Описанный четырёхугольник. Вписанный четырёхугольник

Определение 2

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Рисунок 1. Вписанная окружность

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

Теорема 1

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Определение 3

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Определение 4

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Рисунок 3. Описанная окружность

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Теорема 2

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

Пример 1

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Рисунок 5.

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Выпуклый четырёхугольник A B C D {\displaystyle \displaystyle ABCD} является вписанным тогда и только тогда , когда противоположные углы в сумме дают 180°, то есть .

A + C = B + D = π = 180 ∘ . {\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^{\circ }.}

Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида Начала . Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.

p q = a c + b d . {\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.}

Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC , а другая - отрезок BD , пересекаются в точке P , то четыре точки A , B , C , D лежат на окружности тогда и только тогда, когда

A P ⋅ P C = B P ⋅ P D . {\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.}

Точка пересечения P может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD , а во втором - вписанный четырёхугольник ABDC . Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка P делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах , поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности.

Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда

tan ⁡ A 2 tan ⁡ C 2 = tan ⁡ B 2 tan ⁡ D 2 = 1. {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {C}{2}}=\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {D}{2}}=1.}

Площадь

S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}

Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализа .

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольников , и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a , b , c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b , c или d . Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длины .

Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a , b , c , d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулой

S = 1 2 (a b + c d) sin ⁡ B {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}} S = 1 2 (a c + b d) sin ⁡ θ {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}

где θ - любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой

S = 1 4 (a 2 − b 2 − c 2 + d 2) tan ⁡ A . {\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.} S = 2 R 2 sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ θ {\displaystyle S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }} S ≤ 2 R 2 {\displaystyle S\leq 2R^{2}} ,

и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.

Диагонали

С вершинами A , B , C , D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны

p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d {\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}} q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c {\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}} p q = a c + b d . {\displaystyle pq=ac+bd.}

Согласно второй теореме Птолемея ,

p q = a d + b c a b + c d {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}

при тех же обозначениях, что и прежде.

Для суммы диагоналей имеем неравенство

p + q ≥ 2 a c + b d . {\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}

Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим .

(p + q) 2 ≤ (a + c) 2 + (b + d) 2 . {\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}

В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны .

Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD , то

M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | {\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}

где E и F - точки пересечения противоположных сторон.

Если ABCD - вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P , то

A P C P = A B C B ⋅ A D C D . {\displaystyle {\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}

Формулы углов

a , b , c , d , полупериметром s и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равны

cos ⁡ A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 (a d + b c) , {\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},} sin ⁡ A = 2 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) (a d + b c) , {\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},} tan ⁡ A 2 = (s − a) (s − d) (s − b) (s − c) . {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}

Для угла θ между диагоналями выполняется

tan ⁡ θ 2 = (s − b) (s − d) (s − a) (s − c) . {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}

Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом ϕ {\displaystyle \phi } , то

cos ⁡ ϕ 2 = (s − b) (s − d) (b + d) 2 (a b + c d) (a d + b c) {\displaystyle \cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}

Формула Парамешвара

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a , b , c , d (в указанной последовательности) и полупериметром s радиус описанной окружности) задаётся формулой

R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) . {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}

Формула была выведена индийским математиком Ватассери Парамешвара в 15 веке.

Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P , а середины диагоналей - V и W , то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP , а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей .

Во вписанном четырёхугольнике "центроид площади" G a , "центроид вершин" G v и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенство

P G a = 4 3 P G v . {\displaystyle PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.}

Другие свойства

Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P - точка пересечения диагоналей AC и BD . Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD . Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле треугольника .

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию , то четырёхугольник является также внешне описанным .

Четырёхугольники Брахмагупты

Четырёхугольник Брахмагупты - это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d , диагоналями e, f , площадью S, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t , u и v ):

a = [ t (u + v) + (1 − u v) ] [ u + v − t (1 − u v) ] {\displaystyle a=} b = (1 + u 2) (v − t) (1 + t v) {\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)} c = t (1 + u 2) (1 + v 2) {\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})} d = (1 + v 2) (u − t) (1 + t u) {\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)} e = u (1 + t 2) (1 + v 2) {\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})} f = v (1 + t 2) (1 + u 2) {\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})} S = u v [ 2 t (1 − u v) − (u + v) (1 − t 2) ] [ 2 (u + v) t + (1 − u v) (1 − t 2) ] {\displaystyle S=uv} 4 R = (1 + u 2) (1 + v 2) (1 + t 2) . {\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}

Свойства ортодиагональных вписанных четырёхугольников

Площадь и радиус описанной окружности

Пусть для вписанного четырёхугольника, являющегося также ортодиагональным (т.е. имеющим перпендикулярные диагонали), пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p 1 и p 2 , а другую делит на отрезки длиной q 1 и q 2 . Тогда (первое равенство является Предложением 11 в книге Архимеда «Леммы »)

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 {\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}} ,

где D -

или, через стороны четырёхугольника

R = 1 2 a 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2 . {\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}

Отсюда также следует, что

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}

Таким образом, согласно формуле Эйлера , радиус можно выразить через диагонали p и q и расстояние x между серединами диагоналей

R = p 2 + q 2 + 4 x 2 8 . {\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника можно получить непосредственно через стороны, если скомбинировать теорему Птолемея (см. выше) и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника. В результате получим

Литература

Claudi Alsina, Roger Nelsen. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Сhapter 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9 .
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. On the diagonals of a cyclic quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2007. - Т. 7 .
Nathan Altshiller-Court. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. - 2nd. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2 . (org. 1952)
=Titu Andreescu, Bogdan Enescu. .
Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry Revisited. 3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta"s formula. - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2 . Перевод Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. 3.2 Вписанные четырёхугольники; Теорема Брахмагупты. - Москва: «Наука», 1978. - (Библиотека математического кружка).
Crux Mathematicorum. Inequalities proposed in Crux Mathematicorum . - 2007.
D. Fraivert. The theory of an inscribable quadrilateral and a circle that forms Pascal points // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - Т. 42 . - P. 81–107. - DOI :10.18642/jmsaa_7100121742 .
C. V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8 . (orig. 1930)
Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. - 2008. - Т. 8 .
Larry Hoehn. Circumradius of a cyclic quadrilateral // Mathematical Gazette. - 2000. - Т. 84 , вып. 499 March .
Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. - Cambridge University Press, 1995. - Т. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0 .
Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. - Dover Publ, 2007. (orig. 1929)
Thomas Peter. Maximizing the area of a quadrilateral // The College Mathematics Journal. - 2003. - Т. 34 , вып. 4 September .
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. - 2nd. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1 . Глава: Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.

, Перевод с русского издания В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Учебное пособие. - 5-е. - Москва: МЦНМО OAO «Московские учебники», 2006. - ISBN 5-94057-214-6

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность . Есть очень важное условие:

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет. Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме. Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть. Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть - всегда! . Но, → .

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна.

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть.

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и? Ну, то же самое конечно.

Вписанный → →

Параллелограмм→ →

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны, то есть это прямоугольник!

И ещё при этом - центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника . Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность - прямоугольник .

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция . Почему?

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять, но из-за параллельности прямых и.

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо - пригодиться:

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения , касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
Трапеция, вписанная в окружность - равнобокая.

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

На нашем рисунке -

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

«Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна.
«Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и. Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь - сейчас применим, а если не очень - загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Вписанный

Но посмотри: .

Получаем, что если - вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет. (нужно так же рассмотреть и).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких - то двух противоположных углов равна. Скажем, пусть

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка - снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке. Соединим и. Получился вписанный (!) четырехугольник.

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна, то есть, а по условию у нас.

Получается, что должно бы быть так, что.

Но это никак не может быть поскольку - внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке. Снова - вписанный четырехугольник, а по условию должно выполняться, но - внешний угол для и значит, то есть опять никак не может быть так, что.

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности - значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться.

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что.

И то же самое, естественно, касательно углов и.

Вот и получился прямоугольник - все углы по.

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Диаметр,

Диаметр

а значит, - центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность - равнобедренная.

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда.

И так же.

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и, равны), то такой четырехугольник - вписанный.

Это очень важный рисунок - в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и.

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« - вписанный» - и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак - запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна.

Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция , вписанная в окружность - равнобокая .

Вписанный четырехугольник - четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник - такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке - вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Пусть угол А равен 82°. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол В равен 58°, то угол D равен 180° - 58° = 122°.

Ответ: 122.

2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Пусть сторона АВ равна х, AD равна 2х, а DС - 3х. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
х + 3х = ВС + 2х.
Получается, что ВС равна 2х. Тогда периметр четырехугольника равен 8х. Мы получаем, что х = 4, а большая сторона равна 12.

3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны - b и d. По свойству описанного четырехугольника,
a + c = b + d, и значит, периметр равен 2(a + c).
Получаем, что а + с = 20, а средняя линия равна 10.

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны180° .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны .