Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.
Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.
Пояснение:
1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой.
5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке , а своего наименьшего значения точке (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум).
6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума). Замечание:
«Максимум» и «максимальное значение» — разные вещи. Это следует из определения максимума и интуитивного понимания словосочетания «максимальное значение».
Алгоритм решения задачи 2.
4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.
Пример 4:
Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . Решение:
1) Найти производную функции .
2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение . Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.
3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала.
4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.
Функция на этом отрезке достигает своего наибольшего значения в точке с координатами .
Функция на этом отрезке достигает своего наименьшего значения в точке с координатами .
В правильность вычислений можно убедиться, взглянув на график исследуемой функции.
Замечание:
Наибольшего значения функция достигает в точке максимума, а наименьшего – на границе отрезка.
Частный случай.
Предположим, требуется найти максимально и минимальное значение некоторой функции на отрезке. После выполнение первого пункта алгоритма, т.е. вычисления производной, становится ясно, что, например, она принимает только отрицательные значения на всем рассматриваемом отрезке. Помним, что если производная отрицательна, то функция убывает. Получили, что на всем отрезке функция убывает. Эта ситуация отображена на графике № 1 в начале статьи.
На отрезке функция убывает, т.е. точек экстремумов у нее нет. Из картинки видно, что наименьшее значение функция примет на правой границе отрезка, а наибольшее значение — на левой. если же производная на отрезке всюду положительна, то функция возрастает. Наименьшее значение — на левой границе отрезка, наибольшее — на правой.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Для этого мы следуем известному алгоритму
:
1
. Находим ОДЗ функции.
2
. Находим производную функции
3
. Приравниваем производную к нулю
4
. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции 0" title="f^{prime}(x)>0">, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5
. Находим точки максимума и минимума функции
.
В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-"
.
В точке минимума функции
производная меняет знак с "-" на "+"
.
6
. Находим значение функции в концах отрезка,
затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:
Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для
1
. Задание B15 (№ 26695)
На отрезке .
1. Функция определена при всех действительных значениях х
Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.
Ответ: 5.
2
. Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
1. ОДЗ функции title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:
Следовательно, title="3/{cos^2{x}}>=3">, значит, title="3/{cos^2{x}}-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
1. ОДЗ функции : title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
Промежутку принадлежат два числа: и
Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.
Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:
Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .
Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение
и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции
прибыли, а именно определить ее наибольшее значение
и разработать стратегию его достижения.
Инструкция
Исследование поведения любой всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение
функции
либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.
Исходя из , наибольшим является значение
функции
y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.
Чтобы определить наибольшее значение
функции
, следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и , а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение
на некотором интервале с граничными значениями А и В.
Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции
. Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.
Найдите производную функции
и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.
Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят скобки. Вычислите значения функции
при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: , (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.
Задача на этом этапе
Наибольшее и наименьшее значение функции
Наибольшим значением функции называется самое большее, наименьшим значением – самое меньшее из всех ее значений.
Функция может иметь только одно наибольшее и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свойствах этих функций:
1) Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция y=f(x) непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале.
2) Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке , то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ее или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1. Найти производную .
2. Найти критические точки функции, в которых =0 или не существует.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее f наиб и наименьшее f наим.
При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобального максимума и глобального минимума) функции на промежутке Х. Для решения таких задач следует, исходя из условия, выбрать независимую переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную. Затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.
Пример.
Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л. воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?
Решение.
Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной. Обозначим через а дм – сторону основания, b дм – высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна
И
Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную , приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:
Отсюда а = 6. (а) > 0 при а > 6, (а) < 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
Пример
. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .
Решение
: Заданная функция непрерывна на всей числовой оси. Производная функции
Производная при и при . Вычислим значения функции в этих точках:
.
Значения функции на концах заданного промежутка равны . Следовательно, наибольшее значение функции равно при , наименьшее значение функции равно при .
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида . Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя.
2. Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции.
3. Дайте определение максимума и минимума функции.
4. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.
5. Какие значения аргумента (какие точки) называются критическими? Как найти эти точки?
6. Каковы достаточные признаки существования экстремума функции? Изложите схему исследования функции на экстремум с помощью первой производной.
7. Изложите схему исследования функции на экстремум с помощью второй производной.
8. Дайте определение выпуклости, вогнутости кривой.
9. Что называется точкой перегиба графика функции? Укажите способ нахождения этих точек.
10. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки выпуклости и вогнутости кривой на заданном отрезке.
11. Дайте определение асимптоты кривой. Как найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции?
12. Изложите общую схему исследования функции и построения ее графика.
13. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке.
Пусть
функция у =
f
(х)
непрерывна
на отрезке [a,
b
]. Как
известно, такая функция на этом отрезке
достигает наибольшего и наименьшего
значений. Эти значения функция может
принять либо во внутренней точке отрезка
[a, b
],
либо на границе отрезка.
Для
нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке [a,
b
] необходимо:
1)найти
критические точки функции в интервале
(a, b
);
2)вычислить
значения функции в найденных критических
точках;
3)
вычислить значения функции на концах
отрезка, то есть при x
=
а
и х =
b
;
4)из
всех вычисленных значений функции
выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
на
отрезке .
Находим
критические точки:
Эти
точки лежат внутри отрезка ; y
(1)
= ‒ 3; y
(2)
= ‒ 4; y
(0)
= ‒ 8; y
(3)
= 1;
в
точке x
=
3 и
в точкеx
=
0.
Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
Функция
y
=
f
(x
)
называется
выпуклойвверх
на промежутке (a
,
b
)
,
если ее график лежит под касательной,
проведенной в любой точке этого
промежутка, и называется выпуклой
вниз (вогнутой)
,
если ее график лежит над касательной.
Точка,
при переходе через которую выпуклость
сменяется вогнутостью или наоборот,
называется точкой
перегиба
.
Алгоритм
исследования на выпуклость и точку
перегиба:
1.
Найдеми критические точки второго рода, то
есть точки в которых вторая производная
равна нулю или не существует.
2.
Нанести критические точки на числовую
прямую, разбивая ее на промежутки. Найти
знак второй производной на каждом
промежутке; если
,
то функция выпуклая вверх, если,
то функция выпуклая вниз.
3.
Если при переходе через критическую
точку второго рода
поменяет знак и в этой точке вторая
производная равна нулю, то эта точка ‒
абсцисса точки перегиба. Найти ее
ординату.
Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
Определение.
Асимптотой
графика функции называется прямая
,
обладающая тем свойством, что расстояние
от любой точки графика до этой прямой
стремится к нулю при неограниченном
удалении точки графика от начала
координат.
Существуют
три вида асимптот: вертикальные,
горизонтальные и наклонные.
Определение.
Прямая
называетсявертикальной
асимптотой
графика
функции у =
f (х)
, если
хотя бы один из односторонних пределов
функции в этой точке равен бесконечности,
то есть
где
‒ точка разрыва функции, то естьне принадлежит области определения.
Пример.
D
(y
)
= (‒ ∞; 2)
(2; + ∞)
x
=
2 ‒ точка разрыва.
Определение.
Прямая у
=
A
называется горизонтальной
асимптотой
графика функции у
= f(х)
при
,
если
Пример.
x
y
Определение.
Прямая у
=
k
х
+
b
(k
≠
0) называется наклонной
асимптотой
графика функции у
= f (х)
при
,
где
Общая схема исследования функций и построения графиков.
Алгоритм
исследования функции
у
= f (х)
:
1.
Найти область определения функцииD
(y
).
2.
Найти (если это можно) точки пересечения
графика с осями координат (при x
= 0 и при y
= 0).
3.
Исследовать на четность и нечетность
функции(y
(‒
x
)
= y
(x
)
‒
четность;
y
(‒
x
)
= ‒
y
(x
)
‒
нечетность).
4.
Найти асимптоты графика функции.
5.
Найти интервалы монотонности функции.
6.
Найти экстремумы функции.
7.
Найти интервалы выпуклости (вогнутости)
и точки перегиба графика функции.
8.
На основании проведенных исследований
построить график функции.
Пример.
Исследовать
функцию и построить ее график.
1)
D
(y
)
=
x
= 4 ‒ точка разрыва.
2)
При x
= 0,
(0;
‒ 5) ‒ точка пересечения с oy
.
При
y
= 0,
3)
y
(‒
x
)=
функция общего вида (ни четная, ни
нечетная).
4)
Исследуем на асимптоты.
а)
вертикальные
б)
горизонтальные
в)
найдем наклонные асимптоты
где
‒уравнение
наклонной асимптоты
5)
В данном уравнении не требуется найти
интервалы монотонности функции.
6)
Эти
критические точки разбивают всю область
определения функции на интервале (˗∞;
˗2), (˗2; 4), (4; 10)и (10; +∞). Полученные результаты
удобно представить в виде следующей
таблицы.
на отрезке .
. График этой функции выглядит так:
на отрезке .
. При переходе через точки и производная меняет знак.
на промежутке .
.
функция общего вида (ни четная, ни
нечетная).
