Теория автоматов

Теория автоматов - раздел дискретной математики , изучающий абстрактные автоматы - вычислительные машины, представленные в виде математических моделей - и задачи, которые они могут решать.

Теория автоматов наиболее тесно связана с теорией алгоритмов : автомат преобразует дискретную информацию по шагам в дискретные моменты времени и формирует результат по шагам заданного алгоритма .

Терминология

Символ - любой атомарный блок данных, который может производить эффект на машину. Чаще всего символ - это буква обычного языка, но может быть, к примеру, графическим элементом диаграммы.

Слово - строка символов, создаваемая через конкатенацию (соединение).
Алфавит - конечный набор различных символов (множество символов)
Язык - множество слов, формируемых символами данного алфавита. Может быть конечным или бесконечным.

Автомат Автомат - последовательность (кортеж) из пяти элементов , где: Слово Автомат читает конечную строку символов a 1 ,a 2 ,…., a n , где a i ∈ Σ, и называется словом .Набор всех слов записывается как Σ*. Принимаемое слово Слово w ∈ Σ* принимается автоматом, если q n ∈ F.

Говорят, что язык L читается (принимается) автоматом M, если он состоит из слов w на базе алфавита таких, что если эти слова вводятся в M, по окончанию обработки он приходит в одно из принимающих состояний F:

Обычно автомат переходит из состояния в состояние с помощью функции перехода , читая при этом один символ из ввода. Есть также автоматы, которые могут перейти в новое состояния без чтения символа. Функция перехода без чтения символа называется -переход (эпсилон-переход).

Применение

Практически теория автоматов применяется при разработке лексеров и парсеров для формальных языков (в том числе языков программирования), а также при построении компиляторов и разработке самих языков программирования.

Другое важнейшее применение теории автоматов - математически строгое нахождение разрешимости и сложности задач.

Типовые задачи

Построение и минимизация автоматов - построение абстрактного автомата из заданного класса, решающего заданную задачу (принимающего заданный язык), возможно, с последующей минимизацией по числу состояний или числу переходов.
Синтез автоматов - построение системы из заданных «элементарных автоматов», эквивалентную заданному автомату. Такой автомат называется структурным . Применяется, например, при синтезе цифровых электрических схем на заданной элементной базе.

См. также

Литература

Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. - М .: Вильямс, 2002. - С. 528. - ISBN 0-201-44124-1
Касьянов В. Н. Лекции по теории формальных языков, автоматов и сложности вычислений. - Новосибирск: НГУ, 1995. - C. 112.

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теория автоматов" в других словарях:

Теория автоматов

Теория автоматов - раздел теоретической кибернетики, который изучает математические модели (называемые здесь автоматами или машинами) реальных или возможных устройств, перерабатывающих дискретную информацию дискретными же тактами. Основными… … Экономико-математический словарь

теория автоматов - Раздел теоретической кибернетики, который изучает математические модели (называемые здесь автоматами или машинами) реальных или возможных устройств, перерабатывающих дискретную информацию дискретными же тактами. Основными понятиями этой теории… … Справочник технического переводчика

Сущ., кол во синонимов: 1 тавт (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

теория автоматов - automatų teorija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. automata theory vok. Automatentheorie, f rus. теория автоматов, f pranc. théorie des automates, f … Automatikos terminų žodynas

У этого термина существуют и другие значения, см. Диаграмма состояний. Диаграмма состояний ориентированный граф для конечного автомата, в котором вершины обозначают состояния дуги показывают переходы между двумя состояниями На практике… … Википедия

Теория машин и механизмов (ТММ) это научная дисциплина об общих методах исследования, построения, кинематики и динамики механизмов и машин и о научных основах их проектирования. Содержание 1 История развития дисциплины 2 Основные понятия … Википедия

ТЕОРИЯ - (1) система научных идей и принципов, обобщающих практический опыт, отражающих объективные природные закономерности и положения, которые образуют (см.) или раздел какой либо науки, а также совокупность правил в области какого либо знания млн.… … Большая политехническая энциклопедия

Теория алгоритмов Экономико-математический словарь

Теория алгоритмов - раздел математики, изучающий общие свойства алгоритмов. Проблема построения алгоритма с теми или иными свойствами называется алгоритмической проблемой, ее неразрешимость означает отсутствие соответствующего алгоритма; если… … Экономико-математический словарь

Книги

Теория автоматов. Учебник для бакалавриата и магистратуры , Кудрявцев В.Б.. Учебник содержит обширный материал по теории автоматов. В нем вводится понятие автомата, даны теории…

Теория автоматов

Терминология

Слово - строка символов, создаваемая через конкатенацию (соединение).
Алфавит - конечный набор различных символов (множество символов)
Язык - множество слов, формируемых символами данного алфавита. Может быть конечным или бесконечным.

Применение

Типовые задачи

Построение и минимизация автоматов - построение абстрактного автомата из заданного класса, решающего заданную задачу (принимающего заданный язык), возможно, с последующей минимизацией по числу состояний или числу переходов.
Синтез автоматов - построение системы из заданных «элементарных автоматов», эквивалентную заданному автомату. Такой автомат называется структурным . Применяется, например, при синтезе цифровых электрических схем на заданной элементной базе.

См. также

Литература

Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. - М .: Вильямс, 2002. - С. 528. - ISBN 0-201-44124-1
Касьянов В. Н. Лекции по теории формальных языков, автоматов и сложности вычислений. - Новосибирск: НГУ, 1995. - C. 112.

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Азиатская конфедерация футбола
Теория сложности вычислений

Смотреть что такое "Теория автоматов" в других словарях:

Теория автоматов

теория автоматов - сущ., кол во синонимов: 1 тавт (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Диаграмма состояний (теория автоматов) - У этого термина существуют и другие значения, см. Диаграмма состояний. Диаграмма состояний ориентированный граф для конечного автомата, в котором вершины обозначают состояния дуги показывают переходы между двумя состояниями На практике… … Википедия

Теория механизмов и машин - Теория машин и механизмов (ТММ) это научная дисциплина об общих методах исследования, построения, кинематики и динамики механизмов и машин и о научных основах их проектирования. Содержание 1 История развития дисциплины 2 Основные понятия … Википедия

Теория алгоритмов Экономико-математический словарь

Книги

Теория автоматов. Учебник для бакалавриата и магистратуры , Кудрявцев В.Б.. Учебник содержит обширный материал по теории автоматов. В нем вводится понятие автомата, даны теории…

Вятский Государственный Университет

ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Кафедра Электронных Вычислительных Машин

Теория автоматов (часть I) Конспект лекций

Теория автоматов (часть I). Конспект лекций /Киров, Вятский государственный университет, 2010, 56с.

В конспекте лекций по курсу «Теория автоматов» (Часть I) приведен необходимый теоретический материал, включающий основы прикладной теории цифровых автоматов, основные определения и правила синтеза абстрактных конечных автоматов, схема дискретного преобразователя В.М. Глушкова и три основных модели конечных автоматов: модель Мили, модель Мура и модель С-автомата. Далее рассмотрены методы кодирования элементов памяти, минимизация автоматов с памятью, канонический метод синтеза структурных автоматов. Особое внимание уделено правилам построения оптимальной комбинационной схемы автомата по каноническим уравнениям с учётом выбранных элементов памяти. Указана соответствующая литература.

Курс лекций предназначен для студентов очного обучения специальности 230101 - "Вычислительные машины, комплексы, системы и сети", а также бакалавров направления 230100.62 – "Информатика и вычислительная техника".

Составитель: к.т.н., доцент каф. ЭВМ В.Ю. Мельцов.

Вятский государственный университет, 2010

Мельцов В.Ю.

1. Введение 4

2. Задачи анализа и синтеза 4

3. Абстрактный управляющий автомат 7

4. Синтез абстрактных автоматов 9

5. Синхронный автомат 10

6. Асинхронные автоматы 11

7. Автоматы Мили и Мура 12

8. Способы задания автоматов 14

8.1 Табличный способ задания автоматов 15

8.2. Задание автомата с помощью графа 17

8.3. Матричный способ задания автоматов 19

9. Переход от автомата Мили к автомату Мура и обратно 19

10. Этапы синтеза автоматов 23

11. Минимизация числа внутренних состояний автомата 26

12. Минимизация полностью определённых автоматов. 27

13. Совмещённая модель автомата (C-автомата) 31

14. Структурный синтез автомата 32

14.1. Канонический метод структурного синтеза автомата 32

14.2. Структурный синтез С-автомата 35

15. Кодирование состояний автомата 41

15.1. Метод противогоночного кодирования состояний автомата 42

15.2. Соседнее кодирование состояний автомата 45

15.3. Кодирование состояний автомата для минимизации комбинационной схемы 47

16. Элементарные автоматы памяти 50

17. Синтез автоматов на ПЛМ и ПЗУ 54

1. Введение

В последние годы с большой интенсивностью ведутся исследования и работы по созданию и применению различных автоматических систем для обработки информации. Такие системы обычно реализуются в виде блоков, образующих систему управления и переработки информации. В соответствии с этим возникла новая научная дисциплина, которая получила название «Теория систем».

Целью теории систем является задача создания арсенала идей и средств, которые были бы в равной степени полезны специалистам в самых различных областях (электротехника, механика, физика, химия, социология и т.п.). Данная цель достигается путем рассмотрения системы не через ее внутреннюю структуру, а через математические законы, определяющие ее наблюдаемое поведение. При этом наиболее часто используется подход, называемый методом «черного ящика» (т.е. метод, в котором анализируются входные данные и данные, получаемые на выходе автомата, при этом внутренние процессы не рассматриваются). Было доказано, что все системы могут быть охарактеризованы в одинаковых терминах и проанализированы с помощью одного и того же набора правил.

Составной частью теории систем является теория автоматов. Она имеет дело с математическими моделями, предназначенными для в той или иной степени приближенного отображения физических явлений. Применение модели теории автоматов не ограничивается какой-либо частной областью, а возможно для решения проблем практически в любой области исследования.

ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ.

ВВОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Теория автоматов – раздел дискретной математики, изучающий математические модели реальных (технических, биологических, экономических) или возможных устройств, перерабатывающих дискретную информацию дискретными временными тактами.

В этой теории достаточно четко выявляются ее направления, обусловленные:

выбором изучаемых типов автоматов (конечные, бесконечные, детерминированные, вероятностные, автономные, комбинационные, без выхода)

принятым уровнем абстракции (абстрактные и структурные автоматы)

спецификой применяемых математических (алгебраическая теория автоматов)

При этом в дискретных моделях рассматриваемых объектов учитывается лишь логика происходящих процессов изменений автомата без учета количественных характеристик.

Центральными проблемами читаемой теории являются проблемы синтаксиса и анализа (т.е. разработка функциональной схемы автомата по заданному его поведению и описание поведения автомата по известной его структуре). С этими проблемами тесно связаны задачи полноты, эквивалентности, минимизации числа состояний автоматов.

Далее автомат, как устройство, предназначенное для выполнения целенаправленных действий без участия человека, рассматривается либо как реализующий ту или иную формальную грамматику (абстрактный автомат), либо как множество элементов и схема их соединения (структурный автомат).

Основные понятия теории автоматов

Абстрактный конечный автомат U - модель , представляющая устройство, которое преобразует информацию по правилам R в виде «черного ящика», имеющего входной А и выходной В алфавиты, а также некоторое множество внутренних состояний Q.

a i  A , b j  B, q k  Q

Когда на вход подается сигнал a i , то в зависимости от него и текущего состояния q k  Q автомат переходит в следующее состояние q l  Q и выдает сигнал на выход b j  B. Это – один такт действия автомата q k a i  q l b j . Затем подается следующий сигнал, наступает следующий такт и т.д. Изменение сигнала на входе меняет состояние автомата и его выходной сигнал означает элементарное преобразование поступающей в виде сигналов информации.

Бесконечный автомат – абстрактный автомат, хотя бы одно из определяющих множеств A, B, Q которого бесконечно.

Ситохастический (вероятностный) автомат - абстрактный автомат, правила преобразования информации, которого R являются вероятностными.

Конечный автомат – дискретный автомат, в котором переход из одного состояния в любое другое может быть совершено за конечное число шагов (таким автоматом, например, является процессор).

Структурный автомат - конечный автомат, внутреннее устройство которого известно.

Формальная грамматика = - система правил построения P в заданном алфавите TH(T – терминальный алфавит, Н – нетерминальный алфавит, ТН=) конечных знаковых последовательностей, множество которых образует некоторый формальный язык () (JH, Н - аксиома).

Формальный язык - язык, построенный по правилам некоторого логического исчисления (иначе – язык, синтаксис которого определен формальной грамматикой ).

Слово – цепочка символов в некотором алфавите (принято цепочки в алфавите (TH) обозначать греческими буквами; так, например,  (TH)*).

Предложение – слово в терминальном алфавите.

Продукция (синтаксическое правило) – способ преобразования цепочки вида  (, ,  (TH)*) в цепочку вида  ((TH)*).

Дерево вывода (разбора) – форма наглядного представления вывода предложения в заданной грамматике.

АВТОМАТЫ И ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ.

Описание формальных языков (как конечных или бесконечных множеств слов) конечными средствами осуществляют как автоматами, так и формальными грамматиками.

Тип языка () по Хомскому	Тип формальной грамматики Хомского	Автоматная модель языка
	Произвольная (алгоритмическая) грамматика типа 0 	Машина Тьюринга
	Грамматика типа 1 (контекстная грамматика, Н.С. грамматика, грамматика непосредственно составляющих) В	Автомат с линейно-ограниченной памятью
	Грамматика типа 2(контекстно-свободная грамматика, К.С. грамматика, бесконтекстная грамматика) В	Магазинный автомат
	Грамматика типа 3(автоматная, регулярная, конечная) ВаС, Ва	Конечный автомат

Классы языков по Хомскому являются иерархией, т.е. язык типа 3 является подклассом языка типа 2, т.е. ( 3) ( 2) ( 1)  ( 0). Следуя приведенной таблице, можно говорить, что

регулярный язык (т.е. язык, порождаемый грамматикой типа 3) распознается конечным автоматом и в этом плане является самым простым в математическом плане

бесконтекстный язык (т.е. язык ( 2)) распознается магазинным автоматом – бесконечным автоматом, внутренняя структура которого представляет собой стековую память

контекстный язык ( 1) распознается автоматом с линейно-ограниченной памятью, т.е. автоматом, которому для распознавания последовательности длины nN необходима память объемом не более k*n, где k – число, независящее от входного слова

произвольный формальный язык, т.е. ( 0), распознается машиной Тьюринга – математического понятия для формального уточнения интуитивного понятия «алгоритм»

Замечание : В синтаксическом правиле В являются контекстами (левый и правый), которые могут быть пустыми цепочками; ВН, а,, ,   (ТН).

ФОРМАЛЬНЫЕ ГРАММАТИКИ.

Формальные грамматики = как процедуры могут быть порождающими и распознающими. Порождающая грамматика по существу является частным случаем формальной системы FS / =<, D>-=. В этом случае A=TH, F(TH) * , JH, P= i  j  i , j  N ,  i ,  j (TH) * , т.е. правила вывода P позволяют получать слова в терминальном алфавите Т из единственной аксиомы J путем замещения нетерминальных символов цепочек в алфавите (TH).

Распознающая грамматика – алгоритм, распознающий по любой цепочке, является ли оно словом языка  T * .

Автомат для распознавания и порождения слов можно рассматривать как устройство обработки входных цепочек символов с целью:

определения их принадлежности формальному языку ()

порождений выходных цепочек символов

Выводом в грамматике  называется последовательность цепочек, в которой каждая из цепочек, кроме первой, получается из предыдущей применением какого-либо правила вывода (последняя цепочка в выводе – предложение, т.е. слово В в алфавите Т).

Пример 1 : Т=a, b, c, H=B, C, J=B, P=BaBС, BCc, Cb

Возможным выводом в этой грамматике может быть последовательность слов:

В, аВС, аСсС, аbсС, аbсbТ *

Эта грамматика порождает язык b, bc, abcb.

Пример 2 : множество нечетных чисел в унарном представлении – это множество терминальных слов вида а, ааа, ааааа….., т.е. язык =хТ * : ха 2 n -1 , nN. Этот язык порождается автоматной грамматикой  3 =<a, J, J, Ja, JaB, BaJ>.

Пример 3 : Язык =хТ * : х=a n b n  n  N порождается К.С. грамматикой, т.е.  2 =<a, b, J, J, JaJb, Jab>.

Пример 4 : Язык булевых формул с переменными x, y, z порождается К.С. грамматикой  2 =<x, y, z, , , , (,), J, J, J(JJ), J(JJ), JJ, Jx, Jy, JZ>.

ДЕРЕВЬЯ ВЫВОДА ПРЕДЛОЖЕНИЙ.

На практике вывод слов языка () в виде последовательности цепочек часто оказывается громоздким. Кроме того, такой способ не позволяет получить в удобном виде информацию о синтаксических конструкциях. Наилучшим способом компактного представления вывода слов в таком случае является дерево вывода (дерево синтаксического анализа, дерево грамматического разбора). Говорят, что задано стандартное дерево вывода, если правилу r i:  1 A 2  1  2 (здесь  1 ,  2 – контекст,  1 ,  2 (TH) *), АН, (TH) *) поставлено в соответствие элементарное поддерево t(r i) с вершиной А и кроной  1  2.

Пример 1 : Пусть 1=<a, b, c, A, B, C, D, J, J, JAAB, ABDBB, aBBabB, Aa, Da, BC, Cc>.

Вывод J, AAB, aAB, aDBB, aaBB, aabB, aaaBC, aabc представим деревом:

ЗдесьJ – корень дерева, J A , A a - поддеревья.

Вычислительные машины, представленные в виде математических моделей - и задачи, которые они могут решать.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

✪ Урок 12. Основы теории автоматов. Математическая логика. Уроки по информатике

✪ Как управлять миром, изучив всего одну простую модель!

✪ Урок 15. Решение прикладных задач по теории автоматов. Математическая логика. Уроки по информатике

Субтитры

Терминология

Слово - строка символов, создаваемая через конкатенацию (соединение).
Алфавит - конечный набор различных символов (множество символов)
Язык - множество слов, формируемых символами данного алфавита. Может быть конечным или бесконечным .

Автоматы Детерминированный конечный автомат (ДКА) - последовательность (кортеж) из пяти элементов (Q , Σ , δ , S 0 , F) {\displaystyle (Q,\Sigma ,\delta ,S_{0},F)} , где: Недетерминированный конечный автомат (НКА) - последовательность (кортеж) из пяти элементов (Q , Σ , Δ , S , F) {\displaystyle (Q,\Sigma ,\Delta ,S,F)} , где: Слово Автомат читает конечную строку символов a 1 ,a 2 ,…., a n , где a i ∈ Σ, которая называется входным словом .Набор всех слов записывается как Σ*. Принимаемое слово Слово w ∈ Σ* принимается автоматом, если q n ∈ F.

Говорят, что язык L читается (принимается) автоматом M, если он состоит из слов w на базе алфавита Σ {\displaystyle \Sigma } таких, что если эти слова вводятся в M, по окончанию обработки он приходит в одно из принимающих состояний F:

L = { w ∈ Σ ⋆ | δ ^ (S 0 , w) ∈ F } {\displaystyle L=\{w\in \Sigma ^{\star }|{\hat {\delta }}(S_{0},w)\in F\}}

Обычно автомат переходит из состояния в состояние с помощью функции перехода δ {\displaystyle \delta } , читая при этом один символ из ввода. Есть автоматы, которые могут перейти в новое состояние без чтения символа. Функция перехода без чтения символа называется ϵ {\displaystyle \epsilon } -переход (эпсилон-переход).сложности задач.

Типовые задачи

Построение и минимизация автоматов - построение абстрактного автомата из заданного класса, решающего заданную задачу (принимающего заданный язык), возможно, с последующей минимизацией по числу состояний или числу переходов.
Синтез автоматов - построение системы из заданных «элементарных автоматов», эквивалентной заданному автомату. Такой автомат называется структурным . Применяется, например, при синтезе цифровых электрических схем на заданной элементной базе.