Допустим, у Дениса очень много конфет - целая большая коробка. Сперва Денис съел 3 конфеты. Потом папа дал Денису 5 конфет. Потом Денис подарил Матвею 9 конфет. Наконец, мама дала Денису 6 конфет. Вопрос: Стало ли у Дениса в конечном итоге больше или меньше конфет, чем было вначале? Если больше, то насколько больше? Если меньше, то насколько меньше?
Для того чтобы не запутаться с этой задачей, удобно применить один трюк. Давайте выпишем подряд все числа из условия. При этом мы будем ставить знак «+» перед числами, которые обозначают, насколько конфет у Дениса прибавилось, и знак «−» перед числами, которые обозначают, насколько конфет у Дениса убавилось. Тогда всё условие выпишется очень коротко:
− 3 + 5 − 9 + 6.
Эту запись можно прочитать, например, так: «Сперва Денис получил минус три конфеты. Потом плюс пять конфет. Потом минус девять конфет. И наконец плюс шесть конфет». Слово «минус» меняет смысл фразы на прямо противоположный. Когда я говорю: «Денис получил минус три конфеты», - это на самом деле означает, что у Дениса на три конфеты убыло. Слово «плюс», напротив, подтверждает смысл фразы. «Денис получил плюс пять конфет» означает то же самое, что и просто «Денис получил пять конфет».
Итак, сперва Денис получил минус три конфеты. Значит, у Дениса стало на минус три конфеты больше, чем было вначале. Для краткости можно сказать: у Дениса стало минус три конфеты.
Потом Денис получил плюс пять конфет. Легко сообразить, что у Дениса стало плюс две конфеты. Значит,
− 3 + 5 = + 2.
Потом Денис получил минус девять конфет. И вот сколько конфет у него стало:
− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.
Наконец Денису досталось еще +6 конфет. И всего конфет стало:
− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.
На привычном языке это означает, что в конце концов у Дениса оказалось на одну конфету меньше, чем было вначале. Задача решена.
Трюк со знаками «+» или «−» применяется очень широко. Числа со знаком «+» называются положительными . Числа со знаком «−» называются отрицательными . Число 0 (ноль) не является ни положительным, ни отрицательным, потому что +0 ничем не отличается от −0. Таким образом, мы имеем дело с числами из ряда
..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...
Такие числа называются целыми числами . А те числа, у которых вообще нет никакого знака и с которыми мы имели дело до сих пор, называются натуральными числами (только ноль не относится к натуральным числам).
Целые числа можно представить себе как ступеньки лестницы. Число ноль - это лестничная площадка, находящаяся вровень с улицей. Отсюда можно ступенька за ступенькой подняться наверх, к более высоким этажам, а можно и спуститься вниз, в подвал. До тех пор, пока нам не нужно заходить в подвал, нам вполне достаточно одних только натуральных чисел и нуля. Натуральные числа - это, по сути дела, то же самое, что положительные целые числа.
Строго говоря, целое число - это не номер ступеньки, а команда на перемещение по лестнице. Например, число +3 говорит, что следует подняться на три ступеньки вверх, а число −5 означает, что надо спуститься на пять ступенек вниз. Просто за номер ступеньки принимают такую команду, которая перемещает нас на данную спупеньку, если мы начинаем движение с нулевого уровня.
Вычисления с целыми числами легко проделывать, просто мысленно прыгая вверх или вниз по ступенькам - если, конечно, не потребуется делать слишком большие прыжки. Но как быть, когда надо прыгнуть на сто или более ступенек? Ведь не будем же мы рисовать такую длиннющую лестницу!
А впрочем, почему бы и нет? Мы можем нарисовать длинную лестницу с такого большого расстояния, на котором отдельные ступеньки уже неразличимы. Тогда наша лестница превратиться просто в одну прямую линию. А чтобы ее удобнее было поместить на страницу, нарисуем ее без наклона и отдельно отметим положение ступеньки 0.
Поучимся вначале прыгать по такой прямой на примере выражений, значения которых мы уже давно умеем вычислять. Пусть требуется найти
Строго говоря, раз уж мы имеем дело с целыми числами, то нам следовало бы написать
Но у положительного числа, стоящего в начале строки знак «+» обычно не ставят. Прыжки по лестнице выглядят приблизительно так:
Вместо двух больших прыжков нарисованных над прямой (+42 и +53), можно сделать один прыжок, нарисованный под прямой, причем длина этого прыжка, конечно, равна
Такого рода рисуночки на математическом языке принято называть диаграммами. Вот как выглядит диаграмма для привычного нам примера на вычитание
Вначале мы сделали большой прыжок вправо, потом прыжок поменьше влево. В результате мы так и остались справа от нуля. Но возможна и другая ситуация, как, например, в случае выражения
На этот раз прыжок враво оказался короче прыжка влево: мы перелетели через ноль и оказались в «подвале» - там, где находятся ступеньки с отрицательными номерами. Вглядимся попристальнее в наш прыжок влево. Всего мы преодолели 95 ступенек. После того как мы преодолели 53 ступеньки, мы поравнялись с отметкой 0. Спрашивается сколько ступенек мы предолели после этого? Ну, конечно
Таким образом, оказавшись на ступеньке 0, мы спустились вниз еще на 42 ступеньки, а значит, в конце концов мы пришли на ступеньку с номером −42. Итак,
53 − 95 = −(95 − 53) = −42.
Подобным же образом, рисуя диаграммы, легко установить что
−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;
−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;
и, наконец,
−53 + 95 = 95 − 53 = 42.
Таким образом, мы научились свободно путешествовать по всей лестнице целых чисел.
Рассмотрим теперь такую задачу. Денис и Матвей обмениваются фантиками. Вначале Денис дал Матвею 3 фантика, а потом взял у него 5 фантиков. Сколько фантиков в итоге получил Матвей?
Но раз Денис получил 2 фантика, то Матвей получил −2 фантика. К прибыли Дениса мы приписали минус и получили прибыль Матвея. Наше решение можно записать в виде единственного выражения
−(−3 + 5) = −2.
Тут всё просто. Но давайте слегка видоизменим условие задачи. Пусть Денис дал сперва Матвею 5 фантиков, а потом взял у него 3 фантика. Спрашивается, опять-таки, сколько фантиков в итоге получил Матвей?
Снова вначале рассчитаем «прибыль» Дениса:
−5 + 3 = −2.
Значит, Матвей получил 2 фантика. Но как теперь наше решение записать в виде единственного выражения? Что бы такое приписать к отрицательному числу −2, чтобы получить положительное число 2? Оказывается, и на этот раз надо приписать знак минус. Математики очень любят единообразие. Они стремятся к тому, чтобы решение похожих задач записывались в виде похожих выражений. В данном случае решение выглядит так:
−(−5 + 3) = −(−2) = +2.
Так уж математики договорились: если к положительному числу приписать минус, то оно превращается в отрицательное, а если к отрицательному числу приписать минус, то оно превращается в положительное. Это очень логично. В конце концов, спуститься на минус две ступеньки вниз это то же самое, что подняться на плюс две ступеньки вверх. Итак,
−(+2) = −2;
−(−2) = +2.
Для полноты картины отметим еще, что
+(+2) = +2;
+(−2) = −2.
Это дает нам возможность по-новому взглянуть на давно привычные вещи. Пусть дано выражение
Смысл этой записи можно представлять себе по-разному. Можно, по-старинке, считать, что из положительного числа +5 отнимается положительное число +3:
В этом случае +5 называется уменьшаемым , +3 - вычитаемым , а всё выражение - разностью . Именно так учат в школе. Однако слова «уменьшаемое» и «вычитаемое» нигде, кроме школы, не употребляются и их можно забыть после итоговой контрольной работы. Про эту же самую запись можно сказать, что к положительному числу +5 прибавляется отрицательное число −3:
Числа +5 и −3 называются слагаемыми , а всё выражение - суммой . В данной сумме только два слагаемых, но, вообще, сумма может состоять из скольких угодно слагаемых. Подобным же образом, выражение
можно с одинаковым правом рассматривать как сумму двух положительных чисел:
и как разность положительного и отрицательного чисел:
(+5) − (−3).
После того как мы познакомились с целыми числами, нам обязательно надо уточнить правила раскрытия скобок. Если перед скобками стоит знак «+», то такие скобки можно просто стереть, и все числа в них сохраняют свои знаки, например:
+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 − 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
и так далее.
Если же перед скобками стоит знак «−», то стирая скобку, мы должны также поменять знаки у всех чисел, стоявших в ней:
−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
и так далее.
При этом полезно держать в голове задачу про обмен фантиками между Денисом и Матвеем. Например, последнюю строчку можно получить так. Считаем, что Денис вначале взял 5 фантиков у Матвея, а потом еще −3. Всего Денис получил 5 − 3 фантиков, а Матвей - то же самое число, но с противоположным знаком, то есть −(5 − 3) фантиков. Но ведь эту же задачу можно решить и другим способом, имея в виду, что всякий раз, когда Денис получает, Матвей отдает. Значит, вначале Матвей получил −5 фантиков, а потом еще +3, что в итоге дает −5 + 3.
Подобно натуральным числам, целые числа можно сравнивать между собой. Зададимся, например, вопросом: какое число больше: −3 или −1? Посмотрим на лестницу с целыми числами, и сразу станет ясно, что −1 больше, чем −3, и, значит, −3 меньше, чем −1:
−1 > −3;
−3 < −1.
А теперь давайте уточним: насколько −1 больше, чем −3? Иными словами, на сколько ступенек надо подняться, чтобы перейти со ступеньки −3 на ступеньку −1? Ответ на этот вопрос можно записать в виде разности чисел −1 и −3:
− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.
Прыгая по ступенькам, легко проверить, что это так. А вот еще один любопытный вопрос: насколько число 3 больше числа 5? Или, что то же самое: на сколько ступенек надо подняться вверх, чтобы перейти со ступеньки 5 на ступеньку 3? Еще недавно этот вопрос поставил бы нас в тупик. Но теперь мы легко можем выписать ответ:
3 − 5 = − 2.
Действительно, если мы находимся на ступеньке 5 и поднимемся вверх еще на −2 ступеньки, то окажемся как раз на ступеньке 3.
Задачи
2.3.1. Какой смысл имеют следующие фразы?
Денис дал папе минус три конфеты.
Матвей старше Дениса на минус два года.
Чтобы попасть в нашу квартиру, надо спуститься на минус два этажа вниз.
2.3.2. Имеют ли смысл такие фразы?
У Дениса минус три конфеты.
На лугу пасется минус две коровы.
Замечание. Эта задача не имеет однозначного решения. Не будет, конечно, ошибкой утверждать, что данные высказывания бессмысленны. И в то же время им можно придать вполне ясный смысл. Допустим, у Дениса есть большая коробка, доверху наполненная конфетами, но содержимое этой коробки - не в счет. Или допустим, что две коровы из стада не вышли пастись на луг, а по какой-то причине остались в коровнике. Стоит иметь в виду, что и самые привычные фразы могут оказаться неоднозначными:
У Дениса три конфеты.
Это высказывание не исключает, что у Дениса припрятана где-то еще огромная коробка с конфетами, но о тех конфетах просто умалчивается. Точно так же, когда я говорю: «У меня пять рублей», - я не имею в виду, что это и есть всё мое состояние.
2.3.3. Кузнечик прыгает по лестнице, начиная с этажа, где находится квартира Дениса. Сначала он прыгнул на 2 ступеньки вниз, потом на 5 ступенек вверх, и наконец на 7 ступенек вниз. На сколько ступенек и в каком направлении переместился кузнечик?
2.3.4. Найти значения выражений:
− 6 + 10;
− 28 + 76;
и т.п.
− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.
2.3.5. Найти значения выражений:
8 − 20;
34 − 98;
и т.п.
8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.
2.3.6. Найти значения выражений:
− 4 − 13;
− 48 − 53;
и т.п.
− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.
2.3.7. Для следующих выражений найти значения, проводя вычисления в том порядке, который задается скобками. Затем раскрыть скобки и убедиться, что значения выражений остались прежними. Составить задачи про конфеты, которые решаются таким образом.
25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
и т.п.
25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.
25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.
«У Дениса было 25 конфет. Он отдал папе минус десять конфет, а Матвею четыре конфеты. Сколько конфет у него стало?»
Число большее нуля … Большой Энциклопедический словарь
положительное число - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN positive number … Справочник технического переводчика
Число, большее нуля. * * * ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, число большее нуля … Энциклопедический словарь
Отрицательное число элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате… … Википедия
- (Double precision, Double) компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти две последовательных ячейки (компьютерных слова; в случае 32 битного компьютера 64 бита или 8 байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой… … Википедия
- (англ. half precision) компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину компьютерного слова (в случае 32 битного компьютера 16 бит или 2 байта). Диапазон значений ± 2−24(5.96E 8) 65504. Приблизительная… … Википедия
Число с плавающей запятой форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную.… … Википедия
Сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах математика 1. Числом… … Толковый словарь Дмитриева
ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… … Толковый словарь Ожегова
E математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия
Книги
- Квадратный корень из 2 , Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Квадратный корень из числа 2 - положительное…
Цели урока:
Образовательная: сформировать понятия отрицательного и положительного числа
Развивающая: развивать память, речь, наблюдательность подмечать закономерность обобщать проводить суждения по аналогии умения работать с учебником развитие логического мышления.
Воспитательная: воспитание дисциплины, аккуратности, настойчивости, ответственного отношения к учебе.
Платон
Ход урока.
1. Орг. момент.
2. Мотивация урока.
Раз, два, три, четыре, пять,
Шесть, семь, восемь, девять, десять.
Возникнув в глубокой древности из практических потребностей счёта и простейших измерений, математика развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, которые предъявляли к ней другие науки.
Сегодня мы с вами познакомимся с новыми числами.
Какие числа вам знакомы? Назовите примеры.
Решить № 954.
Однако окружающий мир настолько сложен и разнообразен. Натуральных и дробных чисел бывает недостаточно, чтобы измерить некоторые величины, описать многие события.
Числа -5, +3.
Вы можете назвать эти числа?
В каких случаях мы часто ими пользуемся? (когда говорим о погоде).
Ребята, какое время года сейчас? Чем отличается погода летом и зимой? А как вы узнали, что на улице холодно? С помощью какого прибора? Давайте рассмотрим термометр. Что изображено на термометре? Как расположены числа?
Решить № 838 устно.
Работа с учебником.
Положительные и отрицательные числа используются не только в математике, но и в географии. К ХХ веку почти вся Земля была исследована. Куда же перенесли свои исследования ученые и путешественники? (дно Мирового океана)
Что обнаружили ученые? Каков рельеф дна? Похожи ли рельефы поверхности Земли и дна Мирового океана?
Если нужно измерить высоту горы или глубину океана, от какой точки надо начинать отсчет? (от уровня воды океана)
Если представить это в виде вертикальной шкалы, то нулевая точка это и есть уровень воды океана.
В каком направлении будут измеряться высоты гор?
Какими числами? (положительными)
Какую самую большую положительную величину на Земле вы знаете? (вершина Джомолунгма +8848 м)
В каком направлении будут измеряться глубины океана?
Какими числами? (отрицательными)
- Какую самую большую отрицательную величину вы знаете? (Марианская впадина -11034 м)
Решить № 835.
Исторические сведения
Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н.э. Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные – как долг, недостача.
Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали.
Лишь в VII в индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием.
В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII-XIII вв, но до Х\/I в. как и в древности, они понимались как долги, большинство ученых считали их “ложными” в отличие от положительных чисел - “истинных”.
Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта (1596-1650) . Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел - ввел координатную прямую (1637).
Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине ХVIII века. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел.
Решить № 833, 834, 836, 839.
Положительные и отрицательные числа и история.
Знакомые из истории фразы:
«Пифагор жил в VI веке до нашей эры»;
«Русь находилась под игом монголо-татар в течении XIII-XV веков нашей эры»;
«Олимпиада в Москве состоялась в 1980 году»;
Эти даты отмечены на шкале времени:
|
Ответьте на вопросы:
б) Сколько лет жил Архимед?
б) Каким числом можно заменить год «Рождества Христова»?
В каком возрасте умер император? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Линия времени
В древности года в разных странах считали по- разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счет лет начинал править новый царь, счет лет начинался заново, римляне первым годом считали год основания своего города. Такой счет прошедших лет был неудобен для определения важных исторических событий. Возникла необходимость во всех странах начать вести счет времени от данного события. В это время христианская религия, вера в Иисуса Христа распространилась во многих странах. Один из верующих предложил вести счет лет от рождения Иисуса. Время, исчисляемое от Рождества Христова стали называть наша эра. Продолжается наша эра две тысячи лет. Время, исчисляемое до Рождества Христова - до нашей эры.
6. Самостоятельная работа.
решить № 841.
7. Итоги урока. Д/з.
выучить п. 28, решить № 837, 840, 843.
повторить с.281, решить № 847.
Закончите свои высказывания предложением:
Я сегодня на уроке узнал………
научился…….
Смекалку свою проявите:
Считайте, рисуйте, чертите!
Вы все молодцы! Вы все удальцы!
И пусть на года любимой всегда
Для вас математика будет!
Тема: Координатная прямая.
Цели урока:
образовательная - научить строить координатную прямую и находить на ней отрицательные и положительные координаты,
развивающая - развивать логику мышления, внимание;
воспитательная – воспитывать толерантность, интерес к предмету.
1. Орг. момент.
2. Мотивация урока.
«Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». (Анатоль Франс). Что значат эти слова? Последуем совету писателя: будем на уроке активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь оно скоро нам понадобится.
3. Актуализация опорных знаний.
Какие числа называются положительными? отрицательными?
Какое число не положительно и не отрицательное?
Величайший древнегреческий математик и физик придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое он умел называть было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.
Но записывать такие громадные числа еще не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра 0 и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.
О ком идет речь?
1. 8 * 1,2 = 9,6 А
2. 7,2: 2,4 = 3 Р
3. 720:18 = 40 X
4. 3*1,6 = 4,8 И
5. 5/8: 1/2=1 М
6. 1:4 = 0,25 Е
7. 900:15 = 60 Д
Итак, имя ученого Архимед.
Запись положительных и отрицательных чисел под диктовку:
Самое низкое место поверхности суши – побережье Мертвого моря 402 м.
Самый высокий действующий вулкан – Килиманджаро 5895 м.
Самое древнее и самое глубокое озеро – Байкал 1620 м.
Самая низкая отметка на территории России – Прикаспийская низменность 28 м.
Фронтально отвечают на вопросы.
Какая геометрическая модель изображена на рисунке?
Назовите составляющие.
Как называются числа, соответствующие данным точкам?
Назовите координаты указанных точек.
Какую будет иметь координату точка А, если её переместить:
на 3 единичных отрезка вправо?
на 4 единичных отрезка влево
Продолжим луч влево и получим координатную прямую.
«Где-то есть страна Математика. В этой стране живут числа, знаки, выражения. В городе «+» живут – положительные числа, а в городе «- »
живут – отрицательные числа. Правит этим государством король Ноль I. Однажды приползла к ним госпожа прямая и сказала: «Я мечтаю посмотреть на ваше красивое государство с высоты. Помогите мне подняться, сама я не могу этого сделать, боюсь переломиться.»
Числа не отказали в помощи. Положительные числа встали и приподняли прямую справа, а отрицательные встали и приподняли прямую слева. Все бы хорошо, но прямая чуть не переломилась, не хватало одного числа. Позвали числа на помощь короля.. Выручил ноль: он встал между положительными и отрицательными числами по серединке, и сказал:
Я на шкале - число-граница,
Где встану я - там чисел штаб.
Я числам разрешаю разместиться,
На выбранной прямой:
О, направленье и масштаб.
Числа разместились как полагается от нуля, и стали показывать положение на прямой (координату точки), а прямая выбрала направление и масштаб. Но, как только приподнялась прямая, от восхищения видом сверху на красивое государства, не удержалась она и упала, придавила цифры, которые так и не смогли выбраться и остались служить Прямой навсегда.
Ноль стали называть началом отсчета и дали ему титул точки «О», а саму Прямую – координатной прямой. По сей день живет она в стране математики, но иногда заходит в гости и в другие страны: историю, географию и т. д.»
В знаменитом произведении французского математика, физика и философ Рене Декарта “Геометрия”, изданном в 1637 году, описывается геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел: “Положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательными – влево”.
Решить № 848, 850, 852.
5. Физкультминутка
Игра: Учитель называет числа, ученики должны правильно среагировать. Если названо:
положительное число – ученик сидит;
отрицательное число – ученик встаёт;
положительная дробь – ученик должен встать и хлопнуть в ладоши;
отрицательная дробь – ученик должен сесть и хлопнуть в ладоши.
Решить № 854, 856.
7. Самостоятельная работа (задания на карточках)
1 вариант
1. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок пять клеток тетради. Отметьте на этой прямой точки А (2), B (-3), C (-1), D (1,2), E (-2/5), F (-2,6), M (-1¼).
2. Запишите координаты точек A, M, K и P изображенных на рисунке:
3. Начертите горизонтальную прямую и отметьте на ней точку A. Правее точки A на расстоянии 3 см. отметьте точку B. Отметьте точку O – начало отсчета, если A (- 6), а B (- 3).
2 вариант
1. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок длину четырех клеток тетради. Отметьте на этой прямой точки А (3), B (-2), C (2,5), D (1,5), E (-2,75), F (-3 2/5), M (-¼).
2. Запишите координаты точек M, N, K и D изображенных на рисунке:
3. Начертите горизонтальную прямую и отметьте на ней точки C и D так, чтобы D была правее точки C и CD = 5 см. Отметьте точку O – начало отсчета, если C (-2), а D (3).
8. Подведение итогов урока
Где вы встречаетесь с отрицательными и положительными числами?
1. Доход – расход
2. Аванс – долг
3. Выигрыш – проигрыш.
4. Изменение температуры воздуха.
5. Изменение уровня воды в реках.
6. Летоисчисление на уроках истории.
7. Высота над уровнем моря – глубина впадин на уроках географии.
Положение точки земной поверхности, находящейся выше уровня воды в океане (этот уровень обозначают числом 0), обозначают положительным числом, а ниже уровня океана – отрицательным числом. Аналогично можно объяснить любое понятие, рассматриваемое в итоге урока.
Где в жизни мы еще встречаемся с координатной прямой (шкалой)? (термометры, «линия времени»)
Выучить п. 29, решить № 851, 853, 855.
Тема: Координатная прямая. Рациональные числа.
Цели урока:
Образовательная: повторить и закрепить все знания, приобретенные при изучении параграфа “Положительные и отрицательные числа”. Привести в систему умения и навыки, в частности, умение работать с координатной прямой,
Воспитательная: воспитывать у обучающихся наблюдательность, умение находить и исправлять свои ошибки, уважение в одноклассникам.
Развивающая: содействовать развитию логического мышления, правильной математической речи.
1. Орг. момент.
2. Мотивация урока.
3. Актуализация опорных знаний.
Вопросы:
1. Какие числа называются положительными? отрицательными?
2. Какое число не положительно и не отрицательное?
3. Что такое координатная прямая?
4. Что называется координатой точки на прямой?
5. Какую координату имеет начало координат?
Сейчас мы напишем математический диктант, и вы сами определите, в каком вагоне вы поедете. Итак, откройте тетради, ответы пишите там. Отвечать следует только “да” или “нет”. Вопросы буду задавать по вариантам: сначала первому варианту, затем второму.
Точка А(15) расположена левее нуля. / Точка В(-7) расположена левее нуля/
Числа -2,5 и 2,5 являются противоположными /Числа 0 и -1 являются противоположными/
Число 8 есть модуль числа -8 / Число 0 есть модуль числа 0,1/
Число -12 больше числа -10 / Число -16 меньше числа -8/
Длина пружины уменьшилась на 6 мм. Изменение ее длины при этом равно -6 мм.
/Длина пружины увеличилась на 7 мм. Изменение ее длины при этом равно 7 мм/
А теперь, ребята, обменяйтесь тетрадями и оцените друг друга. (Обучающиеся оценивают работы своих соседей по парте).
Решить № 858, 861, 863
4. Изучение нового материала.
Итак, все числа можно разделить на целые и дробные.
Все натуральные числа, противоположные им числа и 0 называют целыми.
Т.е. целые числа делятся на положительные целые и отрицательные целые.
Дробные – это обыкновенные и десятичные дроби.
Объединив целые и дробные числа, мы получаем рациональные числа.
Путешествие по страницам словаря
Рациональный – разумно обоснованный, целесообразный.
Числа вида а и –а называются противоположными.
Найди противоположное слово:
Длинный - …Толстый - …Вправо - …Сложение - …Плюс - …
Ответить на вопросы с.174.
Историческая пауза.
Еще в III веке нашей эры древнегреческий математик Диофант фактически уже пользовался правилом умножения положительных и отрицательных чисел. Но -3 для Диофанта не самостоятельное число, а всего лишь “вычитаемое”, любое положительное – прибавляемое. Отдельно взятые отрицательные числа Диофант не признавал, и если при решении уравнений получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как “недопустимый”.
Сам он старался так формулировать задачи и составлять уравнений, чтобы избежать отрицательных корней.
В Индии отрицательные числа толковались как долг, а положительные как имущество. Однако, несмотря на широкое использование отрицательных чисел при решении задач с помощью уравнений, в Индии относились к отрицательным числам с недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными.
Бхаскара прямо писал: “Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел....”
5. Закрепление нового материала.
Решить № 876, 877, 878, 881.
6. Самостоятельная работа.
Решить № 879.
7.Итоги урока. Д/з.
Выучить п.30, решить № 880, 882, 896(а), повторить п.11
Учащиеся отвечают на вопросы учителя:
Какая прямая называется координатной?
Какими числами является координата точек на координатной прямой справа от начала координат? Слева от начала координат?
Какую координату имеет начало отсчета?
Тема: Модуль числа.
Цели урока:
образовательные: изучить понятие модуля числа и закрепить его при решении упражнений, ввести понятие рациональные числа;
развивающие: развитие внимания, логического мышления, аргументирован- ной математической речи; поддержание интереса к предмету.
воспитательные: воспитание доброжелательности, толерантности, объективности.
1.Организационный момент.
Сегодняшний урок я хотела бы начать со слов К.Э. Циолковского: “Сначала я открывал то, что известно многим, затем то, что известно некоторым, а потом – то, что неизвестно никому”.
На каждом уроке вы, ребята, приобретаете новые знания, которые когда-то открыли великие математики. Сегодня, согласно словам ученого К.Э. Циолковского, вы откроете то, что известно многим. Знания, полученные сегодня, помогут вам в дальнейшем при изучении многих тем не только в курсе математики, но и при изучении нового курса, который называется алгебра.
2. Актуализация опорных знаний.
Устный счет.
Приучайтесь думать точно,
Все исследуйте до дна!
Вместо точек на листочке
Цифра верная нужна.
Я подсказывать не буду
Никаких её примет.
Но одна и та же всюду
Даст нам правильный ответ.
Решить №883, 884.
Среди чисел –(-7); -3; ; -7; 3; ; ; ; 0 укажите пары противоположных чисел;
Какие числа называются противоположными?
Каким будет число, противоположное положительному числу? Отрицательному?
Какое число противоположно самому себе?
Сколько противоположных чисел имеет данное число?
3. Объяснение нового материала
А сейчас я расскажу вам сказку, вы послушайте и постарайтесь услышать слово, еще незнакомое вам.
На числовой прямой собрались на совещание разные числа: положительное, отрицательное и Нуль. Он встал и стал держать речь: «Уважаемые числа, мы собрались здесь для того, чтобы оценить наши действия. Я должен отметить, хотя, может быть, это и не скромно, что от меня идет счет, поэтому я и буду давать вам оценку. Справа от меня находятся положительные числа, ничего отрицательного о них не скажешь. Слева – числа отрицательные. В жизни плохо быть отрицательным, но нам, в математике, часто не получить без них положительный ответ. Всякого одобрения заслуживает МОДУЛЬ, который всегда неотрицательный». Сидят числа и раздумывают: как понимать оценку Нуля?
