементарных умножения вместо четырех, к которым добавлены несколько дополнений и вычитаний для вычисления промежуточных результатов.
Метод Карацубы применяется к четырехзначным номерам
После случая п = 2 обратимся теперь к случаю п = 4, т.е. умножению двух чисел а и Ь на четыре цифры. Из этих четырех половин мы пересчитываем три вспомогательных произведения методом Карацубы так же, как и для двузначных чисел. И, как и раньше, мы получаем произведение а и Ь из этих трех вспомогательных произведений.
Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.
Деление двух десятичных дробей
Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.
Для этого расчета нам пришлось сформировать три вспомогательных произведения двузначных чисел, и мы только что видели в предыдущем разделе, как их получить методом Карацубы. Для каждого вспомогательного продукта требуются три элементарных умножения. Чтобы умножить два четырехзначных числа в соответствии с методом Карацубы, нам необходимо в общей сложности 3 × 3 = 9 элементарных умножений, а также несколько дополнений и вычитаний. В школьном методе нам понадобилось бы 16 элементарных умножений и несколько дополнений.
Метод Карацубы для любых больших чисел
Мы можем написать метод Карацубы в общем виде следующим образом. Требуется количество умножений. Давайте теперь сравним таблицу с нашим анализом школьного метода для умножения чисел в миллион цифр. Школьный метод требует почти четырех триллионов основных операций, из которых одна тысяча миллиардов - для элементарных умножений. Точно, есть только 287-й период школьного метода.
Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.
Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.
Таким образом, мы видим, что метод Карацубы значительно экономичнее во время вычислений; по крайней мере, когда - как и мы, - подсчитываются только элементарные умножения. Во-первых, следует учитывать время, порождаемое сложениями и вычитанием промежуточных результатов. Затем мы предпочли бы рассчитать наши примеры, касающиеся двух - и четырехзначных чисел в соответствии со школьным методом. Но как только числа становятся достаточно длинными, метод Карацубы приобретает каждый раз, поскольку он производит гораздо меньше промежуточных результатов, чем школьный метод.
В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:
- Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
- Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
- Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
- Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
- Снести к остатку 0.
- Снова взять по 8.
- Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
- Теперь брать нужно 7.
- Результат умножения - 224, остаток - 16.
- Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.
Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.
Точная длина, из которой она быстрее, зависит свойств используемого компьютера. Подводя итог, каков рецепт успеха метода Карацубы? Это связано с двумя важными идеями. Первая идея довольно общая. Таким образом, мы уменьшаем проблему, пока она не станет довольно простой. Этот принцип называется делением и завоеванием, и мы уже видели его в действии в других алгоритмах. Это называется рекурсией и на самом деле является одним из наиболее важных методов вычисления.
Вторая идея, характерная для умножения, - это трюк Карацубы, которому нужно решить только три подзадачи вместо четырех на каждом промежуточном этапе. Эта кажущаяся крошечная разница обеспечивает огромную экономию по всей рекурсии и является решающим преимуществом метода Карацубы по сравнению со школьным методом.
Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?
Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.
Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.
Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.
При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).
Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.
Деление периодических дробей
В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.
Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.
Если в примере разные дроби...
Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.
Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.
Как умножать столбиком
Умножение многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Для удобства сверху обычно записывается то число, которое имеет больше цифр. Слева между числами ставится знак действия. Под множителем проводят черту. Под чертой пишут цифры произведения по мере их получения.
Рассмотрим для начала умножение многозначного числа на однозначное. Пусть требуется умножить 846 на 5:
Умножить 846 на 5 - значит, сложить 5 чисел, каждое из которых равно 846. Для этого достаточно взять сначала 5 раз по 6 единиц, потом 5 раз по 4 десятка и наконец 5 раз по 8 сотен.
5 раз по 6 единиц = 30 единиц, т. е. 3 десятка. Пишем 0 под чертой на месте единиц, а 3 десятка запоминаем. Для удобства, чтобы не запоминать можно написать 3 над десятками множимого:
5 раз по 4 десятка = 20 десятков, прибавляем к ним ещё 3 десятка = 23 десятка, т. е. 2 сотни и 3 десятка. Пишем 3 десятка под чертой на месте десятков, а 2 сотни запоминаем:
5 раз по 8 сотен = 40 сотен, прибавляем к ним ещё 2 сотни = 42 сотни. Пишем под чертой 42 сотни, т. е. 4 тысячи и 2 сотни. Таким образом, произведение 846 на 5 оказывается равным 4230:
Теперь рассмотрим умножение многозначных чисел. Пусть требуется умножить 3826 на 472:
Умножить 3826 на 472 - значит, сложить 472 одинаковых числа, каждое из которых равно 3826. Для этого надо сложить 3826 сначала 2 раза, потом 70 раз, потом 400 раз, т. е. умножить множимое отдельно на цифру каждого разряда множителя и полученные произведения сложить в одну сумму.
2 раза по 3826 = 7652. Пишем полученное произведение под чертой:
Это не окончательное произведение, пока мы умножили только на одну цифру множителя. Полученное число называется частичным произведением . Теперь наша задача умножить множимое на цифру десятков. Но перед этим надо запомнить один важный момент: каждое частичное произведение нужно записывать под той цифрой, на которую происходит умножение.
Умножаем 3826 на 7. Это будет второе частичное произведение (26782):
Умножаем множимое на 4. Это будет третье частичное произведение (15304):
Под последним частичным произведением проводим черту и выполняем сложение всех полученных частичных произведений. Получаем полное произведение (1 805 872):
Если во множителе встречается нуль, то обычно на него не умножают, а сразу переходят к следующей цифре множителя:
Когда множимое и (или) множитель оканчиваются нулями, умножение можно выполнить не обращая на них внимания, и в конце, к произведению добавить столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе.
Например, необходимо вычислить 23 000 · 4500. Сначала умножим 23 на 45, не обращая внимание на нули:
И теперь, справа к полученному произведению припишем столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе. Получится 103 500 000.
Калькулятор умножения столбиком
Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение столбиком. Просто введите множимое и множитель и нажмите кнопку Вычислить.
